1.4.2三角形三條角平分線的性質(zhì)回顧舊知角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。角平分線的判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。模塊1講作業(yè)模塊2上新課模塊3做練習模塊4課堂小結(jié)

大家玩過折紙嗎？請拿出你準備好的一個三角形，我們來折一折：1、請折出三角形的三個角的角平分線；情境引入2、請問這三條角平分線能否通過尺規(guī)作圖作出來呢？ABC3、請問這三條角平分線有什么位置關(guān)系？活動1

分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的內(nèi)角平分線一發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點.講授新課活動2

分別過此交點作三角形三邊的垂線，每組垂線段，你猜想一下他們有什么數(shù)量關(guān)系？猜想：過此交點作三角形三邊的垂線段相等.發(fā)現(xiàn)：1、三角形的三條角平分線相交于一點.2、過此交點作三角形三邊的垂線段相等.你能證明你的猜想嗎？聯(lián)想：對于第一個結(jié)論，我們能否借鑒之前證明三角形三條垂直平分線交于一點的證明方法嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P.求證：點P在∠BAC的平分線上，且點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明結(jié)論D

E

F

A

B

C

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N

M

D

E

F

A

B

C

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N

M

思路：PB平分∠ABCPD⊥ABPE⊥BCPD=PEPC平分∠ACBPE⊥BCPF⊥ACPE=PFPD=PE=PF證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.同理PE=PF（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.∴PD=PF=PE（等量代換）∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)∴點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

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M

歸納總結(jié)

三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三角形三條邊的距離相等。

這個點叫三角形的內(nèi)心（即三角形內(nèi)切圓的圓心）應用格式：∵點P是∠ABC，∠ACB的平分線的交點，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC∴點P在∠BAC的角平分線上，且PD=PF=PE（三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等）D

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M

三角形中垂線與角平分線的區(qū)別三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形鈍角三角形直角三角形交點性質(zhì)交于三角形內(nèi)一點交于三角形外一點交于斜邊的中點到三角形三個頂點的距離相等交于三角形內(nèi)一點到三角形三邊的距離相等議一議練習1.如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CD.練一練解：（1）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴DE=CD=4cm（角平分線上的點到這個角的兩條邊的距離相等）

又∵AC=BC，∠C=90°

∴∠B=∠BAC=45°（等腰直角三角形的兩底角均為45°）

∴BE=DE=4cm．（等腰直角三角形的兩直角邊相等）在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=4cm,∴AC=BC=CD+BD=4+4（cm）（2）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ACE=∠AED=90°（三角形內(nèi)角和180°）在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=DE∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形對應邊相等）又∵BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD．MENABCPOD(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.練習2.如圖，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)點O到△ABC三邊的距離和為_________；12MENABCPOD解：（2）連接OC.從這道題中，你能歸納出一個求面積的公式嗎？練習3.如圖，PB，PC分別是△ABC的外角平分線，且相交于點P，求證：點P在∠BAC的平分線上MQN解：過點P作PM⊥AB于點M，作PN⊥AC于點N，作PQ⊥BC于點Q∵PB，PC分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC（已知）∴PM=PQ，PN=PQ（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）∴PM=PN（等量代換）又∵PM⊥AB，PN⊥AC，點P在∠BAC的內(nèi)部∴點P在∠BAC的角平分線上（在一個角的內(nèi)部，到這個角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上）MQN拓展思維練習4.如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站。（1）要求它到l1、l2這兩條公路的距離相等,那么如何選擇貨物中轉(zhuǎn)站的位置？（2）要求它到這三條公路的距離都相等,那么如何選擇貨物中轉(zhuǎn)站的位置？P1P2P3P4l1l2l3課后總結(jié):這節(jié)課你的收獲是什么？