14.2乘法公式14.2.1平方差公式一、新課導入1.導入課題:某同學在計算98×102時將其變成（100-2）（100+2）并很快得出結果，你知道他運用了什么知識嗎？這節課我們一起來探討上述計算的規律.2.學習目標:（1）掌握平方差公式的推導及應用.（2）了解平方差公式的幾何意義，體會數形結合的思想方法.3.學習重、難點:重點：平方差公式及應用.難點：理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式.二、分層學習1.自學指導:（1）自學內容：探究平方差公式.（2）自學時間：5分鐘.（3）自學方法：通過計算多項式乘以多項式，觀察等式兩邊的結構特點進行總結規律.（4）探究提綱：①用多項式相乘的方法計算（x+1）(x-1)=x2-1.(m+2)(m-2)=m2-4.(2x+1)(2x-1)=4x2-1.②再來計算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.③觀察上面的結果，你發現了什么規律？把你發現的規律寫出來.兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.④用你發現的規律直接寫出結果.(a+1)(a-1)=a2-1;(x+3)(x-3)=x2-9;⑤你能根據圖1中圖形的面積說明平方差公式嗎？方法一：設矩形EBNM的面積+矩形ADFE的面積=S.S=(a-b)b+(a-b)a=a2-b2.方法二：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如圖2，則S=S四邊形AEBN=(a+b)(a-b).2.自學：學生結合探究提綱進行自主探究.3.助學：（1）師助生:①明了學情:了解學生能否從計算中發現規律并用數學式子表達規律.②差異指導:引導學困生理解公式中a、b表示的意義及思考圖中面積S的計算方法.（2）生助生:互講推導過程與方法，有異議的地方可合作交流探討.4.強化：（1）平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2.（2）直接利用公式計算（3x+y）(3x-y)=9x2-y2.1.自學指導:（1）自學內容：教材第108頁例1、例2.（2）自學時間：6分鐘.（3）自學方法：注意運用平方差公式時如何確定公式中a、b分別表示什么？（4）自學參考提綱：①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以將-x看成公式中的a,2y看成公式中的b,結果是x2-4y2.②例2中，（y-1）(y+5)為什么沒有用平方差公式進行運算？不符合平方差公式的條件，不能寫成一個式子的平方與另一個式子的平方差的形式.③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，這是數字計算中的一種巧算，試想想怎樣的兩個數能用平方差公式進行簡便運算？2.自學：學生可結合自學指導進行自學.3.助學：(1)師助生：①明了學情:了解學生是否看懂例題是如何運用公式的，公式中的a,b各代表什么？②差異指導:強化不同層次學生對平方差公式適用的條件的理解及公式中a,b代表的式子的確定.(2)生助生：學生之間相互交流探討解決問題.4.強化：（1）無論是“兩數和乘以兩數差”還是“兩項式乘以兩項式，一項相同，另一項互為相反數”，都應該符合平方差公式的要求，都能運用公式進行計算.（2）認真分析式子的特點，特別注意符號變化.（3）下列式子能用平方差公式計算嗎？①（3x+2）(3x-2);②(b+2a)(2a-b);③（-x+2y）(-x-2y);能.9x2-4能.4a2-b2能.x2-4y2④102×983；⑤（-x+y）(x-y).不能.不能.三、評價1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：學生代表交流自己的學習收獲和學后體會.2.教師對學生的評價：（1）表現性評價：對學生的學習態度、方法、收效及不足進行點評.（2）紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師的自我評價（教學反思）：平方差公式體現了特殊多項式相乘的結果，教師可引導學生由多項式乘法法則推出，然后引導學生觀察公式的結構特征，從本質上認識符合公式特征的多項式相乘，以便于靈活解決實際問題.一、基礎鞏固（每題10分，共70分）1.下列多項式中，可以用平方差公式計算的是（B）A.(2a-3b)(-2a+3b)B.(-3a+4b)(-4b-3a)C.(a-b)(b-a)D.(a-b-c)(-a+b+c)2.下列各式中，運算結果為x2-36y2的是（D）A.(x+4y)(x-9y)B.(-6y+x)(-6y-x)C.(-6y+x)(6y-x)D.(-6y-x)(6y-x)3.下列計算結果正確的是（C）A.(x+2)(x-2)=x2-2B.(x+2)(3x-2)=3x2-4C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y24.(xn+4)(xn-4)=x2n-16,(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b25.計算：(+x)(-x=-x2.6.計算：（a+3）(-a+3)=9-a2.7.用簡便方法計算:（1）20×19解：原式=（20+）（20-）=202-（）2=400-=399（2）20152-2014×2016解：原式=20152-（2015-1）（2015+1）=20152-［20152-1］=1二、綜合應用（每題10分，共20分）8.計算(x-3)(x2+9)(x+3)解：原式=(x2-9)(x2+9)=x4-819.計算(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)解：原式=a2-b2-(9a2-4b2)=b2-8a2三、拓展延伸（共10分）10.已知x2-y2=34,x-y=2,求3y-x的值.解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=342(x+y)=34x+y=173y-x=(x+y)-2(x-y)=17-2×2=1314.2.2完全平方公式一、新課導入1.導入課題：一塊邊長為a米的正方形實驗田，因實際需要將其邊長增加b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種.（如圖）用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較.你發現了什么呢？2.學習目標：（1）能用符號和文字表述完全平方公式.（2）能運用完全平方公式解題.（3）體驗歸納添、去括號法則.3.學習重、難點：重點：完全平方公式及應用及添、去括號法則.難點：完全平方公式的幾何意義的理解.二、分層學習1.自學指導：（1）自學內容：探究完全平方公式.（2）自學時間：8分鐘.（3）自學方法：計算、比較分析、猜想結論.（4）探究提綱：①計算下列多項式的積，觀察它們的算式形式與運算結果有什么規律.a.(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;b.(m+2)2=m2+4m+4;c.(2a+1)2=4a2+4a+1;d.(2x-3)2=4x2-12x+9.②猜想：根據你發現的規律，你能直接寫出（a+b）2的計算的結果是a2+2ab+b2，（a－b）2的結果是a2-2ab+b2.③下列等式正確嗎？若不對，對比②中發現的規律找出錯在什么地方？(x－3)2=x2－9(2m+1)2=4m2+1都不對，都漏掉完全平方公式的“中間項”.④試用下圖1，2驗證(a±b)2的結果的正確性.請你根據圖1，圖2說出（a+b）2和（a-b）2的計算結果的幾何意義.⑤試用文字表述②中發現的規律.兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.2.自學：學生結合探究提綱進行自學.3.助學：（1）師助生：①明了學情：了解學生的探究過程及歸納總結的規律是否正確，收集學習中存在的問題.②差異指導：教師詢問個別學生從探究中如何總結規律并表述規律及如何借助圖1、2驗證猜想.（2）生助生：學生之間相互交流幫助.4.強化：（1）總結交流：公式的特點.等號左邊等號右邊符號特征（2）先用公式計算下列各題，再用多項式乘法法則驗證.①（2x－3）2；②（x+y）2；③（m+2n）2；④（2x－4）2解：①4x2-12x+9②x2+2xy+y2③m2+4mn+4n2④4x2-16x+161.自學指導：（1）自學內容：教材第110頁例3、例4.（2）自學時間：8分鐘.（3）自學方法：認真觀察例題中如何運用公式，分清題目中相當于公式中a、b的數或式是什么.（4）自學參考提綱：①式子（4m+n）2中，4m看作公式中的a,n看作公式中的b，所以（4m+n）2=（4m+n)(4m+n)=16m2+8mn+n2.②（y－）2=y2－2·y·()+=y2-y+.③因為102=100+2，所以1022=(100+2)2=(100)2+2×100×2+(2)2=10404.④怎樣計算9982？說說你的想法.用完全平方公式，將998寫成1000-2，則9982=(1000-2）2=10002-2×1000×2+22=996004.2.自學：學生可結合自學指導進行自學.3.助學：（1）師助生：①明了學情：了解學生是否從例題中學會正確運用公式的思考過程.②差異指導：幫助學困生對照公式怎樣確定“a”、“b”.（2）生助生：完成自學提綱，同組內互相檢查、交流幫助糾錯.4.強化：（1）應用公式時，先確定公式中的“a”、“b”是什么？（2）運用完全平方公式計算：①（－x－y）2；②（2y－）2解:①x2+2xy+y2;②4y2-y+.（3）思考：（a+b）2與（-a－b）2相等嗎？（a-b）2與（b-a）2相等嗎？為什么？相等.相等.因為互為相反數的數或式子平方相等.1.自學指導：（1）自學內容；教材第111頁例5上面的內容.（2）自學時間：5分鐘.（3）自學方法：認真看課本，并結合自學參考提綱進行學習，注意添加括號時，括號前面是正號和負號時，括號內各項符號的變化.（4）自學參考提綱：①整式中添加括號的依據是什么？②添括號法則是怎樣的？③如何驗證你添括號的正確性？④在等號右邊的括號內填上適當的項.a+b-c=a+（b-c）;a+b-c=a-（c-b）;a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-（b+c）;a+b+c=a-（-b-c）;a+2b-6c=a+2(b-3c).2.自學：學生可結合自學提綱進行自學.3.助學：（1）師助生：①明了學情：了解學生對添括號法則是否學會，會不會檢驗添括號的正確性.②差異指導：對學生進行個別指導：括號前為負號時，添括號后注意什么.（2）生助生：學生之間相互指導.4.強化：(1)添括號法則.（2）括到括號內的各項符號的變與不變與什么有關.(3)注意各項都變或都不變的意思.(4)判斷下列運算是否正確，若不正確，請改正過來.①2a-b-=2a-（b-）②m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）③2x-3y+2=-（2x+3y-2）④a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）解：①不正確，應等于2a-b+②不正確，應等于m-(3n-2a+b)③不正確，應等于-（-2x+3y-2）④不正確，應等于（a-2b）-（4c-5）1.自學指導：（1）自學內容；教材第111頁例5的內容.（2）自學方法：認真看教材，注意觀察多項式相乘的特點，以便合理地添括號選用相應的公式.（3）自學參考提綱：①計算（x+2y-3）（x-2y+3）時，第一步將整式變形為［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］，目的是什么？本題計算過程中，先后運用了幾個公式？本題對應用公式計算有何啟示？②計算(a+b+c)2時，例題是寫成［(a+b)+c］2，把a+b當作完全平方式中的a，把c當作完全平方式中的b，還有沒有其它的添括號的方法計算本題，試試吧！③運用乘法公式計算（1）(a+2b-1)2;（2）（2x+y+z）(2x-y-z).解：（1）原式=（a+2b）2-2（a+2b）+12=a2+4ab+4b2-2a-4b+1;（2）原式=[2x+（y+z）][2x-（y+z）]=4x2-(y+z)2=4x2-y2-2yz-z2.2.自學：學生結合自學指導進行自學.3.助學：（1）師助生：①明了學情：了解學生是否靈活運用添括號的法則添加括號，并運用完全平方公式計算.②差異指導：對學生學習過程中存在的問題予以分類指導.（2）生助生：學生之間相互交流幫助.4.強化：（1）總結交流：在乘法運算時，一定要觀察多項式的特點，選用對應的公式進行運算.（2）添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號，還是去括號，運算前后代數式的值都保持不變，所以我們可以用去括號法則驗證所添括號是否正確.（3）練習：計算①(a+b+1)(a+b-1);②(2x-y-3)2.解：①原式=a2+2ab+b2-1;②原式=（2x）2-2x·（y+3）+(y+3)2=4x2-2xy-6x+y2+6y+9三、評價1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：學生代表交流自己的學習收獲和學習體會.2.教師對學生的評價：（1）表現性評價：對學生的學習態度、方法、收效及不足進行點評.（2）紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師的自我評價（教學反思）：本課時教學重點是引導學生觀察分析完全平方公式的結構特征，教師可組織學生獨立觀察，再在小組內交流，最后由教師歸納評點，以便學生認識與完全平方公式相關的所有變式.一、基礎鞏固（第1、2、3、4、5題每題8分，第6題20分，共60分）1.（-3x-1）2=9x2+6x+1;（-2x+5）2=4x2-20x+25;2.（x-y-1）2=x2+y2-x-xy+2y+1;(x-y)2=x2-xy+y2.3.（x+y）2-4xy=（x-y）299.82=(100-0.2)2=9960.044.（1）若（x-5）2=x2+kx+25,則k=-10;（2）若4x2+mx+9是完全平方式，則m=12.5.下列各式中，與（x-1）2相等的是（B）A.x2-1B.x2-2x+1