有自由邊的各向異性矩形板的一般解

1重傅立葉級數法關于各向異性板理論的書籍很少，但計算的示例與各向異性板的計算非常不同。重傅立葉最初用于四邊簡單的矩形板，然后用綠色用于四邊固定的矩形板。張福凡使用與green不同的方法來解決許多固定的矩形板的問題，但沒有使用自由邊的問題。自由邊的問題是用單傅立葉數解的。王克林通過了綠色的方法，第一次使用了重傅立葉的比例。從那時起，這種方法被用作自由邊材材料的線性、線性曲線的穩定和振動。whitny計算了自由邊材材料的四邊固定邊板，包括中厚板的非線性、線性曲線、穩定和振動。whitny計算了不規則基質的四個角形板或簡單邊界條件的矩形板。文章中提到了自由邊界問題，但沒有具體的方法和計算示例。本方法采用重傅立葉變換法，提供方便、簡潔的語法。在不同的負荷下，可以求解四個向自由彈性基底的矩形板、四個向自由角的矩形板、懸臂板和兩個兩側自由變形板的不同折疊問題。2中心對稱問題各向異性板的控制微分方程為L1w+L2w=q(1)其中微分算子L1(*)=D11(*),xxxx+2(D12+2D66)(*),xxyy+D22(*),yyyy+kwL2=4D16(*),xxxy+4D26(*),xyyy上式中k是彈性地基系數.撓度w和載荷q,可按關于x=a/2和y=b/2的對稱性分解為w=wss+waa+wsa+wasq=qss+qaa+qsa+qqs(2)這里上標ss表示關于x=a/2與y=b/2雙軸對稱,上標aa表示關于x=a/2與y=b/2雙軸反對稱.上標sa表示關于x=a/2對稱而關于y=b/2反對稱,上標as表示關于x=a/2反對稱而關于y=b/2對稱.把(2)式代入(1)式并按對稱性分解得L1wss+L2waa=qssL1waa+L2wss=qaa(3)L1wsa+L2was=qsaL1was+L2wsa=qas(4)方程(3)為中心對稱問題,方程(4)為中心反對稱問題.邊界條件也可按對稱性分解.以中心對稱問題為例,自由邊的條件為(D11wss,xx+D12wss,yy+2D16waa,xy)|x=0=0[D11waa,xxx+(D12+4D66)waa,xyy+4D16wss,xxy+2D26wss,yyy]|x=0=0}(5)(D11wss,xx+D12wss,yy+2D16waa,xy)|x=0=0[D11waa,xxx+(D12+4D66)waa,xyy+4D16wss,xxy+2D26wss,yyy]|x=0=0}(5)(D11waa,xx+D12waa,yy+2D16wss,xy)|x=0=0-[D11wss,xxx+(D12+4D66)wss,xyy+4D16waa,xxy+2D26waa,yyy]|x=0=0}(6)(D11waa,xx+D12waa,yy+2D16wss,xy)|x=0=0?[D11wss,xxx+(D12+4D66)wss,xyy+4D16waa,xxy+2D26waa,yyy]|x=0=0}(6)(D12wss,xx+D22wss,yy+2D26waa,xy)|x=0=0[D22waa,yyy+(D12+4D66)waa,xyy+4D26wss,xyy+2D16wss,xxx]|x=0=0}(7)(D12wss,xx+D22wss,yy+2D26waa,xy)|x=0=0[D22waa,yyy+(D12+4D66)waa,xyy+4D26wss,xyy+2D16wss,xxx]|x=0=0}(7)(D22waa,xx+D12waa,yy+2D26wss,xy)|y=0=0-[D22wss,yyy+(D12+4D66)wss,xxy+4D26waa,xyy+2D16waa,xxx]|y=0=0}(8)(D22waa,xx+D12waa,yy+2D26wss,xy)|y=0=0?[D22wss,yyy+(D12+4D66)wss,xxy+4D26waa,xyy+2D16waa,xxx]|y=0=0}(8)3ci,dii=0,1,3,3,3,3,3,3,3,3,4-三條件問題設w=wss+waa,wss=∑m=1,3,?∑n=1,3,?wssmnsinαmxsinβ˙nywa=∑m=1,3,?∑n=1,3,?waamncosαmxcosβ˙ny(9)wss(0,y)=-a4∑n=1,3,?c0nsinβny?waa,x(0,y)=-a4∑n=1,3,?c1ncosβny(10)wss,xx(0,y)=-a4∑n=1,3,?c2nsinβny?waa,xxx(0,y)=-a4∑n=1,3,?c3ncosβny(11)wss(x,0)=-b4∑m=1,3,?d0nsinαmx?waa,yy(x,0)=-b4∑m=1,3,?d1ncosαmx(12)wss,yy(x,0)=-b4∑m=1,3,?d2msinαmx?waa,yyy(x,0)=-b4∑m=1,3,?d3mcosαmx(13)這里,αm=mπa?βn=nπb.把(10-13)式代入邊界條件(5)和(7),比較傅立葉級數的系數可得關于ci,di(i=0,1,2,3)的四個方程.根據文獻求得wss和waa的各階導數,其中包含ci,di(i=0,1,2,3)和wssmn,waamn.把這些導數代入微分方程(3),就得到了用ci,di(i=0,1,2,3)表示wssmn,waamn的式子.在把這些導數代入邊界條件(6)和(8),消去wssmn,waamn,得到另外四個關于ci,di(i=0,1,2,3)的方程.在此基礎上可求解以下問題.3.1加a/2回復合成u2004型為了滿足waax=0,y=0=0的條件,在四個角點加上關于x=a/2與y=b/2雙軸反對稱的待定集中力Q,并補充一個方程waax=0,y=0=0.3.2表面活性劑的沉陷e為了滿足角點反力為零的條件,關于x=a/2與y=b/2雙軸對稱的均勻沉陷W0,并補充一個方程2Dyywss,xy+D16waa,xx+D26waa,yyx=0,y=0=03.3wsahne-ny,yb/a取a×b的矩形板的x≥0的區域作為懸臂板的區域,x=a/2邊為固定邊.邊界條件為(wss+W0)x=a2=0?waax=a2=0?wss,xx=a2=0?waa,xx=a2=0(14)其中W0是待定常數,并補充一個角點反力為零的方程2Dyywss,xy+D16waa,xx+D26waa,yyx=0,y=0=0邊界條件(14)的第二、第三已經滿足,需設wss,xxx(a2,y)=-a4∑n=1,3,?e2nsinβny,waa,xxa2,y)=-a4∑n=1,3,?e3ncosβny這樣,wssmn,waamn的導數中也包含了e2,e3.由邊界條件(14)的第一、第四得到另外兩組方程.兩邊固定另兩邊自由的矩形板取a×b的矩形板的x≤a/2,y≤b/2的區域作為兩邊固定另兩邊自由的矩形板的區域,x=a/2,y=b/2邊為固定邊.在對懸臂板處理的基礎上,再對y=b/2邊作相同的處理.4關于x處理的級數收斂如果載荷是集中力,在計算中會遇到以下的級數S1(αm,βn,x,u)=∑m=1,3,…αmkmncosαmxsinαmu/RmnS2(αm,βn,x,u)=∑m=1,3,…kmnsinαmxsinαmu/Rmn其中kmn=k1α6m+k2α4mβ2n+k3α2mβ4n+k4β6nRmn=R1α8m+R2α6mβ2n+R3α4mβ4n+R4α2mβ6n+R5β8n這些級數收斂很慢.為了加快收斂特作以下處理,令S1(αm,βn,x,u)=4∑i=1ci∑m=1,3,?cosαmxsinαmuα2i-1m+∑m=1,3,?qmncosαmxsinαmuα7mRmnS2(αm,βn,x,u)=4∑i=1ci∑m=1,3,?cosαmxsinαmuα2im+∑m=1,3,?qmncosαmxsinαmuα8mRmn其中qmn=q1α6m+q2α4mβ2n+q3α2mβ4n+q4β6n,而ci,qi為常數,可用待定系數法求得.式中的前四個無窮級數和,可得到封閉的解析式,而最后一個級數的收斂比原來的級數快得多.讓x,u取不同的值,可以得到計算中用到的所有級數.例如在S2中取x,u分別為a/2-x,a/2-u就得到關于cosαmxcosαmu的級數,把S1中的x與u交換就得到關于sinαmxsinαmu的級數.這樣處理后,不但加快了級數的收斂,而且可得到S1在u趨于零的極值.5單層復合材料板撓度的計算以下取EL/ET=40,GLT/ET=0.5LT=0.25的單層復合材料板,EL和ET分別是復合材料兩個主方向的彈性模量,GLT是面內剪切模量,θ是EL與x軸的夾角在xy平面上逆時針為正.地基系數,各向同性方板kb4/D=10000,單層復合材料板kb4/DL=1000.表1和表2分別列出了彈性地基方板和角支方板中心撓度的計算結果,載荷為在板中心作用集中力P.對于彈性地基方板,當an等各取20項時,各向同性板中心的撓度與文獻的單傅立葉級數取同樣項數的結果一樣.角支方板收斂更快,5項時已經有相當高的精度