2024屆江蘇省洪澤外國語中學高二上數學期末統考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為O，點M在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.2．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-23．在正項等比數列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.324．函數在區間（0，e）上的極小值為（）A.－e B.1－eC.－1 D.15．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.6．已知，數列，，，與，，，，都是等差數列，則的值是（）A. B.C. D.7．若函數的圖象如圖所示，則函數的導函數的圖象可能是（）A. B.C D.8．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準線于點，準線與對稱軸交于點，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.9．等差數列中，，，則（）A.6 B.7C.8 D.910．若定義在R上的函數滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點，且線段的中點在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．下列命題正確的是（）A.經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，過點F斜率為的直線與拋物線C交于點M（M在x軸的上方），過M作于點N，連接NF交拋物線C于點Q，則__________14．函數的圖象在點P（）處的切線方程是，則_____15．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標準方程為__________16．已知函數滿足：①是奇函數；②當時，．寫出一個滿足條件的函數________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：（1）頂點的坐標；（2）直線的方程.18．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.19．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程是(為參數（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求20．（12分）三棱柱中，側面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由21．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標.22．（10分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據平行六面體的幾何特點，結合空間向量的線性運算，即可求得結果.【詳解】因為平行六面體中，點M在上，且故可得故選：D.2、B【解析】根據拋物線和橢圓焦點與其各自標準方程的關系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.3、C【解析】根據和為方程兩根，得到，然后再利用等比數列的性質求解.【詳解】因為和為方程的兩根，所以，又因為數列是等比數列，所以，故選：C4、D【解析】求導判斷函數的單調性即可求解【詳解】的定義域為(0，＋∞)，，令，得x＝1，當x∈(0，1)時，，單調遞減，當x∈(1，e)時，，單調遞增，故在x＝1處取得極小值.故選：D.5、D【解析】根據拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.6、A【解析】根據等差數列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數列，，，和，，，，各自都成等差數列，，，，故選:A7、C【解析】由函數的圖象可知其單調性情況，再由導函數與原函數的關系即可得解.【詳解】由函數的圖象可知，當時，從左向右函數先增后減，故時，從左向右導函數先正后負，故排除AB；當時，從左向右函數先減后增，故時，從左向右導函數先負后正，故排除D.故選：C.8、B【解析】根據拋物線定義，結合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據題意，過作垂直于準線，垂足為，過作垂直于準線，垂足為，如下所示：因為，又//，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.9、C【解析】由等差數列的基本量法先求得公差，然后可得【詳解】設數列的公差為，則，，所以故選：C10、B【解析】構造函數，根據題意，求得其單調性，利用函數單調性解不等式即可.【詳解】構造函數，則，故在上單調遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【點睛】本題考察利用導數研究函數單調性，以及利用函數單調性求解不等式，解決本題的關鍵是根據題意構造函數，屬中檔題.11、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關于的方程，運用韋達定理，求出中點坐標，再由條件得到，再由，，的關系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設，，，，則，即中點的橫坐標是，縱坐標是，由于線段的中點在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A12、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意畫出圖形，寫出直線的方程，與拋物線方程聯立求出的坐標，進一步求出的坐標，求得即可求解【詳解】解：如圖，由拋物線，得，，則，與拋物線聯立得，解得、，，，，，為等邊三角形，，過作軸的垂線交軸于，設，，，，，在拋物線上，，解得，，，，則，故答案為：14、【解析】根據導數的幾何意義，結合切線方程，即可求解.【詳解】根據導數的幾何意義可知，，且，所以.故答案為：15、；【解析】設所求圓的圓心為，根據兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據弦長列出方程組求出即可.【詳解】設所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：16、（答案不唯一）【解析】利用函數的奇偶性及其單調性寫出函數解析式即可.【詳解】結合冪函數的性質可知是奇函數，當時，，則符合上述兩個條件，故答案為：（答案不唯一）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出直線的方程，然后聯立直線、的方程，即可求得點的坐標；（2）設，可求得線段的中點的坐標，將點的坐標代入直線的方程，可求得的值，可得出點的坐標，進而利用直線的斜率和點斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：，所以，而，則，所以直線的方程為，由，解得，所以頂點的坐標為.【小問2詳解】解：因為在直線，所以可設，由為線段的中點，所以，將的坐標代入直線的方程，所以，解得，所以.故，故直線的方程為，即.18、（1）；（2）存在，為上靠近點的三等分點【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，計算即可求解；（2）假設線段上存在點符合題意，設可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，.不妨設平面的一個法向量,則有，即，取.設直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設線段上存在點，使得二面角的余弦值.設，則,從而，，.設平面的法向量,則有，即，取.設平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點滿足條件，為上靠近點的三等分點【點睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當的空間直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結果.19、（1），（2）4【解析】（1）根據，即可將直線的極坐標方程轉化為普通方程；消參數，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數關系式的應用，即可求出結果【小問1詳解】解：直線極坐標方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數方程是(為參數，消參數，所以曲線的普通方程為【小問2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數方程可設為，即（為參數），將其代入，得，，設，對應的參數分別為，，則，，，異號，.20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點O，連結AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結果.（2）建立空間直角坐標系，假設點M存在，設，求出M點坐標，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點O，連結AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因為，所以平面，因為平面中，所以平面平面.（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標系.則，，，，若存在點M，則點M在上，不妨設，則有，則，有，，設平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點M，.【點睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問題，屬于中檔題.方法點睛：（1）判斷是否存在的問題，一般先假設存在；（2）設出點坐標，作為已知條件，代入計算；（3）根據結果，判斷是否存在.21、（1）；（2）證明見解析，定點和.【解析】(1)根據給定條件設出圓心坐標，再結合點到直線距離公式計算作答.(2)設點，求出圓的方程，結合方程求出其定點.【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設點，，設動圓上任意一點當與點P，M都不重合時，，有，當與點P，M之一重合時，對應為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點和.【點睛】方法點睛：待定系數法求圓的方程，由題設條件，列出等式，求出相關量