中考數學壓軸題一.因動點產生的等腰三角形問題例1：（2012?德陽）在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BE⊥DB交x軸于點E．（1）求經過點D、B、E的拋物線的解析式；（2）將∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交（1）中的拋物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結論OF=DG能成立嗎？請說明理由；（3）過（2）中的點F的直線交射線CB于點P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點的坐標．例2：2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．圖1例3：2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．圖1二.因動點產生的直角三角形問題例1：(2011德陽)(本小題滿分14分)如圖，已知拋物線經過原點O，與軸交于另一點A，它的對稱軸與軸交于點C，直線經過拋物線上一點B()，且與軸、直線分別交于點D，E．(1)求拋物線對應的函數解析式并用配方法把這個解析式化成的形式；(2)求證：CD⊥BE；(3)在對稱軸上是否存在點P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由。例2：2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m,0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．圖1例3：2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．圖1三．因動點產生的平行四邊形問題例1：2013年上海市松江區中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A(0,1)、B(4,3)兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．圖1例2：2012年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1例3：2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數的圖象上，且MO＝MA．二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象經過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖象上，點D在一次函數的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．圖1例4：2009年江西省中考第24題如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF//DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系．圖1中考數學壓軸題（解析）因動點產生的等腰三角形問題例1：（2012?德陽）在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BE⊥DB交x軸于點E．（1）求經過點D、B、E的拋物線的解析式；（2）將∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交（1）中的拋物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結論OF=DG能成立嗎？請說明理由；（3）過（2）中的點F的直線交射線CB于點P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點的坐標．思路點撥（1）本題關鍵是求得E點坐標，然后利用待定系數法求拋物線解析式．如題圖，可以證明△BCD≌△BAE，則AE=CD，從而得到E點坐標；（2）首先求出M點坐標，然后利用待定系數法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點坐標，進而得到線段CG、DG的長度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，從而求得OF的長度．比較OF與DG的長度，它們滿足OF=DG的關系，所以結論成立（3）本問關鍵在于分類討論．△PFE為等腰三角形，如解答圖所示，可能有三種情況，需逐一討論并求解．滿分解答解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA．在△BCD與△BAE中，∴△BCD≌△BAE，∴AE=CD．∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點，∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．設過點D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則有：解得，∴經過點D、B、E的拋物線的解析式為：y=x2+x+2．（2）結論OF=DG能成立．理由如下：由題意，當∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF，∴AF=CG．∵xM=，∴yM=xM2+xM+2=，∴M（，）．設直線MB的解析式為yMB=kx+b，∵M（，），B（4，4），解得，∴yMB=x+6，∴G（0，6），∴CG=2，DG=4．∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）．∵OF=2，DG=4，∴結論OF=DG成立．（3）如圖，△PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：①若PF=FE．∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時P點位于射線CB上，∵F（2，0），∴P（2，4），此時直線FP⊥x軸，∴xQ=2，∴yQ=xQ2+xQ+2=，∴Q1（2，）；②若PF=PE．如圖所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF為等腰三角形，∴此時點P、Q與點B重合，∴Q2（4，4）；③若PE=EF．∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時P點位于射線CB上，∵E（6，0），∴P（6，4）．設直線yPF的解析式為yPF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），解得，∴yPF=x﹣2．∵Q點既在直線PF上，也在拋物線上，∴x2+x+2=x﹣2，化簡得5x2﹣14x﹣48=0，解得x1=，x2=﹣2（不合題意，舍去）∴xQ=2，∴yQ=xQ﹣2=﹣2=．∴Q3（，）．綜上所述，Q點的坐標為Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（，）．例2：2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最小．2．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數關系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最小．設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標為(1,2)．圖2（3）點M的坐標為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標為(1,1)．②如圖4，當AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標為(1,)或(1,)．③如圖5，當CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)．圖3圖4圖5例3：2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2,y)．①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．圖2圖3二．因動點產生的直角三角形問題例1：(2011德陽)(本小題滿分14分)如圖，已知拋物線經過原點O，與軸交于另一點A，它的對稱軸與軸交于點C，直線經過拋物線上一點B()，且與軸、直線分別交于點D，E．(1)求拋物線對應的函數解析式并用配方法把這個解析式化成的形式；(2)求證：CD⊥BE；(3)在對稱軸上是否存在點P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由。解：(1)∵已知拋物線的對稱軸為，∴設拋物線的解析式為，又∵直線經過點B()，∴，解得，，∴點B()，又∵二次函數的圖象經過0(0，0)B()，解得，∴拋物線的解析式為．(2)由題意解方程組，得∴點E的坐標為(2，5)，∴CE=5．過點B作BF垂直于軸于F，作BH垂直于直線于H，交軸于點Q，∵點B()，D(0，1)，∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4．在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中有勾股定理得BE=,BD=,BC=∴BD=BE又∵EC=5，∴BC=CE，∴CD⊥BE.(3)結論：存在點P，使△PBE是直角三角形．①當∠BPE=90°時，點P與(2)中的點H重合，∴此時點P的坐標為；延長BH與過點A(4，0)且與軸垂直的直線交于M，則②當∠EBP=90°時，設點P(2，)，∵E(2，5)，H(2，)，B()，∴BH=4，EH=8，PH=．在Rt△PBE中，BH⊥PE，可證得△BHP∽△EHB，，即，解得，此時點P的坐標為．過點P與軸平行的直線與FB的延長線交于點N，則綜合①，②知點P的坐標為，△PAB的面積為6；或點P的坐標為，△PAB的面積為12.例2：2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m,0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQ＝DC列方程．2．第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結論．3．第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形．滿分解答（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．（2）直線DB的解析式為．由點P的坐標為(m,0)，可得，．所以MQ＝．當MQ＝DC＝8時，四邊形CQMD是平行四邊形．解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．所以四邊形CQBM是平行四邊形．圖2圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(－2,0)，(6,－4)．考點伸展第（3）題可以這樣解：設點Q的坐標為．①如圖3，當∠DBQ＝90°時，．所以．解得x＝6．此時Q(6,－4)．②如圖4，當∠BDQ＝90°時，．所以．解得x＝－2．此時Q(－2,0)．圖3圖4例3：2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．圖1思路點撥1．根據同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個．2．當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合∠AMB＝90°的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．3．靈活應用相似比解題比較簡便．滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(－4,0)、B(2,0)．對稱軸是直線x＝－1．（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D′．設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點D的坐標為．因為AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標為．圖2圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了．聯結GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以點M1的坐標為(－4,6)，過M1、E的直線l為．根據對稱性，直線l還可以是．考點伸展第（3）題中的直線l恰好經過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過點C．三．因動點產生的平行四邊形問題例1：2013年上海市松江區中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A(0,1)、B(4,3)兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．圖1思路點撥1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝yM－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設點M的坐標為，點N的坐標為，那么．當四邊形MNCB是平行四邊形時，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因為x＝3在對稱軸的右側（如圖4），所以符合題意的點M的坐標為（如圖3）．圖3圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．所以符合題意的點M有4個：，，，．圖5例2：2012年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來．3．構造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標為．于是得到．因此．所以當t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，FE＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構造點F關于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據FQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據EQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．如圖2，當FQ＝CQ時，FQ2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3例3：2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數的圖象上，且MO＝MA．二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象經過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖象上，點D在一次函數的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．圖1思路點撥1．本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數．2．根據MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟．3．第（3）題求點C的坐標，先根據菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3．如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．