專題04圓周運動一、描述圓周運動的物理量及公式：①平均線速度：；（平均速度）②平均角速度：；③轉速、周期、頻率關系：；④，，；二、勻速圓周運動的有關公式：①向心力：；②向心加速度：；在解有關圓周運動的計算題時，首先要審清題目，確定研究對象，同時確定圓周運動的軌道平面，然后對題目中的幾何關系、物體的運動情況和物體的受力情況（畫示意圖）進行分析，從而確定圓周運動的圓心、半徑，物體運動的線速度、角速度，以及向心力的來源。最后根據牛頓運動定律或者圓周運動的相關知識列出方程求解即可。1.火車轉彎問題

在轉彎處，若向心力完全由重力G和支持力的合力來提供，則鐵軌不受輪緣的擠壓，此時行車最安全。R為轉彎半徑，為斜面的傾角，，所以。

（1）當時，即，重力與支持力的合力不足以提供向心力，則外軌對輪緣有側向壓力。（2）當時，即，重力與支持力的合力大于所需向心力，則內軌對輪緣有側向壓力。（3）當時，，火車轉彎時不受內、外軌對輪緣的側向壓力，火車行駛最安全。2.汽車過拱橋

如汽車過拱橋橋頂時向心力完全由重力提供（支持力為零），則據向心力公式得：（R為圓周半徑），故汽車是否受拱橋橋頂作用力的臨界條件為：，此時汽車與拱橋橋頂無作用力。3.圓周運動中?？嫉呐R界問題（1）水平面內圓周運動的臨界問題，例如圓錐擺、轉盤上的物體、火車和汽車轉彎等，首先應明確向心力的來源，然后分析臨界狀態，通過動力學方程，，，來求解。（2）豎直面內圓周運動的臨界問題，首先要判斷是輕繩模型還是輕桿模型，再針對輕繩模型或者輕桿模型進行受力分析，從而確定臨界點，①輕繩最高點：，此時。②輕桿模型中輕桿最高點：時，，時，。4.輕繩模型分析（1）過最高點的臨界條件：由可得，此時對應的最低點速度；（2）繩不松，球不脫軌的條件：或；（3）最低點球所受彈力：；，此時為向上的拉力或者支持力；（4）最高點球所受彈力：過最高點時，，；繩、軌道對球的彈力，為向下的拉力或者壓力。5.輕桿模型分析（1）過最高點的臨界條件：，此時對應的最低點；（2）球不脫軌的條件：始終不脫軌；（3）最低點球所受彈力：，，此時為向上的拉力或者支持力；（4）最高點球所受彈力：①當時，，為向上的支持力；②當時，，為向上的支持力，隨的增大而減??；③當時，；④當時，，為向下的拉力或壓力，隨的增大而增大。

典例1：（2022·遼寧·高考真題）2022年北京冬奧會短道速滑混合團體2000米接力決賽中，我國短道速滑隊奪得中國隊在本屆冬奧會的首金。（1）如果把運動員起跑后進入彎道前的過程看作初速度為零的勻加速直線運動，若運動員加速到速度時，滑過的距離，求加速度的大??；（2）如果把運動員在彎道滑行的過程看作軌道為半圓的勻速圓周運動，如圖所示，若甲、乙兩名運動員同時進入彎道，滑行半徑分別為，滑行速率分別為，求甲、乙過彎道時的向心加速度大小之比，并通過計算判斷哪位運動員先出彎道。【答案】（1）；（2），甲【規范答題】（1）根據速度位移公式有代入數據可得（2）根據向心加速度的表達式可得甲、乙的向心加速度之比為甲、乙兩物體做勻速圓周運動，則運動的時間為代入數據可得甲、乙運動的時間為，因，所以甲先出彎道。典例2：（2022·浙江·高考真題）如圖所示，處于豎直平面內的一探究裝置，由傾角=37°的光滑直軌道AB、圓心為O1的半圓形光滑軌道BCD、圓心為O2的半圓形光滑細圓管軌道DEF、傾角也為37°的粗糙直軌道FG組成，B、D和F為軌道間的相切點，彈性板垂直軌道固定在G點（與B點等高），B、O1、D、O2和F點處于同一直線上。已知可視為質點的滑塊質量m=0.1kg，軌道BCD和DEF的半徑R=0.15m，軌道AB長度，滑塊與軌道FG間的動摩擦因數，滑塊與彈性板作用后，以等大速度彈回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑塊開始時均從軌道AB上某點靜止釋放，（）（1）若釋放點距B點的長度l=0.7m，求滑塊到最低點C時軌道對其支持力FN的大?。唬?）設釋放點距B點的長度為，滑塊第一次經F點時的速度v與之間的關系式；（3）若滑塊最終靜止在軌道FG的中點，求釋放點距B點長度的值。【答案】（1）7N；（2）

（）；（3），，【規范答題】（1）滑塊釋放運動到C點過程，由動能定理經過C點時解得（2）能過最高點時，則能到F點，則恰到最高點時解得而要保證滑塊能到達F點，必須要保證它能到達DEF最高點，當小球恰好到達DEF最高點時，由動能定理可解得則要保證小球能到F點，，帶入可得（3）設全過程摩擦力對滑塊做功為第一次到達中點時做功的n倍，則n=1,3,5,……解得

n=1,3,5,……又因為，當時，，當時，，當時，，滿足要求。即若滑塊最終靜止在軌道FG的中點，釋放點距B點長度的值可能為，，。典例3：（2022·安徽省肥西中學模擬）如圖，長為L的輕桿兩端，各固定一個質量分別為m和2m小球AB（均可視為質點），輕桿繞距B球處的光滑轉軸O，在豎直平面內沿順時針方向自由轉動。當桿轉至圖中水平位置時，A球的速度為v0。不計空氣阻力，重力加速度為g。求：（1）A球運動到最低點時速度大小；（2）如果A球的速度v0=，那么，當A球運動到最低點時，轉軸對桿的彈力大小?！敬鸢浮浚?）v0；（2）3mg【規范答題】（1）在A小球下降的運動中，系統重力勢能的減少量為由能量守恒可得解得A球運動到最低點時速度大小為（2）當A球在最低點時，由牛頓第二定律可得解得FA方向向上。A、B共軸，轉動角速度相同，由，可得此時B球速度為又v0=當B球在最高點時，由牛頓第二定律可得解得由計算結果可知FB方向向上，由牛頓第三定律可知A和B對輕桿的彈力均豎直向下，則轉軸對桿的彈力大小為典例4：（2022·江蘇泰州·模擬）如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R的大圓弧和r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長度L。賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的K倍，假設賽車在直道上做勻變速直線運動，在圓心角為120°彎道上做勻速圓周運動，若，要使賽車安全且繞賽道一圈時間最短（發動機功率足夠大，重力加速度為g）。求（1）賽車行駛的最大速率；（2）賽車繞賽道一圈的最短時間?！敬鸢浮浚?）；（2）【規范答題】（1）根據題意，由牛頓定律有解得最大速率為（2）根據題意，由公式可得，賽車在上直道的時間為小圓弧彎道的時間為大圓弧彎道的時間為則賽車繞賽道一圈的最短時間1．（2022·遼寧·模擬）2022年北京冬奧會的成功舉辦讓人們對滑雪這個項目越來越關注。如圖所示，質量為60kg的滑雪運動員由靜止開始從軌道頂端A點滑下，直軌道AB長L＝100m，加速度a=2m/s2，軌道的B端與半徑R=10m的圓弧軌道相接，運動員從B端到圓弧軌道最低點的過程速率不變，g=10m/s2，求：（1）到達B點的速度；（2）運動員在最低點對圓弧軌道的壓力?！敬鸢浮浚?）20m/s；（2）3000N，方向豎直向下【規范答題】（1）根據運動學公式可得運動員到達B點的速度為（2）設運動員在最低點受到軌道的支持力大小為FN，根據牛頓第二定律有解得根據牛頓第三定律可知運動員在最低點對圓弧軌道的壓力大小為3000N，方向豎直向下。2．（2022·海南·模擬）如圖所示，水平圓盤直徑AB與C點同線，在C點正上方h處有一可視為質點的小球沿與圓盤直徑AB平行的方向以一定的初速度水平拋出，O點為圓盤圓心，已知圓盤半徑為R，B、C兩點間的距離為R，D為圓周邊緣上一點，且OD與AB垂直，重力加速度為g，不計空氣阻力。（1）求當圓盤固定時，要使小球落在圓盤上，求速度大小范圍；（2）若圓盤繞圓心O點由圖示位置沿逆時針做勻速側周運動，經過一段時間后，小球恰好與圓盤在D點相遇，求圓盤轉動線速度大小的可能值?！敬鸢浮浚?）R；（2））R、3）【規范答題】（1）小球做平拋運動，根據解得小球做平拋運動的時間當小球落在B點時，初速度最小，則最小速度為當小球落在A點時，初速度最大，則最大速度為所以圓盤固定時，要使小球落在圓盤上，速度大小范圍為（2）根據根據圓周運動的周期性，可知相遇時D點轉過的角度為線速度大小為聯立解得）R、3）3．（2022·浙江·模擬）如圖所示，同一豎直平面內有三段半徑均為R的光滑圓弧軌道，質量為m的物體從OA圓弧某處靜止釋放，經過A出后小球沿第二段BC圓弧軌道運動，經過粗糙水平面CD后，小球從D進入第三段圓弧后最終從E點飛出。已知C、D是圓弧軌道最低點，A、B是圓弧軌道最高點，物體與粗糙水平面間的動摩擦因數，求：（1）物體從斜面下滑的角度滿足什么條件，物體才不會從B點脫離軌道。（2）如果物體從O點靜止下滑，下滑到軌道D處，物體對軌道的壓力。（3）在上一問中，物體從E點飛出后，當物體到達最高點時，最高點與D點的水平距離s?！敬鸢浮浚?）；（2）5mg；（3）2.328R【規范答題】（1）在軌道B點的最低速度滿足根據動能定理解得所以應該滿足條件（2）根據動能定理，從O點到D點，可得根據向心力公式解得（3）從D點到E點，由動能定理可知而在E點，水平速度和豎直速度分別為當到達最高點時，滿足解得水平位移為故距離D點的水平距離為4．（2022·福建省福州第一中學模擬）拋石機是古代戰場的破城重器（如圖甲），可筒化為圖乙所示。將石塊放在長臂A端的半球形凹槽，在短臂B端掛上重物，將A端拉至地面然后突然釋放，石塊過最高點P時就被水平拋出。已知轉軸O到地面的距離h=5m，OA=L=15m，質量m=60kg可視為質點的石塊從P點拋出后的水平射程為80m，不計空氣阻力和所有摩擦，取g=10m/s2，求：（1）石塊落地時速度的大?。唬?）石塊到達P時對凹槽壓力的大小及方向?！敬鸢浮浚?）；（2）5800N，方向豎直向上【規范答題】（1）依題意，石塊從P點拋出后做平拋運動，則有求得石塊從P點拋出到到達地面所用時間為從P點拋出時的速度大小為則落地時的速度大小為（2）石塊到達P時，根據牛頓第二定律有代入數據求得，凹槽對石塊的彈力為說明凹槽對石塊的彈力方向與重力方向相同，即豎直向下，根據牛頓第三定律可知，石塊對凹槽壓力的大小為5800N，方向豎直向上。5．（2022·青海·模擬）如圖所示，光滑水平桌面上有一小球，小球的質量m=1.0kg，小球初始位置a點距桌子右邊緣處A點的距離x=0.5m；在桌子右側豎直面內有一光滑不完整圓軌道，其圓心O和水平桌面在同一水平線上，且AOC在同一直線上，C點是水平線AO延長線與軌道的交點，B為軌道的一個端口，OB與豎直線夾角為37°，A點與B點的高度差為h=0.2m，現用恒力F水平向右拉小球，小球從靜止開始運動，小球運動到桌子邊緣處A點時撤去F，此后小球恰好從B點無任何碰撞進入圓軌道，已知重力加速度g=10m/s2，求：（計算結果均保留兩位小數）（1）小球進入B點時速度大小。（2）水平拉力F的大小。（3）小球在C點對軌道的壓力。【答案】（1）3.33m/s；（2）7.11N；（3）28.44N，水平向右【規范答題】（1）小球從A到B過程做平拋運動，可得在B點時的豎直分速度為據速度偏角公式可得聯立解得（2）在B點有小球在桌面上滑行過程，據動能定理可得聯立解得（3）從A點到C點過程，據動能定理可知，合外力做功為零，故C點速度大小等于v0，在C點據牛頓第二定律可得其中聯立解得由牛頓第三定律可知，小球在C點對軌道的壓力大小為28.4N，方向水平向右。6．（2022·江蘇省木瀆高級中學模擬）如圖，半徑的兩圓柱體A和B，轉動軸互相平行且在同一水平面內，軸心間的距離為s＝3.2m。兩圓柱體A和B均被電動機帶動以＝6rad/s的角速度同方向轉動，質量均勻分布的長木板無初速地水平放置在A和B上，其重心恰好在B的正上方。從木板開始運動計時，圓柱體轉動兩周，木板恰好不受摩擦力的作用，且仍沿水平方向運動。設木板與兩圓柱體間的動摩擦因數相同。重力加速度g＝10.0m/s2，取。求：（1）圓柱體A、B與木板間的動摩擦因數；（2）從開始運動到重心恰在A的正上方所需的時間?！敬鸢浮浚?）0.1；（2）2.6s【規范答題】（1）依題意，當木板的速度等于圓柱體輪緣的線速度時，木板不受摩擦力，有勻加速過程中滑動摩擦力提供加速度解得（2）木板在兩圓柱體間加速過程所通過的位移為s1，有解得因，所以木板在兩圓柱體間的運動先是作勻加速直線運動，后作勻速直線運動，可見從開始運動到重心恰在A的上方所需的時間應是兩運動過程時間之和7．（2022·浙江·模擬）目前，乒乓球運動員都使用發球機來練球?，F建立如下簡化模型，如圖所示，水平乒乓球球臺離地高度H=0.75m，總長L=3.2m，置于居中位置的球網高h=0.15m，發球機裝在左側球臺的左邊緣中點，發球過程簡化為：球從C點出發后（C點與球臺等高），通過半徑R=0.2m的圓弧管道，在最高點D點水平且平行于球臺中軸線發出（定義該速度為發球速度），D點在球臺上方且與球臺左邊緣的水平距離l=0.1m。可視為質點的乒乓球質量m=0.003kg，運動中所受空氣阻力不計，與球臺的碰撞視為彈性碰撞，即碰撞后速度大小不變，碰后方向與碰前方向關于豎直線對稱。發球規則為：乒乓球必須在左側球臺碰撞一次（僅限一次），跨網后能與右側球臺碰撞即視為發球成功。（1）若發球速度為v=5m/s，求乒乓球對D點軌道壓力的大小和方向；（2）求發球機成功發球的速度范圍；（3）現定義有效回球時間：球第一次碰撞右側球臺后至再次碰撞球臺的時間間隔為有效回球時間，若第一次碰撞右側球臺后不再第二次碰撞球臺，球第一次碰撞右側球臺后至球運動到球臺平面以下離球臺豎直高度差為0.25m前的時間間隔為有效回球時間。則以（2）問中的最小速度和最大速度發球的有效回球時間各為多少？【答案】（1）0.345N，方向豎直向上；（2）；；（3）最小速度發球：t'=0.4s；以最大速度發球：【規范答題】（1）設軌道對球的壓力為F，方向向下解得F=0.345N則球對軌道的壓力為0.345N，方向豎直向上；（2）球發出后至落到球臺做平拋運動，豎直位移為R=0.2m，由解得t=0.2s易得，平拋運動前0.1s和后0.1s的豎直位移分別為0.05m和0.15m，結合網高0.15m，經過分析可得圖一和圖二分別是能夠過網的最小速度和最大速度的對應情景。易得：以圖中最小速度發球。經過0.5s，球到達球網。解得顯然球能夠在右側球臺碰撞。此即最小成功發球速度；同理：以圖中最大速度發球，經過0.3s，球到達球網。解得易得球過網后再經過0.3s落到右側球臺上距離右邊緣0.1m處，故此最大速度即成功發球的最大速度。（3）以最小速度發球：經分析可得：球可以在右側球臺碰撞兩次，故有效回球時間為t'=0.4s以最大速度發球：經分析可得：球在右側球臺只能碰撞一次。故有效回球時間為球的上升時段和球的下落時段之和，顯然球的上升時間為t1=0.2s，求得球下落的豎直位移為0.45m解得所以有效回球時間為8．（2022·遼寧沈陽·三模）過山車是驚險的游樂設施，在軌道的底部需要具有極大的速度。一位同學欲利用彈射裝置獲得足夠大速度并制作了模型裝置如圖。傾角為37°的光滑軌道CD固定在地面上，半徑為的光滑圓軌道與傾斜軌道相切于D點，輕質彈簧原長為，下端固定于C點，原長狀態時上端A在圓形軌道圓心O點的正下方?，F把質量分別為m和3m的P、Q滑塊（可視為質點）沿軌道向上順次放置，從A點由靜止釋放（未畫出），兩滑塊運動到A、C中點B時速度再次為0，此時將滑塊Q撤走，滑塊P被彈簧推出，沖上圓形軌道，重力加速度為g。求：（1）彈簧再次恢復原長時，滑塊P的速度大小；（2）滑塊P運動到最高點時對圓軌道的壓力?！敬鸢浮浚?）；（2）1.7mg，方向豎直向上【規范答題】（1）從A點開始到再次回到A點的過程，由能量關系可知解得（2）滑塊P運動從A點到最高點時，由動能定理在最高點時解得根據牛頓第三定律可知滑塊對圓軌道的壓力方向豎直向上。9．（2022·浙江溫州·三模）如圖所示，一粗糙矩形水平板ABCD與一光滑半圓柱面CDEF相切于CD邊，C、D、E、F位于同一豎直面內。沿圓柱面EF邊固定一豎直擋板，物塊垂直撞擊擋板前后，速度方向相反、大小不變?？蓮腁點沿水平面朝各個方向發射質量m=0.2kg的小物塊（可視為質點）。已知兩軌道面沿CD方向足夠長，水平板AC邊長L=1m，半圓柱面的圓弧半徑R=0.1m，物塊與水平板間的動摩擦因數。（1）若小物塊從A點以初速度沿AC方向發射，求物塊運動至半圓柱軌道最高點E時（撞擊擋板前），對軌道的壓力大?。海?）若小物塊從A點以初速度v沿AC方向發射，為保證物塊能進入半圓柱軌道且在半圓柱面