[第[第i)則級數(shù)（3-3）收斂.（2）討論級數(shù)（3-4）收斂性判別方法.定理3.8（阿貝爾判別法）若為單調(diào)有界數(shù)列,且級數(shù)收斂,則級數(shù)（3-4）收斂.定理3.9（狄利克雷判別法）若數(shù)列單調(diào)遞減,且,又級數(shù)的部分和數(shù)列有界,則級數(shù)（3-4）收斂.例3.5應(yīng)用阿貝爾判別法或狄利克雷判別判斷下列級數(shù)的收斂性；;解：數(shù)列，但時有同時，當(dāng)時有即嚴(yán)格遞減且有界；當(dāng)時，原級數(shù)為，滿足萊布尼茨條件，即收斂；時，有即嚴(yán)格遞減且有界.又由于是收斂的，故由阿貝爾判別法知原級數(shù)收斂.本章詳細(xì)介紹了各種級數(shù)的收斂判別方法用不同的方法來判斷級數(shù)的斂散性.

第4章無窮級數(shù)與無窮積分的關(guān)系探討無窮積分和無窮級數(shù)的斂散性都是通過極限來定義的，只不過無窮積分是函數(shù)的極限，無窮級數(shù)是數(shù)列的極限，兩者有著密切的聯(lián)系.4.1無窮積分與數(shù)項級數(shù)的聯(lián)系定理4.1收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數(shù)列（其中A1=a）,數(shù)項級數(shù)收斂,且.（4-1）證：必要性如果無窮積分收斂,則充分性已知對任意的趨于+∞的遞增數(shù)列（其中A1=a）,數(shù)項級數(shù)收斂,即它的部分和數(shù)列（或）收斂,由海涅定理知,無窮積分收斂,且由此得到討論無窮積分的收斂問題可考慮轉(zhuǎn)化為討論無窮級數(shù)的收斂問題;另一方面,每一數(shù)項級數(shù),可以看作一個階梯函數(shù)的無窮限無窮積分,只要置,因而.4.2無窮積分和無窮級數(shù)的審斂法比較二者常用的審斂法有比較判別法、柯西判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。下面主要通過定理4.1,由無窮級數(shù)的判別法來推出無窮積分也具有相應(yīng)的判別法。例4.1由無窮級數(shù)的比較判別法可以推出無窮積分也具有比較判別法，反之同理。證明：已知無窮級數(shù)的比較判別法．即：當(dāng)時，若級數(shù)收斂。則級教也比收斂。由定理4.1可構(gòu)造如下函數(shù) ；，其中是任意趨于的遞增數(shù)列。由于，故，（4-2）因為定理4.1和級數(shù)收斂，所以無窮積分收斂；同理，因為定理4.1和級數(shù)收斂，所以無窮積分收斂；又由于級數(shù)收斂，則必有也收斂。故無窮積分收斂時，則必有窮積分也收斂。綜上可知：(4-2)式成立時，無窮積分窮積分收斂，則必有收斂。反之同理。 由無窮級數(shù)的柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法等判別法也可以推出無窮積分也具有柯西柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法別法等判別法。反之同理。而證明方法和上述的證明方法相仿．因此略。4.3無窮積分與無窮級數(shù)的差異對于無窮級數(shù)收斂的必要條件是,但對于無窮積分,卻未必有.例如，條件收斂,而卻不存在.究其原因,該例子中的是變號的.進一步,當(dāng),,且連續(xù),是否就有呢？回答是否定的.例如4.2無窮積分收斂.被積函數(shù).在時,且滿足.這表明函數(shù)圖像與第一項限的角平分線有無窮多個交點,交點的坐標(biāo)是（）.但當(dāng)時,函數(shù)值就急劇下降,當(dāng)時函數(shù)圖像已經(jīng)與軸很難區(qū)分開來.這個例子說明無窮積分收斂,不僅有,而且可以有,即函數(shù)是無界的.事實上,由定理我們可以看出式（4-1）中的,相當(dāng)于無窮級數(shù)中的,而不是.那么加什么條件才能得到結(jié)果呢？收斂時,互為充分條件定理4.2收斂,且在上一致連續(xù),則.證明用反證法.假設(shè),即,,,有.已知在一致連續(xù),即,,,有..（4-2）,.若,則有,矛盾.若,則,由（2）式有從而.若,則,由（2）式有從而,即.于是,,,有.根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則逆否命題,發(fā)散,已知條件矛盾.于是,.定理4.3若函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且無窮積分與都收斂,則.證明已知無窮積分收斂,即存在,也就是極限存在.設(shè).下面證明.用反證法.假設(shè),不妨設(shè),即.由連續(xù)函數(shù)的保號性,于是,有.從而,,有.根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則逆否命題,發(fā)散,已知條件矛盾.于是,.4.4本章小結(jié) 通過對無窮積分與無窮級數(shù)的審斂法的對比研究說明二者判別法上極為相似的本質(zhì)原因.再通過同時闡述了無窮積分與無窮級數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系,這兩部分內(nèi)容為數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)搭建了橋梁,將更易于掌握新知識、理清知識前后脈絡(luò)關(guān)系.通過對無窮積分和無窮級數(shù)的判別方法對比研究發(fā)現(xiàn)：無窮積分和無窮級數(shù)的斂散性都是由極限來定義的，只不過無窮積分是函數(shù)的極限，無窮級數(shù)是數(shù)列的極限，并且這兩部分能相互轉(zhuǎn)化，故它們的大多收斂問題都可歸化為同一種問題解決。這也是無窮積分與無窮級數(shù)在性質(zhì)和判別法上有這么多相似地方的本質(zhì)原因。雖然無窮積分與無窮級數(shù)有這么多相似的地方，它們?nèi)杂胁煌胤健１热鐭o窮級數(shù)收斂的必要條件并不能推廣成無窮積分收斂的必要條件。故最后為此討論了無窮積分收斂時一定有的若干充分條件。 參考文獻[1]張千祥,無窮級微和無窮積分的關(guān)系探討[J]：安慶師范學(xué)院(自然科版本） 2003,5,203-211.[2]關(guān)東月.關(guān)于無窮級數(shù)與無窮積分收斂的必要條件.[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版）,2004,5[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.[M].北京:高等教育出版社,2001[4]明清河.數(shù)學(xué)分析的思想方法.[M].濟南:山東大學(xué)出版社,2004.7[5]李經(jīng)文.數(shù)學(xué)分析縱橫談.[M].北京:氣象出版社,1996.4[6]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中典型問題與方法.[M].北京:高等教育出版社2006.4[7]魏正剛.數(shù)項級數(shù)與無窮限廣義積分.[J].科技資訊,2010.NO.12[8]徐晶.一種無窮積分與正項級數(shù)收斂的判別法.[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005,5[9]關(guān)東月.關(guān)于無窮級數(shù)與無窮積分收斂的必要條件.[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版）,2004,5[10]宋忠生.建立無窮積分與無窮級數(shù)之間的聯(lián)系.[J].山東建筑工程學(xué)報,1996,6[11]陳妙玲.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法.[J].長春理工大學(xué)學(xué)報,2010,6[12]劉寧.談無窮級數(shù)與廣義積分的關(guān)系.[J].重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2004,7[13]棧吉，數(shù)學(xué)分析是解精粹(第二版