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文檔簡介

恰當方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程的解法全微分方程的解法全微分方程的解法

一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以是全微分方程.方程是否為全微分方程？解：通解則為（C為任意常數）。全微分方程的解法全微分方程的解法問題:（1）如何判斷全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何轉化為全微分方程？定理1設函數

和

在一個矩形區域是全微分方程中連續且有連續的一階偏導數，則

（1）證明必要性

證明：

因為是全微分方程，全微分方程的解法則存在原函數，使得

所以

將以上二式分別對求偏導數，得到

又因為偏導數連續，

，即

所以

全微分方程的解法（2）證明充分性

設

，求一個二元函數使它滿足

即由第一個等式，應有

代入第二個等式，應有

這里全微分方程的解法因此，則因此可以取此時

這里由于，故曲線積分與路徑無關。因此全微分方程的解法

二、全微分方程的解法(1)線積分法:或(2)偏積分法第一個等式對積分

全微分方程的解法代入第二個等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例2：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：全微分方程的解法所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為全微分方程的解法(2)偏積分法:假設所求全微分函數為,則有代入可得因此從而即全微分方程的解法(3)湊微分法:由于

方程的通解為：根據二元函數微分的經驗,原方程可寫為全微分方程的解法例3：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程為全微分方程。(1)線積分法:全微分方程的解法故通解為(2)偏積分法:假設所求全微分函數為,則有

所以從而即全微分方程的解法(3)湊微分法:方程的通解為：根據二元函數微分的經驗,原方程可寫為練習：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解為：

全微分方程的解法積分因子法

一、概念

二、積分因子的求法全微分方程的解法一、定義:0),(1yxm連續可微函數，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成為全.微分方程則稱),(yxm為方程的積分因子.例1驗證是方程的積分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解為全微分方程的解法1.公式法:求解不容易特殊地:(兩邊同除)a.當只與有關時，

二、積分因子的求法全微分方程的解法b.當只與有關時，全微分方程的解法2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達式全微分方程的解法一般可選用的積分因子有等。可選用的積分因子有可選用的積分因子有全微分方程的解法例2解則原方程成為.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解為全微分方程的解法2.觀察法:將方程左端重新組合,有可選用的積分因子有可

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