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1.3.1函數的最值

觀察下列兩個函數的圖象：圖10x0xMy思考1:設函數y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M，則對函數定義域內任意自變量x，f(x)與M的大小關系如何？yx0x0圖2M思考2:設函數f(x)=1-x2，則f(x)≤2成立嗎？f(x)的最大值是2嗎？為什么？思考3:怎樣定義函數f(x)的最大值？

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈I,都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么稱M是函數f(x)的最大值，記作fmax(x)=M。思考4:函數f(x)的最大值是函數值域中的一個元素嗎？如果函數f(x)的值域是(a,b)，則函數f(x)存在最大值嗎？思考5:函數f(x)=1-2x(x>1)有最大值嗎？為什么？是否定義域為開區間的函數都沒有最大值？圖1y0x0xm

觀察下列兩個函數的圖象：

xy0x0圖2m思考1:仿照函數最大值的定義，怎樣定義函數f(x)的最小值？

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數m滿足：（1）對于任意的x∈I,都有f(x)≥m;

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m.那么稱m是函數y=f(x)的最小值，記作：fmin(x)=m。思考2:如果在函數f(x)定義域內存在x1和x2，使對定義域內任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，由此你能得到什么結論？思考3:如果函數f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函數f(x)的值域一定是[a,b]嗎？例1、函數f(x)=3x2-12x+5，在下列條件下，分別求出其最大值和最小值，并指出相應的x值：

①0≤x≤3；②-1≤x≤1；③x≤3；④x≥3。說明：閉區間上的二次函數最值可能在頂點處取得，也可能在端點處取得。當對稱軸在區間之內時，一個最值在頂點處取得，另一個最值在端點處取得，且是離對稱軸更遠的端點；當對稱軸在區間之外時，兩個最值都在端點處取得?；仡櫍豪?、練習、已知函數f(x)=。（1）作出f(x)圖象并判斷f(x)的單調性；（2）若關于x的不等式1-x>m(1+x)對任意x∈[0,1]恒成立，求實數m的取值范圍。

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