二次函數的應用第二章二次函數第2課時

教學目標：1、熟練掌握用二次函數的性質求出商品利潤的最大值問題，

學會根據具體情況，由二次函數的性質，表示出正確的最大值；2、學會根據實際問題的自變量的取值范圍求出符合條件的商品

利潤具體值，可以準確掌握二次函數的實際應用．教學重點:運用二次函數的知識求出銷售問題中的最大(小)值．教學難點：能根據實際問題建立二次函數的關系式，并能求出二次函數的最值．新知講解

合作學習

在日常生活中存在著許許多多的與數學知識有關的實際問題.商品買賣過程中，作為商家追求利潤最大化是永恒的追求.思考：商品買賣過程中，作為商家利潤最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定價才能獲得最大利潤呢？

合作學習服裝廠生產某品牌的T恤衫成本是每件10元，根據市場調查，以單價13元批發給經銷商，經銷商愿意經銷5000件，并且表示每件降價0.1元，愿意多經銷500件.請你幫助分析，廠家批發單價是多少時可以獲利最多？在學習一元二次方程的應用時遇到過有關銷售利潤的問題，常用相等關系是：銷售利潤=單件利潤×銷售量選擇什么量設呢？方法一：化簡得：若設批發單價為x元，則：單件利潤為

。降價后的銷售量為

。利潤用y元表示，則

。

若設每件T恤衫降x元，則：單件利潤為

。降價后的銷售量為

。利潤用y元表示為

。方法二：化簡得：方法三：若設批發價下降0.1x元，則：單件利潤為：

。降價后的銷售量為：

。利潤用y元表示為

。化簡得：(13-0.1x-10)元（5000+500x）元提煉概念

1.求銷售中的最大利潤問題一般是運用“總利潤=總售價-

”或“總利潤=

×銷售數量”建立利潤與價格之間的函數關系式.2.求實際問題中的最值問題時，一般分為三步：（1）利用應用題中的已知條件和學過的有關數學公式列出關系式.（2）把關系式轉化為

的關系式.（3）求二次函數的最大值或最小值.每件商品的利潤總成本二次函數典例精講

例：某旅社有客房120間，每間房的日租金為160元時，每天都客滿，經市場調查發現，如果每間客房的日租金增加10元，那么客房每天出租數會減少6間.不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？最高總收入是多少？解：設客房的日租金增加x個10元，則客房每天的出租數減少6x間，設客房日租金的總收入為y元，則y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20.當x=2時，y有最大值19440.這時每間客房的日租金為160+10×2=180（元）.即旅社將每間客房的日租金提高到180元時，客房日租金的總收入最高，最高總收入為19440元.歸納概念

用二次函數解決最值問題的一般步驟：(1)建立利潤與價格之間的函數關系式：運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”(2)結合實際意義，確定自變量的取值范圍，(3)在自變量的取值范圍內確定最大利潤:運用公式法或通過配方法求出二次函數的最大值或最小值.課堂練習1．某商場降價銷售一批名牌襯衫，已知所獲利潤y（元）與降價x（元）之間的關系是y＝－2x2＋60x＋800，則利潤獲得最多為（

）A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元【詳解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故當x＝15時，y有最大值，最大值為1250即利潤獲得最多為1250元，故選：D．2.某商店購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內可售出400件.根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件.銷售單價為多少元時，半月內獲得的利潤最大？利潤最大是多少？解：設銷售單價為x元時，半月內獲得的利潤為y元，則

所以當銷售單價為35元時，半月內獲得的利潤最大，為4500元.【解析】設每件漲價x元，則y=(60+x-40)(300-10x)，(0≤x≤30)即y=-10（x-5）2+6250∴當x=5時，y最大值=6250.怎樣確定x的取值范圍3.（1）某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件.已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？可以看出，這個函數的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是函數圖象的最高點，也就是說當x取頂點坐標的橫坐標時，這個函數有最大值.由公式可以求出頂點的橫坐標.所以，當定價為65元時，利潤最大，最大利潤為6250元.也可以這樣求最值：在降價的情況下，最大利潤是多少？請你參考（1）的過程得出答案.【解析】設降價x元時利潤最大，則每星期可多賣20x件，實際賣出（300+20x)件，每件利潤為（60-40-x）元，因此，得利潤：y=(300+20x)(60-40-x)=-20(x2-5x+6.25)+6125=-20（x-2.5）2+6125∴x=2.5時，y最大值=6125.怎樣確定x的取值范圍（0＜x＜20）（2）某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件.已知商品的