北京市密云區2021年九年級上學期《數學》期末試卷與參考答案一、選擇題本題共24分，每小題3分。下面各題均有四個選項，其中只有一個選項是符合題意的。1.拋物線的頂點坐標是（）A.（﹣2，1） B.（﹣2，﹣1） C.（2，1） D.（2，﹣1）【答案】B【詳解】解：拋物線的頂點坐標是（﹣2，﹣1），故選：B．2.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為CD、DE，直線l5被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，則GH的長為（）A.0.6 B.1.2 C.2.4 D.3.6【答案】C【詳解】∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴＝，∴GH＝24，故選：C．3.已知點是反比例函數圖像上的兩點，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】，∴反比例函數位于第一、三象限，且在每個象限內都是y隨著x的增大而減小，，故選：D．4.將的各邊長都縮小為原來的，則銳角A的正弦值（）A.不變 B.縮小為原來的 C.擴大為原來的2倍 D.縮小為原來的【答案】A【詳解】設AC＝b，AB＝c，BC＝a，∴當各邊長都縮小為原來的時，，，，∴∴銳角A的正弦值不變，故選：A．5.如圖，二次函數的圖像經過點，，，則下列結論錯誤的是（）A.二次函數圖像的對稱軸是B.方程的兩根是，C.當時，函數值y隨自變量x的增大而減小D.函數的最小值是【答案】D【詳解】解：A：由點A、B的坐標知，二次函數圖象的對稱軸是x=（3-1）=1，故不符合題意；B：由函數圖象知，與x軸交點坐標為（-1，0）、（3，0），故方程ax2＋bx＋c=0的兩根是，，故不符合題意；C：拋物線的對稱軸為x=1，從圖象看，當x＜1時，函數值y隨自變量x的增大而減小，故不符合題意；D：設拋物線的表達式為，當x=0時，y=a（0＋1）（0-3）=-1，解得a=，故拋物線的表達式為y=（x＋1）（x-3），當x=1時，函數的最小值為，故符合題意；故選：D．6.如圖，AB是的直徑，C，D是上的兩點，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】解：∵AB是的直徑，．∵和都是所對的圓周角，，，故選：C．7.如圖，在平面直角坐標系中有兩點A（-2，0）和B（-2，-1），以原點O為位似中心作△COD，△COD與△AOB的相似比為2，其中點C與點A對應，點D與點B對應，且CD在y軸左側，則點D的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】∵B（-2，-1），以原點O為位似中心作△COD，△COD與△AOB的相似比為2，點D與點B對應，且CD在y軸左側，∴點D的橫坐標為，縱坐標為，∴點D的坐標為，故選：B．8.如圖，AB是的直徑，，P是圓周上一動點（點P與點A、點B不重合），，垂足為C，點M是PC的中點．設AC長為x，AM長為y，則表示y與x之間函數關系的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】解：∵AB是直徑，則∠APB=90°，則∠BPC＋∠APC=90°而∠APC＋∠PAC=90°，∴∠PAC=∠BPC，則tan∠PAC=tan∠BPC，∴，即，∵點M是PC的中點，則，則，∴（0<x<4），可知y與x之間的函數圖像不是一次函數，故排除C，當x=1時，，故排除D，當x=3時，，故排除A，故選：B．二、填空題本題共24分，每小題3分。9.若扇形的圓心角為60°，半徑為2，則該扇形的弧長是_____（結果保留）【答案】【詳解】解：依題意，n=，r=2，∴扇形的弧長=．

故答案為：．10.已知中，D是BC上一點，添加一個條件使得，則添加的條件可以是_________．【答案】（本題答案不唯一）【詳解】添加：∠B＝∠DAC在△ABC和△DAC中,∵∠BAC＝∠C，∠B＝∠DAC∴△ABC∽△DAC故答案為：∠B＝∠DAC（答案不唯一）【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．11.已知點是反比例函數圖像上的兩點，其中，則_________．【答案】0【詳解】∵點是反比例函數圖像上的兩點，∴，∵∴。故答案為：012.如圖，中，E是AD中點，BE與AC交于點F，則與的面積比為_________．【答案】【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，AE∥BC，

∴△AEF∽△CBF，∴，

∴，故答案為：．13.二次函數的最小值是_________．【答案】【詳解】∵二次函數y=x2-2x-3可化為y=（x-1）2-4，∴最小值是-4．14.如圖，是上三點，，垂足為D，已知，，則BC長為_________．【答案】【詳解】解：連接OB，如圖所示：∵BC⊥OA，∴BD=CD，∵OB=OA=3，AD=1，∴OD=OA-AD=2，∴BD=，∴BC=2BD=2，故答案為：2．15.如圖是某商場自動扶梯的示意圖，自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為6m，則自動扶梯的垂直高度BD=_________m．（結果保留根號）．【答案】【詳解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，又∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝AC＝6cm，在Rt△BCD中，cm16.《九章算術》是我國古代數學名著，也是古代東方數學的代表作之一．書中記載了一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容圓半徑幾何？”譯文：“如圖，今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的圓（內切圓）的半徑是多少步？”根據題意，該直角三角形內切圓的半徑為____步．【答案】【詳解】解：連接，如下圖：由題意可得：，，∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形設半徑為，則∴，∴，解得。三、解答題本題共52分，其中17-21每題5分，22題6分，23-25題每題7分。17.計算：【答案】【詳解】解：原式18.已知拋物線經過兩點A（4，0），B（2，-4）．（1）求該拋物線的表達式；（2）在平面直角坐標系xOy內畫出拋物線的示意圖；（3）若直線y=mx+n經過A，B兩點，結合圖象直接寫出不等式的解集．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】解：（1）∵拋物線經過兩點∴解得：∴該拋物線的表達式為；（2）畫出函數圖象，如圖所示：（3）由圖象可知：即拋物線圖象在直線y=mx＋n圖象的上方，即點A、B之間的部分符合題意，∴不等式的解集：．19.如圖，AB⊥BC，EC⊥BC，點D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）求∠ADE的度數．【答案】（1）見解析（2）∠ADE＝90°【小問1詳解】證明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，點D在BC上，∴∠ABD＝∠DCE＝90°．∵AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6，∴＝，＝．∴＝．∴△ABD∽△DCE；【小問2詳解】由（1）知，△ABD∽△DCE，則∠BAD＝∠EDC．∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°．∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．20.如圖，四邊形ABCD中，，，，，求AD的長．【答案】【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴，∴．21.已知雙曲線與直線交于，．（1）求k，m值；（2）將直線，平移得到：，且與雙曲線圍成的封閉區域內（不含邊界）恰有3個整點（把橫縱坐標均為整數的點稱為整點）結合圖象，直接寫出b的取值范圍．【答案】（1），；（2）或【詳解】解：（1）∵點在雙曲線上，∴，∴，∴雙曲線的表達式為，∵點在雙曲線上，∴，∴，；（2）如圖所示，當直線在直線的下方時，，當直線在直線的上方時，，∴b的取值范圍是：或．22.如圖，AB是的直徑，C、D是圓上兩點，CD=BD，過點D作AC的垂線分別交AC，AB延長線于點E，F．（1）求證：EF是的切線；（2）若AE-3，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】解：（1）證明：連接OD，AD∵∴∵∴∴∵∴∴∴∴∴是的切線（2）在中，∴∵∴設，（），解得∵∴∴∵，∴∴∴∴，解得：23.已知拋物線與y軸交于點P，將點P向右平移4個單位得到點Q，點Q也在拋物線上．（1）拋物線的對稱軸是直線；（2）用含的代數式表示b；（3）已知點，，拋物線與線段MN恰有一個公共點，求的取值范圍．【答案】（1）2；（2）；（3）或【詳解】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3a與y軸交于點P，∴P（0，3a），∵將點P向右平移4個單位得到點Q，∴Q（4，3a）；∵P與Q關于對稱軸x=2對稱，∴拋物線對稱軸直線x=2，故答案為2；（2）∵拋物線的對稱軸是直線∴∴；（3）解：由（2）知，拋物線的表達式為令，解得：，∴拋物線經過和設點，在拋物線上，則，，故此點M在R上方①當時，若拋物線與線段恰有一個公共點，需滿足點N與點S重合（如圖1）或點N點S下方（如圖2），即，解得：，即②當時，，故此點N在點S下方，此時拋物線與線段恰有一個公共點（如圖3）綜上所述：的取值范圍是：或24如圖，矩形ABCD中，AD>AB，DE平分∠ADC交BC于點E，將線段AE繞點A逆時針旋轉90°得到線段AF，連接EF，AD與FE交于點O．（1）①補全圖形；②設∠EAB的度數為，直接寫出∠AOE的度數（用含的代數式表示）．（2）連接DF，用等式表示線段DF，DE，AE之間的數量關系，并證明．【答案】（1）①見解析；②；（2），證明見解析【詳解】（1）①如圖，②∵將線段AE繞點A逆時針旋轉90°得到線段AF，，．∵四邊形ABCD是矩形，∴．，，；（2），證明：延長DE，AB交于點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．25.對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P是圖形M上的任意一點，Q是圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間距離有最小值，則稱這個最小值為圖形M，N的“最小距離”，記作d（M，N）．已知的半徑為1．（1）如圖，P（4，3），則（點，）=，d（點P，）=．（2）已知A、B是上兩點，且弧AB的度數為60°．①若軸且在x軸上方，直線，求d（，AB）的值；②若點R坐標為（，1），直接寫出點d(點R，AB）取值范圍．【答案】