學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2012-2013學年福建省三明市高一(下)期末數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共12小題,每小題3分,共36分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確選項的代號填在答題卷相應(yīng)的位置上．1．（3分）直線x﹣y﹣1=0的傾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．135°考點：直線的傾斜角．專題：計算題．分析：化方程為斜截式,易得斜率，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得．解答：解：直線x﹣y﹣1=0的方程可化為y=x﹣1，可得直線的斜率為1，故tanθ=1，（θ為直線的傾斜角），又0°≤θ＜180°，故可得θ=45°故選B點評：本題考查直線的傾斜角，和由直線的方程得出直線的斜率,屬基礎(chǔ)題．2．(3分）如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正確的是(）A．｜a|＞｜b|B．＜C．a(chǎn)2＜b2D．＜考點：不等關(guān)系與不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)已知條件分別對A、B、C、D，四個選項利用特殊值代入進行求解．解答：解：A、取a=﹣,b=1，可得｜a|＜｜b|,故A錯誤；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B錯誤；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C錯誤；D、如果a＜0，b＞0,那么＜0，＞0，∴＜,故D正確；故選D．點評:此題考查不等關(guān)系與不等式，利用特殊值法進行求解更加簡便，此題是一道基礎(chǔ)題．3．（3分）圓x2+y2+4x+6y=0的半徑是（）A．2B．3C．D．13考點：圓的一般方程．專題：計算題；直線與圓．分析：利用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0)中的半徑r=即可求得答案．解答:解:∵x2+y2+4x+6y=0的半徑r==×2=,故選C．點評：本題考查圓的一般方程，掌握半徑公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．(3分）在等差數(shù)列｛an｝中，若a1+a2+a12+a13=24，則a7為(）A．6B．7C．8D．9考點：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：計算題．分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq解決該問題，注意尋找數(shù)列中下標之間的關(guān)系．解答：解：由a1+a2+a12+a13=24得出a1+a2+a12+a13=a1+a13+a2+a12=2a7+2a7=4a7=24?a7=6．故選A．點評：本題考查等差數(shù)列的項的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵找尋下標之間的關(guān)系，注意等差數(shù)列性質(zhì)的運用．5．（3分）設(shè)x，y滿足的約束條件是，則z=x+2y的最大值是(）A．2B．4C．6D．8考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=x+2y表示直線在y軸上的截距,只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的截距最大值即可．解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖，當直線z=x+2y過點C（2，2）時，即當x=y=2時，zmax=6．故選C．點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．6．（3分）已知圓的方程x2+y2=25，則過點P（3，4）的圓的切線方程為(）A．3x﹣4y+7=0B．4x+3y﹣24=0C．3x+4y﹣25=0D．4x﹣3y=0考點：圓的切線方程．專題：直線與圓．分析：由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑，然后求出P與圓心的距離判斷出P在圓上即P為切點,根據(jù)圓的切線垂直于過切點的直徑,由圓心和M的坐標求出OP確定直線方程的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為﹣1，求出切線的斜率,根據(jù)P坐標和求出的斜率寫出切線方程即可．解答：解：由圓x2+y2=25，得到圓心A的坐標為（0,0），圓的半徑r=5,而｜AP|=5=r，所以P在圓上,則過P作圓的切線與AP所在的直線垂直，又P（3，4）,得到AP所在直線的斜率為﹣,所以切線的斜率為,則切線方程為：y﹣4=（x﹣3)即3x+4y﹣25=0．故選C．點評：此題考查學生掌握點與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，掌握兩直線垂直時斜率所滿足的關(guān)系，會根據(jù)一點的坐標和直線的斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．7．（3分）設(shè)M=++…++,則M的值為()A．B．C．D．考點：數(shù)列的求和．專題:計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由于=﹣，累加求和即可求得答案．解答：解:∵M=++…++…+=（1﹣）+(﹣）+…+(﹣）+…+﹣=1﹣=．故選B．點評:本題考查數(shù)列的裂項法求和，每一項裂為相鄰兩項之差是關(guān)鍵，屬于中檔題．8．（3分）已知m，n是兩條不同的直線，α,β,γ為三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥αB．若m∥n，m?α，n?β，則α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，則β∥γD．若m∥n,m⊥α，n⊥β，則α∥β．考點：命題的真假判斷與應(yīng)用；平面與平面之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：本題考查空間中直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系，A選項可用線面平行的條件進行判斷;B選項用面面平行的關(guān)系進行判斷,C選項由面面垂直判斷面面平行，D選項由線面垂直判斷面面平行．判斷結(jié)論的正確性,得出正確選項．解答：解:A選項不正確，在空間中平行于同一條直線的直線和平面的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi),故不正確;B選項不正確,在兩個平面內(nèi)有兩條直線平行，這兩個平面可能相交或平行，故不正確；C選項不正確,因為垂直于同一平面的兩個平面的位置關(guān)系是相交或平行，故不正確；D選項正確，因為垂直于平行直線的兩個平面一定是平行關(guān)系．綜上，D選項正確．故選D．點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對空間中的線與線、線與面,面與面的位置關(guān)系有著較強的空間感知能力,能運用相關(guān)的定理與條件對線面位置關(guān)系作出準確判斷．9．(3分）已知數(shù)列｛an}的前n項和Sn=2n﹣1,則a6等于（）A．16B．32C．63D．64考點：等比數(shù)列的通項公式;等比數(shù)列的前n項和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得a6=S6=S5,代入已知式子計算可得．解答：解:由題意可得a6=S6=S5=（26﹣1）﹣（25﹣1）=26﹣25=25（2﹣1）=32故選B點評:本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項公式的關(guān)系,屬基礎(chǔ)題．10．（3分）（2012?河南模擬）如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為(）A．mB．mC．mD．m考點：解三角形的實際應(yīng)用．專題:計算題；應(yīng)用題．分析：依題意在A，B，C三點構(gòu)成的三角形中利用正弦定理，根據(jù)AC,∠ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，∴，故A，B兩點的距離為50m,故選A點評:本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用．考查了學生對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用．11．(3分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段EF在棱A1B1上移動，點P，Q分別在棱AD，CD上移動，若EF=1,PD=x，A1A．只與x有關(guān)B．只與y有關(guān)C．只與x,y有關(guān)D．只與y,z有關(guān)考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：轉(zhuǎn)化思想．分析：四面體PEFQ的體積，找出三角形△EFQ面積是不變量，P到平面的距離是變化的,從而確定選項．解答：解：由題意可以分析出,三棱錐Q﹣PEF的體積即是三棱錐P﹣EFQ的體積而△EFQ的面積永遠不變，為面A1B1CD面積的,而當P點變化時，它到面A1B1CD的距離是變化的，因此會導致四面體體積的變化．故答案為A．點評：本題考查棱錐的體積，在變化中尋找不變量，是基礎(chǔ)題．12．（3分)在△ABC中,若=sinAsinB，則△ABC的形狀為（）A．等腰鈍角三角形B．等邊三角形C．等腰銳角三角形D．各邊均不相等的三角形考點：三角形的形狀判斷．專題：計算題；解三角形．分析：利用正弦定理與基本不等式即可判斷△ABC的形狀．解答：解:在△ABC中，∵=sinAsinB，∴由正弦定理得：a2+b2=ab?[sin（C+）］=2absin（C+)，∵a2+b2≥2ab，∴2absin（C+）≥2ab，∴sin(C+）≥1(當且僅當a=b時取“=”），又sin(C+）≤1，∴sin（C+)=1，此時a=b．∵C為△ABC的內(nèi)角，∴C=，又a=b，∴△ABC為銳角等腰三角形．故選C．點評:本題考查△ABC的形狀判斷，著重考查正弦定理與基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題:本大題共4小題中，每小題3分,共12分．在答題卷相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．13．（3分）在空間直角坐標系中，若點A（1,2，﹣1），B（﹣3，﹣1，4）．則|AB｜=5．考點：空間兩點間的距離公式．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析:根據(jù)空間兩點之間的距離公式,將A、B兩點坐標直接代入，可得本題答案．解答：解：∵點A（1，2,﹣1），B（﹣3，﹣1，4）．∴根據(jù)空間兩點之間的距離公式，可得線段AB長｜AB｜==5．故答案為：5點評:本題給出空間兩個定點，求它們之間的距離,著重考查了空間兩點之間距離求法的知識，屬于基礎(chǔ)題．14．（3分）已知直線x+y﹣m=0與直線x+（3﹣2m)y=0互相垂直，則實數(shù)m的值為2．考點：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．專題：計算題；直線與圓．分析：求出兩條直線的斜率；利用兩直線垂直斜率之積為﹣1，列出方程求出m的值．解答：解：直線x+y﹣m=0的斜率為﹣1,直線x+（3﹣2m）y=0的斜率為∵兩直線垂直∴﹣1×=﹣1解得：m=2故答案為:2點評：本題考查由直線方程的一般式求直線的斜率、考查兩直線垂直斜率之積為﹣1．15．（3分）若關(guān)于x的不等式x2﹣ax+2＞0的解集為R,則實數(shù)m的取值范圍是（﹣2,2）．考點：一元二次不等式的解法．專題:不等式的解法及應(yīng)用．分析:利用一元二次不等式的解法即可得到△＜0．解答：解：∵關(guān)于x的不等式x2﹣ax+2＞0的解集為R，∴△=a2﹣8＜0．解得．故答案為．點評:熟練掌握一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．16．（3分)將n2個正數(shù)排成n行n列（如圖）,其中每行數(shù)都成等比數(shù)列，每列數(shù)都成等差數(shù)列,且所有公比都相等，已知a24=5，a54=6，a56=18，則a26+a34=．考點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；進行簡單的合情推理．專題：計算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)題意，若該數(shù)陣的公比為q，則第i列的公差di=d1?qi﹣1（i=1,2，…，n）．因此，由a24、a54的值算出第4列第3項a34=,且d4=．再根據(jù)a54、a56的值算出q=，從而得出第6列的公差d6=d4?q2=1，進而在第6列中算出a26=15，即可得出a26+a34的值．解答:解：設(shè)公比為q，第i列的公差為di(i=1，2，…，n），則有di=d1?qi﹣1成立∵a24=5且a54=6，∴a54﹣a24=3d4=1,可得d4=因此，a34=a24+d4=又∵a54=6，a56=18，∴q2==3，得q=，由此可得d6=d4?q2=1，得a26=a56﹣3d6=18﹣3×1=15∴a26+a34=+15=故答案為：點評：本題給出等差、等比數(shù)陣，在給出其中3項的基礎(chǔ)上求另外兩項的和．著重考查了等差、等比數(shù)列的通項公式和及其性質(zhì)等知識，屬于中檔題．解題過程中抓住等比數(shù)列公比不變,則各列的等差數(shù)列的公差依次成等比數(shù)列，是解決本題的關(guān)鍵所在．三、解答題：本大題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．在答題卷相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．17．（8分）如圖是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為正三角形（長度單位：cm）（Ⅰ）試說出該幾何體是什么幾何體；（Ⅱ）按實際尺寸畫出該幾何體的直觀圖，并求它的表面積．（只要做出圖形，不要求寫作法）考點:由三視圖求面積、體積；簡單空間圖形的三視圖．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（I)由三視圖我們易判斷，該幾何體是一個三棱柱;（II）根據(jù)直二側(cè)畫法,我們易得到其直觀圖．由已知三視圖中標識的數(shù)據(jù)，我們易判斷底面邊長為4的正三角形，高為5，代入柱體的表面積公式，即可求出答案．解答：解：（I）該幾何體為一個三棱柱，（II）其直觀圖如下：由三視圖可得圓錐的底面邊長為4的正三角形，高為5，則S表=（2S底+S側(cè)）（8分)=2××42+3×4×2=（24+8）cm2（10分）．點評：本題考查的知識點是由三視圖求面積，其中根據(jù)已知條件判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．18．（8分）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n．（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列;（Ⅱ）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b1=a2，b2=a4，試求數(shù)列｛bn}的通項公式bn及前n項和Sn．考點：等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式；等比關(guān)系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：(I））利用已知和等差數(shù)列的定義:只有證明an+1﹣an是常數(shù)即可；（II)利用(I）即可得出數(shù)列｛bn｝的公比q，即可得出其通項公式及其前n項和．解答：解：（I）∵an+1﹣an=3（n+1)﹣3n=3,a1=3,∴數(shù)列｛an｝是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列；（II）由(I)可知：b1=a2=3×2=6,b2=a4=3×4=12．∴數(shù)列｛bn}的公比==2，∴，∴Sn=3(21+22+…+2n）=3×=6(2n﹣1)．點評：熟練掌握等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和是解題的關(guān)鍵．19．（8分）在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a,b，c,且c=3，C=60°．(Ⅰ)若a=，求角A；（Ⅱ）若a=2b，求△ABC的面積．考點：正弦定理；三角形的面積公式；余弦定理．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得，解得sinC的值，再由大邊對大角可得A為銳角，從而求得A的值．（Ⅱ）若a=2b，則由余弦定理可得9=(2b）2+b2﹣2?2b?b?cos60°，解得b的值，可得a的值，再由△ABC的面積S=，運算求得結(jié)果．解答:解：(Ⅰ)在△ABC中,∵c=3，C=60°，a=,由正弦定理可得，即，解得sinC=．再由大邊對大角可得A為銳角，故A=45°．（Ⅱ）若a=2b，則由余弦定理可得c2=（2b）2+b2﹣2?2b?b?cosC，即9=（2b)2+b2﹣2?2b?b?cos60°，解得b=，∴a=2，故△ABC的面積S==．點評:本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,大邊對大角，二倍角公式，誘導公式，已知三角函數(shù)值求角的大小,屬于中檔題．20．（9分)已知方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ)在已知方程表示的所有圓中，能否找到圓C1，使得圓C1經(jīng)過點P(2，1）,Q(4,﹣1）兩點，且與圓x2+y2﹣4x﹣5=0相切?說出理由．考點:圓的標準方程；圓與圓的位置關(guān)系及其判定．專題：計算題；直線與圓．分析：（I）將圓C方程化成標準形式得（x﹣2)2+（y+m）2=﹣m2+2m+3，因此若方程表示圓則﹣m2+2m+3＞0，解之得即可得到實數(shù)m的取值范圍;（II)將點P、Q的坐標代入圓C的方程解出m=1，從而得到圓心C1（2，﹣1）且徑R1=2．算出圓x2+y2﹣4x﹣5=0的圓心為C2（2，0）且半徑R2=3，算得｜C1C2|=1=R2﹣R1，故圓C1與圓C2相內(nèi)切，因此可得存在滿足條件的圓C1解答:解：(I）將方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m(x﹣2）2+（y+m)2=﹣m2+2m+3∵方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m∴﹣m2+2m+3＞0，解之得﹣1＜m＜3（II）若點P、Q在圓C上，則,解之得m=1∴圓C的標準方程為（x﹣2）2+（y+1）2=4圓心為C1(2，﹣1)，半徑R1=2又∵圓C2：x2+y2﹣4x﹣5=0的圓心為C2（2，0），半徑R2=3，圓心距|CC2｜=1∴圓心距|C1C2｜=1=R2﹣R1，故圓C1與圓C2因此存在點C1（2,﹣1），使圓C1與圓x2+y2﹣4x﹣5=0相切．點評：本題給出含有參數(shù)m的圓方程，求參數(shù)m的取值范圍并探索與已知圓相切的圓是否存在．著重考查了圓的標準方程和圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．21．（9分）如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E為AB的中點，在四邊形ABCD中,將△AED沿DE折起,使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如圖②所示的四棱錐A′﹣BCDE．（Ⅰ）求證：A′M⊥平面BCDE;（Ⅱ）求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）判斷直線A′D與BC的位置關(guān)系．考點:直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題:空間位置關(guān)系與距離．分析：(I）證明A′M⊥DE，結(jié)合A′M⊥BC,利用線面垂直的判定定理,即可得到結(jié)論；（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE,則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高,利用體積公式,即可求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）直線A′D與BC是異面直線，利用反證法進行證明即可．解答:（I)證明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D,∵M為DE的中點，∴A′M⊥DE，∵A′M⊥BC，又DE與BC相交，∴A′M⊥平面BCDE．(II）解：由（I)知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，在△A′DE中,A′E⊥A′D,A′E=A′D=a,則A′M=a．∵四邊形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a,∴四邊形BCDE的面積S==a2∴四棱錐A′﹣BCDE的體積V=S?A′M+a2×a=a3（III)解：直線A′D與BC是異面直線,理由如下:假設(shè)直線A′D與BC共面，則直線A′D與BC確定平面α,所以A′、D、B、C，都在平面α上∵D，B，C確定平面BCDE，則A′在平面BCDE上，這與已知矛盾∴直線A′D與BC是異面直線．點評：本題考查線面垂直，考查四棱錐體積的計算,考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力,屬于中檔題．22．(10分）已知直線l：mx+ny﹣1=0（m，n∈R＊）與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且直線l與圓x2+y2=4相交所得弦長為2．（Ⅰ)求出m與n的關(guān)系式；（Ⅱ）若直線l與直線2x+y+5=0平行，求直線l的方程；（Ⅲ）若點P是可行域內(nèi)的一個點，是否存在實數(shù)m，