1.會用向量方法解決計算或證明幾何中的相關問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用.2.會用向量法解決力學問題，體會向量在解決物理中的作用.課標要求素養要求通過平面向量應用的學習，培養數學建模素養、邏輯推理素養及數學運算素養.課前預習課堂互動分層訓練內容索引課前預習知識探究11.平面幾何中的向量方法(1)向量在平面幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.①證明直線平行或點共線問題，包括相似問題，常用向量共線定理及其等價條件：a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)?x1y2－x2y1＝0.(2)用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系.2.向量在物理中的應用舉例向量的定義有著豐富的物理背景，物理學中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的數量積的物理背景，因此，向量可以解決一些物理問題.(1)力學問題的向量處理方法①解決此類問題必須用向量知識將力學問題轉化為數學問題，即將力學各量之間的關系抽象成數學模型，再利用建立的數學模型解析或回答相關物理現象.②向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段可以有共同的起點，也可以沒有共同的起點.力是既有大小，又有方向的量，用向量知識解決共點力的問題，往往需要把向量平移到同一作用點上.(2)速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實質就是向量的加減運算，而運動的疊加也用到了向量的合成.①向量在速度、加速度上的應用，實質是通過向量的線性運算解決物理問題，最后獲得物理結果.②用向量解決速度、加速度和位移等問題，用的知識主要是向量的加法、減法以及數乘，有時也可借助坐標來求解.(3)功、動量問題的向量處理方法物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是力F與位移s的數量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ為F與s的夾角).功是一個標量，它可正，也可負，動量mv實際上是數乘向量.在解決問題時要注意數形結合.(4)利用向量法解決物理問題的步驟①抽象出物理問題的向量，轉化為數學問題；②建立以向量為主體的數學模型；③利用向量的線性運算或數量積運算，求解數學模型；④用數學模型中的數據解釋或分析物理問題.1.思考辨析，判斷正誤√√(3)某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直.(

)提示根據兩速度的合速度可知當船頭垂直于江岸時可最快到達江的另一岸.√A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.形狀無法確定C3.作用于原點的兩個力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，為使它們平衡，需加F3＝____________.

解析由題意知F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－F1－F2＝－(F1＋F2)＝(－3，－4).(－3，－4)4.已知四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線，求證：AC⊥BD.課堂互動題型剖析2題型一利用平面向量求幾何中的長度問題【例1】

已知正方形ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P.求證： (1)BE⊥CF；證明建立如圖所示的平面直角坐標系，設AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，則E(1，2)，F(0，1).(2)AP＝AB.思維升華B題型二平面幾何中的平行(或共線)問題知E，F分別是CD，AB的三等分點，三點共線問題可轉化為兩向量共線，可將兩向量用共同的基表示，進而判斷是否共線.思維升華【訓練2】

在△ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求證：MN∥BC.【例3】

在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小.題型三向量的線性運算在物理中的應用在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當的基，將題中涉及的向量用基表示，利用向量運算法則、運算律或性質計算.第二種是坐標法，通過建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，轉化為代數運算.思維升華∴小船的實際航行速度大小為20km/h，按北偏東30°的方向航行.1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時有兩種思路：一種思路是選擇一組基，利用基向量表示涉及的向量，另一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標.這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明.2.用向量理論討論物理中相關問題的步驟一般來說分為四步：(1)問題的轉化，把物理問題轉化成數學問題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲取，求出數學模型的相關解；(4)問題的答案，回到物理現象中，用已經獲取的數值去解釋一些物理現象.課堂小結分層訓練素養提升3

一、選擇題1.一質點受到平面上的三個力F1，F2，F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分別為2和4，則F3的大小為(

)C2.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，則△ABC是(

) A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形CB4.當兩人提起重量為G的旅行包時，夾角為θ，兩人用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為(

) A.30° B.60° C.90° D.120°D當|F1|＝|F2|＝|G|時，△OAC為正三角形，所以∠AOC＝60°，從而∠AOB＝120°.B解析以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系.7.一個重20N的物體從傾斜角為θ，斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的功是10J，則θ＝________.30°解析∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10(J)，所以可取點