兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎自測基礎自測1.已知sin=,且∈，那么的值等于.答案2.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan2=.答案-3.設∈（0，），若sin=，則cos（+）=.答案4.（2008·山東理）已知cos+sin=,則sin的值是.答案5.函數y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期為. 答案例1求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.例2已知cos()=-,sin(-)=,且＜，＜，求cos的值.解,∵＜＜π,0＜＜∴＜-＜π,-＜-＜.∴sin==,cos==∴cos=coscos+sinsin=.例3(14分)若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.解∵A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-， 6分∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=×-×= ① 10分又∵＜A＜,＜B＜, 12分∴＜A+B＜2 ②由①②知，A+B=. 14分例4化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解方法一（復角→單角，從“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二（從“名”入手，異名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=（1+cos2·cos2-cos2-cos2）+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)-·［2cos2(+)-1］=.1.不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.解sin220°+cos280°+sin20°cos80°=(1-cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°=1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1-cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°=1-cos40°-(1-cos40°）=.2.求值：（1）已知cos=-,sin=,且＜＜π,0＜＜,求cos的值；（2）已知tan=4,cos(+)=-,、均為銳角，求cos的值.解（1）+=,∵＜＜,0＜＜.∴∈,∈∴sin==,cos=,∴cos=cos=coscos-sinsin=×-×=-.(2)∵tan=4,且為銳角，∴,即sin=4cos,又∵sin2+cos2=1,∴sin=,cos=.∵0＜,＜,∴0＜+＜,∴sin(+)==.而=(+)-,∴cos=cos［（+）-］=cos(+)cos+sin(+)sin=×+×=.3.在△ABC中，角A、B、C滿足4sin2-cos2B=,求角B的度數.解在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.4.化簡：（1）sin+cos;(2）.解（1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式===1.一、填空題1.已知tan(+)=,tan=,那么tan=.答案2.sin163°·sin223°+sin253°·sin313°=.答案3.已知x∈,cosx=,則tan2x=.答案-4.已知cos2=（其中∈），則sin的值為.答案-5.（cos）(cos)=.答案6.若f(x)=2tanx-，則f的值為.答案87.（2008·上海理，6）函數f(x)=sinx+sin的最大值是.答案28.求值：cos4+cos4+cos4+cos4=.答案二、解答題9.已知tan=,tan=,并且,均為銳角，求+2的值.解∵tan=＜1,tan=＜1,且、均為銳角，∴0＜＜,0＜＜.∴0＜+2＜.又tan2==,∴tan(+2)===1.∴+2=.10.若函數f（x）=-asin·cos的最大值為2，試確定常數a的值.解f（x）=+asincos=cosx+sinx=sin（x+），其中角滿足sin=.由已知，有+=4.解之得a=±.11.已知sin·sin=,∈,求2sin2+tan--1的值.解∵sinsin=,∴sincos=,即sin=,sin=,∴cos4=，又∵∈,∴4=,=,∴2sin2+tan--1=2sin2+--1=2sin2-1+=