2021年陜西省西安市八校高考數學聯考試卷（理科）（一）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合A,全集U={-1,-2,I,2,3,4},若Cu4={l,3,4）,則集合A是（）

A.{-1,-2,0,2}B.{-1,-2,2}C.{-1,-2}

D.{0}

2.已知/（x）為奇函數，當x>0時，f（x）=加氏+1,則/（-e）=（）

A.2B.0C.-2D.1

7T

3.若。€（-——，0），且sina+cosa=0,則sin3a=（）

2

A.-四B."C.-四D.—

2222

4.在1到100的整數中，除去所有可以表示為2〃（吒N+）的整數，則其余整數的和是（）

A.3928B.4024C.4920D.4924

22

5.已知雙曲線S：三一--=1的離心率為2,則雙曲線S的兩條漸近線的夾角為（）

mm+8

TT

6.已知信=1,F3=2,且之與式的夾角為則域->/品=（）

0

A.V7B.272C.77oD.779

7.已知點尸在圓C：（x-2）2+（>1）2=]上，直線/：3x+4y=12與兩坐標軸的交點分

別為M,N,則△尸MN的面積的最大值是（）

A.—B.8C.—D.9

22

8.已知命題p：3xeR,x-l0>lgx,命題q：VxeR,少》/，則（）

A.“pVq”是假命題B."p\q”是真命題

C.“pLq”是假命題D."p「q”是真命題

9.已知/（x）=yf^inxcosx+sin2x-1-（xG[0,JT-^-|）,則/（x）的值域是（）

A.[--1,*B.[-1,-1]C.1--^-,1]D.[-1,1]

10.如圖，已知底面邊長為〃的正四棱錐P-A8CQ的側棱長為2”，若截面PAC的面積為

8d尸，則正四棱錐P-A8CD的體積等于（）

A.12^14B.32舊c.毀巨“號

v33

11.（9+工-2）5的展開式的常數項是（）

X

A.-32B.-88C.88D.152

12.“aV-4”是“函數/（x）=段曳在區間（2,+8）上單調遞增”的（）

x-2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

二、填空題（共4小題）.

13.若拋物線的準線方程為）,=2,則該拋物線的標準方程是.

14.若“6R,i為虛數單位，|2+芻=4,則〃=.

1

15.將擺放在編號為1,2,3,4,5五個位置上的5件不同商品重新擺放，則恰有一件商品

的位置不變的擺放方法數為.（用數字作答）

16.已知函數/（x）=/+以+6有兩個零點xi、xi,且-1<XI<0VX2<2,則直線（2-a）

x+勿-3=0的斜率的取值范圍是.

三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第

17?21題為必考題。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。）

17.已知｛%｝為等差數列，各項都為正數的等比數列｛瓦｝的前〃項和為S“且"=3,53=

39,a\—bi-7,aw—b4-1.

（I）求｛%｝、｛瓦｝的通項公式;

（II）求和。1+2。2+2a3+....+2。=+。"+1.

18.已知正四面體ABC。，M、N分別在棱A。、AB±,且AN=—AB,尸為

23

棱AC上任意一點（P不與A重合）.

（I）求證：直線例N〃平面8OP；

(II)求直線￡W與平面08c所成角的正弦值.

22

19.已知橢圓C：三5■亮=1(a>b>0),B、B分別為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓

bZ

C上的任一點，且尸危|的最大值和最小值分別為3和1,過巳的直線為/.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設直線I與橢圓C交于A、B兩點，求△A8Q的面積的最大值.

20.西安市某街道辦為了綠植街道兩邊的綠化帶，購進了1000株樹苗，這批樹苗最矮2米,

最高2.5米，桂樹苗高度繪制成如圖所示頻率分布直方圖.

(I)試估計這批樹苗高度的中位數；

(II)用頻率代替概率，從這批樹苗中任取3株樹苗，用X表示取出的3株樹苗中高度

不低于2.3米的株數，求X的分布列和期望.

2.02.102202.302.402.50

21.已知函數/(x)=ln2xln2x.

(I)求/(x)的極值；

(II)設/?(x)=/(x)-Inx,求證：h(x)在［1,+8)上有兩個零點.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分.［選修4-4：坐標系與參數方程|

22.已知曲線5的參數方程為［'=羽也?+1(9為參數，0忘0<211).點/>(-5，-芻返)

［y=3cos922

TT

在曲線S上，直線/過點尸，且傾斜角為勺.

(I)求點尸在曲線s上對應的參數e的值；

(II)求直線/被曲線s截得的線段的長度.

［選修4-5：不等式選講］

23.己知/(x)=x\x-3|-4.

(I)解不等式/(x)W0；

(H)設g(x)=迄-(xW3,且xKO),求g(x)的值域.

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合A,全集U={-1,-2,1,2,3,4},若CuA={l,3,4),則集合A是()

A.{-1,-2,0,2}B.{-1,-2,2)

C.{-1,-2}D.{0}

解；因為全集^/={-1,-2,1,2,3,4},若CuA={l,3,4),

由補集的定義可得，A={-1,-2,2).

故選：B.

2.已知，(x)為奇函數，當x>0時，f(x)=/nx+l,則/(-e)=()

A.2B.0C.-2D.1

解：根據題意，當x>0時，f(x)=lnx+\,則/(e)=lne+\=2,

又由為奇函數，則/(-e)=-f(e)=-2,

故選：C.

TT

3.若“6(-0),且sina+cosa=0,則sin3a=()

A.-迪B.迪C.-返D.—

2222

解：因為sina+cosa=0,所以tanCl=亙嗎一二-1，

cosQ

jr

又因為ae(-—,0),

2

所以a=」TT\

4

則sin3a=sin(-等)Fin**.

故選：A.

4.在1到100的整數中，除去所有可以表示為2""6N+)的整數，則其余整數的和是()

A.3928B.4024C.4920D.4924

解:因為當為6口,100］時，〃=1,2,3,4,5,6,

所以21+22+23+24+25+26=2*)~=126,

又1+2+3+…+100=-l°U1°1-=5050,

所以在1至I」100的整數中，除去所有可以表示為2?（〃￡N+）的整數，其余的整數的和為

5050-126=4924.

故選：D.

22

5.已知雙曲線S：三--1=1的離心率為2,則雙曲線S的兩條漸近線的夾角為（）

mm+8

A,三□兀C」或工D.看或2兀

63633

22

解：當機+8>0時，雙曲線S：工一=1的離心率為2,

mm+8

可得￡=

a

解得〃?=4,所以雙曲線的漸近線方程為：土y=0,

兀

雙曲線S的兩條漸近線的夾角為：—.

22

當m+8V0時，雙曲線S：=1的離心率為2,

mm+8

可得￡?=-8-2m=2,

-8-m

22

解得〃--12,所以雙曲線七_金=0的漸近線方程為:=0,

雙曲線S的兩條漸近線的夾角為：-y.

故選：B.

TT

6.已知二|=1,市=2,且之與式的夾角為則戛-J品=（）

0

A.V?B.2&c.V10D.719

TT

解：,/1軟1=1,lfcj=2，且&與b的夾角為三—,

□

a■b=1x2義

??，符三,-2y?之兀+3,=1-2%X△3X22=7，

故心-后=新，

故選：A.

7.已知點尸在圓C：（x-2）2+。，+1）2=［上，直線/：3x+4y=12與兩坐標軸的交點分

別為M,N,則△PMN的面積的最大值是（）

17

B.8D.9

c.~2

解：如圖,

16-4-12I

圓C的圓心(2,-1)至1]直線3x+4y=12的距離d=~J=^=5'=2.

V3z+r

則圓C上的點P到直線/的距離的最大值為3.

又直線/：3x+4)，=12與兩坐標軸交點分別為M(4,0),N(0,3),

，|MN=5.

XAMN面積的最大值為S==X5X3=學.

22

故選：A.

8.已知命題p：3xeR,x-\0>lgx,命題q：VxCR,則()

A."p\Jq”是假命題B."p\q”是真命題

C.“p5q”是假命題D."PC是真命題

解：命題p：3x6R,x-10>/gx,當x=100時，不等式成立，故p為真命題；

命題4：VxGR,d>尚，當x=-l時，不等式不成立，故q為假命題；

故：“pYq”是真命題，“pAq”是假命題，"pLq"是真命題，“pLq”是真命

題.

故選：D.

IJT

9.已知/(%)=-^/^inxcosx+sin2x--(xe[0,-^-]),則f(x)的值域是()

A.[4,1]B,[-1,1]C,[-1,1]

D.[-1,1]

解：f(x)=2;/Xin2x+l-cos2x_工=2^皿2》.工os2x=sin⑵一看)

22222

兀兀兀5兀^K1

Vx6(0,],.<?2x--C[—-~],?e?sin(2x—~-)6[-1],

266662

.V(X)的值域為[-/，1].

故選：C.

10.如圖，已知底面邊長為。的正四棱錐尸-48C。的側棱長為2m若截面PAC的面積為

8有，則正四棱錐P-ABCD的體積等于（）

108

解：作尸0,底面ABC。于點O,則。是AC中點,

AC=Va2+a2=料a,

吁加2移產可口產一察產半

???截面PAC的面積為8板,

?，?S△?AC=JX血軟X、,4a=8我,

解得。=4,

???正四棱錐P-ABCD的體積為：

VP-ABCD=^XS正方形即⑦XP0

=12yV14

"X-a

_Vl43

一_6"a

=2^AX43

6

-32V14

3-

故選：B.

p

11.（r+工-2）5的展開式的常數項是（）

X

A.-32B.-88C.88D.152

解：（/+工-2）5表式5個因式（X2+工-2）的乘積，

xx

要得到常數項，有2種方法：

方法一，5個因式中每一個因式都取-2,可得到常數項，它的值為（-2）5=-32；

方法二：5個因式中，有2個因式取工，一個因式取工2,其余的因式都取-2,Cc-Co-

X

（-2）2=120,

綜上可得，常數項的值為-32+120=88,

故選：C.

21

12.-4”是“函數/（x）=三」曳在區間（2,+8）上單調遞增”的（）

x-2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

解：/（x）=（x-2）2+4（x-2）+4+a=（x-2）+±^4,

x-2x-2

當4+aVO時，即a<-4時，函數f（x）在（2,+~）為增函數，即充分性成立，

當4+。>0時，

?.j‘=x+"a+4在4+a，+°°）上為增函數，

x

：.f（X）在［岳）2,+8）上為增函數，

若f（x）在區間（2,+8）上單調遞增，

則止匕時44+a+2W2,即44+aWO,得a=-4,此時aV-4不成立，即必要性不成立，

即-4”是“函數/（x）=上曳在區間（2,+8）上單調遞增”的充分不必要條

x-2

件,

故選：A.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卷中相應的橫線上）

13.若拋物線的準線方程為y=2,則該拋物線的標準方程是#=-8y.

解：由拋物線的準線方程為），=2,可知拋物線是焦點在y軸負半軸上的拋物線，

設其方程為N=-2py（p>0）,

則其準線方程為尸步2,得P=4.

該拋物線的標準方程是/=-8y.

故答案為：n=-8）,.

14.若“WR,，?為虛數單位，|2+自=4,則a=_±2j^.

解：因為|2仔=|24^"|=|2-ai|=4,

11

所以何22+（十）2=4,解得a=±2?.

故答案為：±2?.

15.將擺放在編號為1,2,3,4,5五個位置上的5件不同商品重新擺放，則恰有一件商品

的位置不變的擺放方法數為45.（用數字作答）

解：根據題意，分2步進行分析：

①將5件不同商品中選出1件，放回原來的位置，有C51=5種情況，假設編號為5的位

置不變，

②剩下四件都不在原來位置，即編號為1,2,3,4的四件商品都不在原來位置，

編號為1的商品有3種放法，假設其放在了2號商品原來的位置，則2號商品有3種放

法，

剩下編號為3、4的兩件商品只有1種放法，

則其余四件商品的放法有3X3=9種，

故恰有一件商品的位置不變的擺放方法有5X9=45種，

故答案為：45.

16.已知函數/（x）=X2+0￥+方有兩個零點即、X2,且-1<XIV0VX2<2,則直線（2-a）

x+外-3=0的斜率的取值范圍是+8）.

解：二次函數f（x）=/+依+6有兩個零點X”X2,

且-1<見<0<&<2,

則XI,X2是函數/(X)的兩個零點,

f(-1)=-a+b+l>0

??.<f(0)=b<0,

f(2)=2a+b+4>0

畫出可行域如圖，

由圖可知，A(1,0),B(-2,0),

聯立(2a+b+4=0,解得c(-1,-2).

I-a+b+l=0

a-2_]

直線(2-a)x+2y-3=0的斜率為二b，

a-2

其幾何意義為可行域內動點(a,b)與定點(2,0)連線斜率的倒數，

由圖可知，履A=0,kp「=:?="|~,

直線(2-“)x+by-3=0的斜率的取值范圍是得+8).

故答案為：[多+°°).

三、解答題(本大題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第

17?21題為必考題。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。)

17.已知｛a,,｝為等差數列，各項都為正數的等比數列｛d｝的前〃項和為S“且加=3,S3=

39,。1=歷-7,。40=d-1?

(I)求｛〃〃｝、｛包｝的通項公式；

(II)求和〃1+2。2+2。3+.......+2。〃+。〃+].

解：(I)設等差數列｛。〃｝的公差為義等比數列｛兒｝的公比為必4>0,

由bi=3,53=39,a\=bi-7,040=64-1,可得3+3夕+3爐=39,a\=3q-7,a\+39d=3q3

解得4=3,d=2,671=2,

貝lJm=2+2(n-1)=2〃；氏=3?3〃i=3〃，HGN*；

(II)〃1+2。2+2。3+.......+2a〃+a〃+i=2(0+〃2+。3+.......+a”+m+i)-a\-an+i

=2*—(/i+l)(2+2/?+2)-2-2(〃+l)=2n2+4n.

2

18.已知正四面體ABC。，M、N分別在棱A。、A8上，且AM=Lw￡>,AN^—AB,尸為

23

棱AC上任意一點(尸不與A重合).

(I)求證：直線MN〃平面BOP；

(II)求直線ON與平面OBC所成角的正弦值.

'：AN=—AB,：.MN//BD,

3

又MNC平面BOP,BOu平面3OP,

〃平面BDP.

(II)解：取4c的中點0,連接。8,

以。為原點，OB,0C所在直線分別為x,y軸，作。2_￡平面48。，建立如圖所示的空

間直角坐標系，

設正四面體A8CO的棱長為3,則正四面體的高為加，

J.B0,0),C(0,—,0),￡>(返,0,戈)，N(返，-1,0)

222v2

.?.示=（0,-1,-瓜），BC=（50）,而=（一百，0，加），

/乙

設平面D8C的法向量為（X，?z）,則J[”上二°,即挈號=。,

[n，BD=0

-V3x+V6z=0

令x=&，則^=加，z=l,；.[=（&，返，1），

設直線ON與平面OBC所成角為仇則sin0=|cos<7而>|=|」?[4日一更一沙?

In|?IDN|3XV7

-2742

---------,

21—

故直線ON與平面DBC所成角的正弦值為工逗.

21

22

19.已知橢圓C：（a>b>0）,B、乃分別為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓

22

ab

C上的任一點，且|尸網的最大值和最小值分別為3和1,過尸2的直線為/.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設直線/與橢圓C交于4、B兩點,求△A8Q的面積的最大值.

解：（I）由橢圓的性質可知，（a+c=3,解得。=2,。=1,

Ia-c=1

b2=a2-d=3,

22

所以橢圓方程為

43

（ID由題意分析可知直線/的斜率不能為零，設A（xi,yi）,B（及，”），/的方程

為x=my+L

x=my+l

聯立方程《22,得(3加+4)y2+6my-9=0,

I-43=11

△=36加+36(3/w2+4)>0,

6m-9

"產2=中工32=R

W工?可3產2）2-432=｛（譚工）2月磊

1________

=12.建2tL.=12.91

(3m2+4)29(m+1)+~5+6’

mJ+l

所以當且僅當，"=0時M-列取到最大值3,

SAABF,"fX2cX跖~20,

即三角形ABFi面積的最大值為3.

20.西安市某街道辦為了綠植街道兩邊的綠化帶，購進了1000株樹苗，這批樹苗最矮2米,

最高2.5米，1安樹苗高度繪制成如圖所示頻率分布直方圖.

(I)試估計這批樹苗高度的中位數；

(H)用頻率代替概率，從這批樹苗中任取3株樹苗，用X表示取出的3株樹苗中高度

不低于2.3米的株數，求X的分布列和期望.

頻率

島度(米)

解:(7)區間⑵0,2.10)的頻率=0.1X1.0=0.10,區間［2.10,2.20)的頻率=0.1X3.5

=0.35,區間［2.20,2.30)的頻率=0.1X2.5=0.25,

區間［2.30,2.40)的頻率=0.1X2.0=0.20,區間［2.40,2.5］)的頻率=0.1X1.0=0.10.

由0.10+0.35=0.45<0.5,0.10+0.35+0.25=0.7>0.5,

可設這批樹苗高度的中位數為x,則0.45+(%-2.20)X2.5=0.5,解得x=2.22.

這批樹苗高度的中位數為2.22.

(//)區間［2.30,2.40)的頻率=0.20,區間［2.40,2.5］)的頻率=0.10.

0.20+0.10=0.30.

取出的3株樹苗中高度不低于2.3米的株數X?8(3,0.3),

：.P(X=k)=苗*0.3*X0.73工k=31,2,3.

可得X分布列為：

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E(X)=3X0.3=09

21.已知函數/(x)=lri1xln2x.

(I)求/(X)的極值；

(II)設"(x)=/(x)-Inx,求證：h(x)在[1,+8)上有兩個零點.

解：(I)f(x)=lri1xln2x=ln2x(ln2+lnx)=/n2/n2x+/n3x,

f(x)=2ln2lnx*-^-3ln2x*—=—?Inx(/〃4+3/nx),

XXX

令/(x)=0,得Xl=l,X2=

所以在（0,(1,+°°)上，f(x)>0,f(x)單調遞增,

1)上，f(x)<0,f(x)單調遞減,

所以/（x）=f(4—=/序(4—//?2,4—1=-4IQ2.

J33327

/(x)極小僦=/(1)=0?

(II)/z(x)=f(x)-lnx=Inllrfix+ln？x-Inx,xE[lf+°°),

令t=lnx,Z，0

所以y=(//?2)r2+r3-t=t[(/n2)t+t2-\]=t{ln2t2-1),

當，=0時，h(r)=0,

所以加x=0,即x=l是函數〃（x）的一個零點,

當歷2盧-1=0時，又所以f=島

即》=,^^是函數〃（“）的一個零點，

所以lnx=

所以