第二章函數概念與基本初等函數Ⅰ第六講對數與對數函數知識梳理·雙基自測名師講壇·素養提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一對數與對數運算1．對數的概念(1)對數的定義：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作_________________，其中_____叫做對數的底數，_____叫做真數．x＝logaNaN(2)幾種常見對數對數形式特點記法一般對數底數為a(a>0，且a≠1)_____________常用對數底數為_________________自然對數底數為_______________logaN10lgNelnN2.對數的性質與運算法則(1)對數的性質：①loga1＝_____；②logaa＝_____(其中a>0且a≠1)；③logaab＝_____(a>0，a≠1，b∈R)．(2)對數恒等式：alogaN＝_____(其中a>0且a≠1，N>0)．(3)對數的換底公式：logbN＝________(a，b均大于零且不等于1，N>0)．01bNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知識點二對數函數的圖象與性質1．對數函數的定義、圖象和性質y＝logax(a＞0，且a≠1)性質定義域：______________值域：________________當x＝1時，y＝0，即過定點____________當0＜x＜1時，y<0；當x＞1時，_________當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，_________在(0，＋∞)上為_________在(0，＋∞)上為_________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1,0)y＞0y＜0增函數減函數2.反函數指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數_______________(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線________對稱．y＝logaxy＝x1．指數式與對數式互化2．換底公式的兩個重要結論3．對數函數的圖象與底數大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．題組一走出誤區1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(

)(2)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(

)(3)log2x2＝2log2x.(

)×××√(5)2lg3≠3lg2.(

)[解析]

(5)設2lg3＝M,3lg2＝N，則lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.×題組二走進教材2．(必修1P127T3改編)寫出下列各式的值：0－143．(必修1P127T5改編)函數y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點是_____________.[解析]

當x＝2時，函數y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值為2，所以圖象恒過定點(2,2)．(2,2)5．(必修1P140T4改編)已知圖中曲線C1，C2，C3，C4是函數y＝logax的圖象，則曲線C1，C2，C3，C4對應的a的值依次為(

)BC7．(2017·全國卷Ⅱ)函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區間是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]

由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函數y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調遞增，由復合函數的單調性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區間是(4，＋∞)，選D.DA考點突破·互動探究例1考點一對數與對數運算——自主練透BC例2考點二對數函數的圖象與性質DB應用對數型函數的圖象可求解的問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想．(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．〔變式訓練1〕(1)函數y＝lg|x－1|的圖象是(

)A考向2對數函數的性質及其應用——多維探究角度1比較對數值的大小例3D(2)(2022·全國甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則(

)A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0 D．b>0>aA角度2利用對數函數單調性求參數的取值范圍(2023·華南師大附中模擬)已知函數f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍是(

)A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4,4] D．(－4,4][分析]

函數f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上單調遞減，說明在[2，＋∞)上，函數t＝x2－ax＋3a>0成立，且為增函數．例4D角度3簡單對數不等式的解法例5[解析]

因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在(－∞，0]上單調遞減，角度4對數函數性質的綜合應用例6ACD∴f(x)為奇函數，故A正確，B錯誤；1．比較對數式的大小的關系：(1)若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，則需要對底數進行分類討論；(2)若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較；(3)若底數與真數都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．2．解決與對數函數有關的函數的單調性問題的步驟〔變式訓練2〕(1)(角度1)設a＝log412，b＝log515，c＝log618，則(

)A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>aACA．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)C(4)(多選題)(角度4)已知函數f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A．f(x)在(0,2)上單調遞增B．f(x)在(0,2)上的最大值為0C．f(x)的圖象關于直線x＝1對稱D．f(x)的圖象關于點(1,0)對稱BC[解析]

(1)a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>

log63，∴a>b>c.(4)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，定義域為(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，令t＝－x2＋2x，y＝lnt，∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，∴f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，故A不正確；f(x)max＝f(1)＝0，故B正確；∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故C正確，D不正確.名師講壇·素養提升例7有關對數運算的創新應用問題根據香農公式，以下說法正確的是(參考數據：lg5≈0.6990)(