前言概率統計是研究隨機現象數量規律的數學學科,理論嚴謹,應用廣泛,發展迅速.目前,不僅高等學校各專業都開設了這門課程,而且從上世紀末開始，這門課程特意被國家教委定為本科生考研的數學課程之一，希望大家能認真學好這門不易學好又不得不學的重要課程.本學科的應用概率統計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業生產和國民經濟的各個部門中.例如1.氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與《概率論》緊密相關；2.產品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均要用到《假設檢驗》；3.尋求最佳生產方案要進行《實驗設計》和《數據處理》；4.電子系統的設計,火箭衛星的研制及其發射都離不開《可靠性估計》;

5.處理通信問題,需要研究《信息論》；6.探討太陽黑子的變化規律時,《時間序列分析》方法非常有用;7.研究化學反應的時變率，要以《馬爾可夫過程》

來描述;8.生物學中研究群體的增長問題時，提出了生滅型《隨機模型》，傳染病流行問題要用到多變量非線性《生滅過程》；9.許多服務系統，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識就是《排隊論》.目前,概率統計理論進入其他自然科學領域的趨勢還在不斷發展.在社會科學領領域,特別是經濟學中研究最優決策和經濟的穩定增長等問題,都大量采用《概率統計方法》.法國數學家拉普拉斯(Laplace)說對了:“生活中最重要的問題,其中絕大多數在實質上只是概率的問題.”英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領路人,如果沒有對概率的某種估計,那么我們就寸步難行,無所作為.§1.1隨機事件及其運算1.1.1樣本空間與隨機事件1.1.2事件間的關系與運算

自然界的現象可以分為如下兩種：

1.確定性現象（決定性現象）：在一定條件下可以預言一定會出現或不出現的現象．如“早晨，太陽從西方升起”；“同性電荷互相吸引”．

2.隨機現象：事前無法預言的，在一定條件下可能出現，也可能不出現的現象．例如：“拋擲一枚均勻硬幣，可能出現正面，也可能出現反面，擲前無法確定會出現哪一面”；“幸運抽獎時，一張獎券可能中獎，也可能不中獎，事前無法預測”．1.1.1樣本空間與隨機事件

概率論與數理統計中，把對自然現象、社會現象所進行的觀察或科學實驗，統稱為試驗．用E表示(1)在相同的條件下可以重復進行；(2)每次試驗的可能結果不止一個，且在試驗之前已知試驗的所有可能結果；(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在試驗之前不能肯定會出現哪一個結果．滿足下述3個條件的試驗稱為隨機試驗．

定義1

隨機試驗E中可能出現的全部試驗結果所組成的集合稱為E的樣本空間，記為Ω．樣本空間的元素稱為樣本點，記為ω，即有Ω={ω}．E1：拋擲一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現的情況；E2：從批量棉花種子中取20粒，觀察發芽的種子數；E3：記錄某公共汽車站某時刻的等車人數；E4：從三月齡的雞群中隨機地抽取一只，稱其重量；E5：向平面上某目標射擊，觀察彈著點的位置；E6：從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；下面列舉一些隨機試驗的例子：記上述隨機試驗Ek的樣本空間為Ωk(k=1,2,…,6),則有Ω1={H，T}，H={出現正面}，T={出現反面}；Ω2={0,1,2,,20}，i表示{有i粒種子發芽}；Ω3={0,1,2,…i，i表示{等車人數為i}；Ω4={w|0＜w＜∞}，w表示雞的重量；Ω5={(x,y)|-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞}，(x,y)為彈著點的坐標；

Ω6={t|0≤t＜∞}，t為燈泡壽命；

定義1

隨機試驗E中可能出現的全部試驗結果所組成的集合稱為E的樣本空間，記為Ω．樣本空間的元素稱為樣本點，記為ω，即有Ω={ω}．例1

給出一組隨機試驗及相應的樣本空間投一枚硬幣3次，觀察正面出現的次數有限樣本空間觀察總機每天9:00~10:00接到的電話次數觀察某地區每天的最高溫度與最低溫度無限樣本空間其中T1,T2分別是該地區的最低與最高溫度

隨機事件：稱試驗E的樣本空間Ω的子集為E的隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A，B，C，……表示．在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時就稱這一事件發生．

基本事件：由一個樣本點組成的單點集合，稱為基本事件，例如，試驗E1有兩個基本事件{H}和{T}；試驗E2有21個基本事件{0}，{1}，…，{20}．

必然事件：每次試驗都必然發生的事件．

不可能事件：每次試驗都必然不發生的事件．1.1.2事件間的關系與運算設Ω為試驗E的樣本空間，而A、B、Ak是Ω的子集．2.2若A

B且B

A，則稱事件A與B相等或稱A與B等價，記作A=B．直觀地說，A=B即A、B中含有相同的樣本點。

2.3“事件A與B中至少有一個發生”也是一事件，稱為事件A與B的和或并，記作A∪B。2.1如果事件A發生必然導致事件B發生，則稱A是B的子事件，或稱事件B包含事件A．記作A

B或B

A。ABAB2.5“事件A發生而B不發生”這一事件稱為事件A與B的差,記作A-B。2.6若事件A與B不可能同時發生(AB=)

，則稱事件A與B互不相容或互斥，也就是說AB是一個不可能事件2.7若事件A與B滿足條件A∪B=Ω，AB=

，則稱事件A與B互為對立事件或互為逆事件．常將A的對立事件2.4“事件A與事件B同時發生”這一事件稱為事件A與B的積或交，記作A∩B或AB

。ABAB記作2.8事件的運算(1)交換律(2)

結合律

(3)

分配律(4)對偶律(De.Morgan公式)

多個事件的并：“n個事件A1,A2,…,An中至少有一個發生”也是一事件，稱為事件A1,A2,…,An的和或并，記作“可列個事件A1,A2,…,An…中至少有一個發生”也是一事件,稱為A1,A2,…,An

…的和或并，記作多個事件的交：“n個事件A1,A2,…,An同時發生”也是一事件，稱為事件A1,A2,…,An的交或積，記作“可列個事件A1,A2,…,An…同時發生”也是一事件,稱為A1,A2,…,An

…的交或積，記作

例2

甲、乙、丙三人對某目標射擊，用A、B、C分別表示“甲擊中”、“乙擊中”和“丙擊中”，試用A、B、C表示下列事件

解

(1)“甲、乙都擊中而丙未擊中”表示A、B與(1)甲、乙都擊中而丙未擊中；(2)只有甲擊中；(3)目標被擊中；(4)三人中最多兩人擊中；(5)三人中恰好一人擊中；同時發生，即AB(2)事件“只有甲擊中”表示A發生而B、C未發生，即(3)事件“目標被擊中”意味著甲、乙、丙三人至少有一人擊中目標，表示為(4)事件“三人中最多兩人擊中”即“三人中至少有一人未擊中”，可表示為(5