第二章

有理數及其運算2.1有理數

1課堂講解正數和負數具有相反意義的量有理數及其分類2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升

某班舉行知識競賽，評分標準是：答對一題加1分，答錯一題扣1分，不回答得0分；每個隊的基本分均為0分.兩個隊答題情況如下表：

答題情況第一隊第二隊

如果答對題所得的分數用正數表示，那么你能寫出每個隊答題得分的情況嗎？試完成下表：答對題的得分答錯題的得分未回答題的得分

第一隊＋6

第二隊

－21知識點正數和負數1.定義：大于0的數叫做正數，在正數前面加上符號“－”(負)的數叫做負數．要點精析：

(1)正數的實質就是大于0的任何數，它可以含“＋”，也可以不含“＋”；知1－講知1－講(2)負數就是在正數前面加上“－”的數，每一個正

數都對應一個負數；(3)判斷一個數是正、負數的方法:①不為零；②含“＋”“－”的情況(無“＋”“－”視同含“＋”)，兩者必須同時看．知1－講2.數的特征及種類：

(1)數有帶符號(＋、－)的數和不帶符號的數兩

種呈現形式；

(2)數包括正數、0、負數三種情況．拓展：符號“＋”“－”的含義：

(1)作為運算符號是加減號；

(2)作為數的性質是正負號．知1－講例1下列各數中，哪些是正數？哪些是負數？＋0.005，－100，0.333…，－4，5，0.導引：直接根據定義判斷即可．解：正數：＋0.005，

負數：－100，警示：0既不是正數，也不是負數.（來自《點撥》）總

結知1－講（來自《點撥》）解題關鍵點特征結論看符號數(0除外)前面帶“＋”或無符號

正數

數(0除外)前面帶

“－”的數負數

2

下列各組數，都是正數或都是負數的是(

)A．8，4，－2B．2，5.4，

C．－6，0.5，0D．0，6，91(中考·廣州)四個數－3.14，0，1，2中為負數

的是(

)A．－3.14B．0C．1D．2知1－練（來自《典中點》）AB2知識點具有相反意義的量知2－導議一議

生活中你見過其他用負數表示的量嗎？與同伴進行交流.知2－導

“加分與扣分”“上漲量與下跌量”“零上溫度與零下溫度”等都是具有相反意義的量.為了表示具有相反意義的量,我們可把其中一個量規定為正的,用正數

來表示,而把與這個量意義相反的量規定為負的,用負數來表示.例如,把上漲3.3%記為＋3.3%,那么下跌0.6%就記為－0.6%.1.生活中到處都存在相反意義的量．2.在相反意義的量中,我們把其中一個意義的量規定為正,

那么另一個量就是負．

要點精析：(1)相反意義的量是指意義相反的兩個量,相反意義的量是成對出現的．(2)判斷相反意義的量的標準:①兩個同類量;②意義相反．(3)具有相反意義的量的正負性是相對的,且是可以互換的．知2－講例2(1)某人轉動轉盤,如果用+5圈表示沿逆時針方向轉了5圈,那么沿順時針方向轉了12圈怎樣表示？

(2)在某次乒乓球質量檢測中,一只乒乓球超出標準質量0.02g記作＋0.02g,那么－0.03g表示什么？

(3)某大米包裝袋上標注著“凈含量:10kg±150g”,這里的

“10kg±150g”表示什么？知2－講知2－講解：(1)沿順時針方向轉了12圈記作－12圈；

(2)－0.03g表示乒乓球的質量低于標準質量0.03g;(3)每袋大米的標準質量應為10kg,但實際每袋大米可能有150g的誤差，即每袋大米的凈含量最多是10kg＋150g，最少是10kg－150g.（來自教材）1

(中考·南通)如果水位升高6m時水位變化記作＋6m，那么水位下降6m時水位變化記作()A．－3mB．3mC．6mD．－6m知2－練（來自《典中點》）D知2－練（來自《典中點》）2

(中考·咸寧)如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，從輕重的角度看，最接近標準的是()C3知識點有理數及其分類知3－講1.定義：整數和分數統稱有理數．

要點精析：

(1)一個有理數不是整數就是分數．

(2)如果一個數既不是整數也不是分數，那么它一定不是有理數．知3－講2.整數和分數：正整數、0、負整數統稱為整數．

正分數、負分數統稱為分數．

要點精析：幾種常用整數和分數名詞的含義：

(1)正整數：既是正數，又是整數的數；

(2)負整數：既是負數，又是整數的數；

(3)正分數：既是正數，又是分數的數；

(4)負分數：既是負數，又是分數的數；

(5)非負整數：正整數和0；

(6)非正整數：0和負整數．知3－講3.有理數的分類：(1)按定義分類：有理數整數分數正整數0負整數正分數負分數知3－講(2)按性質分類：拓展：非負整數包括正整數和0；非正整數包括負整數和0.要點精析：在進行有理數分類時，要嚴格按照

同一分類標準，做到不重復不遺漏．有理數正有理數負有理數正整數0正分數負整數負分數知3－講例3〈易錯題〉把下列各數分別填入相應的集合里：－2，0，－0.314，25%，11，非負有理數集合：{…}；

整數集合：{…}；

自然數集合：{…}；

分數集合：{…}；

非正整數集合：{…}.知3－講導引：要嚴格按照各類數的概念進行填寫，非負有

理數包含正有理數和0；非正整數包含負整數和0.（來自《點撥》）(1)非負有理數一定是有理數，它包含正有理數和0，不要誤認為是除負有理數以外的任何數；(2)非正整數一定是整數；(3)找各類數時，要時刻考慮它是否包括“0”．總

結知3－講（來自《點撥》）下列關于“0”的說法正確的是()①是整數，也是有理數；②不是正數，也不是負數；③不是整數，是有理數；④是整數，不是自然數．A．①④B．②③C．①②D．①③知3－練（來自《典中點》）C知3－練將下列各數填入如圖所示的相應的圈內．正數集合整數集合負數集合2判斷具有相反意義的量的方法：(1)成對出現：具有相反意義的量是成對出現的，且必須是同類量．(2)單位一致：兩個具有相反意義的量在數量上可以不相等，但單位必須一致．注意：用正數、負數表示相反意義的量時，哪種意義為正沒有硬性規定，并不是一成不變的．1.必做:完成教材P26，習題T1-T62.補充:請完成《典中點》剩余部分習題第二單元·課題一有理數

【學習目標】1．在具體情境中，進一步認識負數，理解有理數的意義。2．經歷用正負數表示具有相反意義的量的過程，體會負數是實際生活的需要。3．會判斷一個數是正數還是負數，能按一定的標準對有理數進行分類?！緮档母拍畎l展小史】人類最初的計數活動，起源于對獵物和猛獸的點數，和對捕獲物的分配。當原始人發現兩只狼逼近時，可能會伸出兩個手指將這一信息傳達給同伴，逐漸領悟“2”的概念。后來當手指頭數不過來的時候就有了石頭計數，結繩計數，刻痕計數（根據對應原則）中國周朝就出現了用籌算的方法來計數：表示數目1到9的算籌數碼又立臥兩種形式計數時，個位常用臥式，十位常用立式，依次立臥相間排列，如：正分數的產生：5個人分4件東西如何表示每人分到的數量？以前“0”表示沒有或者空位，如：7004.現在“0”已經成為含義最豐富的數字符號.“0”的意義1.氣溫。氣溫0℃，并不是說沒有氣溫，它表示冰點的溫度。

2.精確度。0.2與0.20精確度使不一樣的。

3.起點。尺子的起點刻度線標個0表示實物時。

4.時間。0點鐘表示凌晨12點鐘。

5.速度。速度為0表示物體處于靜止狀態。

6.高度。0表示以此為基準點或者測量高度為0米。比如：海平面的高度為0米，珠峰的海拔8848KM是相對于海平面來說的?！?阿拉伯數字1，2，3，4，5，6，7，8，9是現在國際通用的數字。它源于古印度人，后來被阿拉伯商人掌握后傳到世界各地。大約13到14世紀，阿拉伯數字傳入中國，由于當時算籌寫起來很方便，所以當時并沒有廣泛應用.20世紀初，我國才開始推廣使用，大家今天用的這些數字，在我國推廣使用才有100年歷史。數的概念的發展自然數擴大的自然數集算術數有理數添0添正分數添負數隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了一種數.零下20oC零上40oC你見過溫度計嗎？零上與零下盈利與虧損加分與扣分高出與低于具有相反意義的量具有相反意義的量：上升與下降、增與減、收入與支出、勝與負、進與退、多與少、盈利與虧損向東與向西、順與逆、過剩與不足、重與輕等我們用正數和負數可以表示表示具有相反意義的量像5、8848、+500…這樣的數叫做正數，它們都比0大。在正數前面加上“－”號的數叫做負數，例如－5，－155…，它們都比0小。0既不是正數，也不是負數例：（1）某人轉動轉盤，如果用+5圈表示沿逆時針方向轉了5圈，那么沿順時針方向轉了12圈怎樣表示？沿順時針方向轉了12圈記作-12圈.（2）在某次乒乓球質量檢測中，一只乒乓球超出標準質量0.02g記作＋0.02g，那么﹣0.03g表示什么？

-0.03g表示乒乓球質量低于標準質量0.03g.（3）某大米包裝袋上標注著：“凈重量10kg±150g”，這里“10kg±150g”表示什么？

每袋大米的標準質量應為10kg，但實際每袋大米可能有

150g的誤差，即每袋大米的凈含量最多是10kg+150g,最少是

10kg-150g.練習：（1）在知識競賽中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎樣表示?扣20分記作－20分（2）東、西為兩個相反方向，如果-4米表示一個物體向西運動4米，那么+2米表示什么？原地不動記為什么？

+2米表示向東運動2米；原地不動記作0（3）某倉庫運進面粉7.5噸記作+7.5噸，那么運出3.8噸應記作什么？運出3.8噸應記作-3.8噸【議一議】

你能選定一個高度為標準，用正負數表示本班每位同學的身高與選定的身高標準的差異嗎？你是怎樣表示的？與同伴交流．你會對所學過的數進行分類嗎？有理數整數正整數0負整數分數正分數負分數有理數正有理數零負有理數例：把下列各數填入相應的集合中：3，-7，，，0，，15，