第一章1.2.3直線與平面的夾角課程標準1.掌握直線與平面所成角的概念,并理解其唯一性;2.理解最小角定理及公式cosθ=cosθ1cosθ2,能用這一公式解決相關問題;3.能用空間向量求直線與平面所成的角問題.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1直線與平面所成的角90°0°射影過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)直線與平面所成的角就是該直線與平面內的直線所成的角.(

)(2)若直線與平面相交,則該直線與平面所成的角的范圍為(0,).(

)2.直線與平面所成的角的取值范圍是什么?斜線與平面所成的角的取值范圍是什么?××知識點2最小角定理(1)線線角、線面角的關系式如圖,設OA是平面α的一條斜線段,O為斜足,A'為A在平面α內的射影,而OM是平面α內的一條射線.θ是OA與OM所成的角,θ1是OA與OB所成的角,θ2是OB與OM所成的角,則有cosθ=

.

(2)最小角定理平面的斜線與平面所成的角,是斜線和這個平面內

中最小的角.

cosθ1cosθ2

所有直線所成角

過關自診1.已知平面α內的角∠APB=60°,射線PC與PA,PB所成角均為135°,則PC與平面α所成角的余弦值是(

)B解析

設PC與平面α所成的角為θ,由最小角定理知cos

45°=cos

θcos

30°,2.將公式cosθ=cosθ1cosθ2中角的余弦值換成正弦值是否成立?解

不成立.只有在特定的條件下能相等.也只能是數值上的相等,不具有等式的一般性結論.知識點3用空間向量求直線與平面的夾角如果v是直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,設直線l與平面α所成角的大小為θ,則有(2)cosθ=sin<v,n>,sinθ=

.

|cos<v,n>|過關自診1.已知向量m,n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量,若cos<m,n>=-,則l與α所成的角為(

)A.30° B.60°

C.150° D.120°B解析

設l與α所成的角為θ,則sin

θ=|cos<m,n>|=,∴θ=60°.故選B.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為

.

解析

設正方體的棱長為1,建立空間直角坐標系如圖,則D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).重難探究·能力素養全提升探究點一用定義法求直線與平面所成的角【例1】

在正四面體ABCD中,E為棱AD的中點,連接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.解

如圖,過A,E分別作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G為垂足,則AO∥GE,AO=2GE.連接GC,則∠ECG為EC和平面BCD所成的角.因為AB=AC=AD,所以OB=OC=OD.因為△BCD是正三角形,所以O為△BCD的中心.連接DO并延長交BC于F,則F為BC的中點.令正四面體ABCD的棱長為1,變式探究在本例中將條件“E為棱AD的中點”改為

.其他不變,結論又如何?規律方法

1.利用定義法求直線與平面所成的角,首先要作出斜線和這條斜線在平面內的射影所成的銳角,然后通過解三角形求出直線與平面所成的角的大小.其基本步驟可歸納為“一作,二證,三計算”.2.找射影的兩種方法3.本例中找出點E在平面BCD中的射影是解決問題的核心,對于幾何體中缺少棱長等數據信息,可根據幾何體的特征進行假設,這樣處理不影響結論.變式訓練1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.求EB與平面ABCD夾角的余弦值.解

如圖,取CD的中點M,連接EM,BM,則EM∥PD.∵PD⊥平面ABCD,∴EM⊥平面ABCD,∴∠MBE為BE與平面ABCD的夾角.設PD=DC=a(a>0).探究點二向量法求直線與平面的夾角【例2】

[人教A版教材習題]如圖,在三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OA=OC=3,OB=2.求直線OB與平面ABC所成角的正弦值.解

∵OA,OB,OC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.∵OA=OC=3,OB=2,∴O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),取z=2,則x=3,y=2,∴n=(3,2,2)是平面ABC的一個法向量,規律方法

通過此類例題不僅要熟悉求直線與平面夾角的一般流程,更重要的是注意對所給幾何體的結構分析、合理建系是問題的關鍵,如果求夾角還要結合線面角的范圍.變式訓練2[北師大版教材例題]如圖,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,底面邊長為2,AA'=,求直線AB'與側面ACC'A'所成角的正弦值.解

由正三棱柱知AA'⊥平面ABC,故以點A為原點,AC,AA'所在直線分別為y軸、z軸,建立空間直線坐標系如圖所示,易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一個法向量.探究點三最小角定理的應用【例3】

如圖,在正四面體ABCD中,CD在平面α內,點E是線段AC的中點,在該四面體繞CD旋轉的過程中,直線BE與平面α所成的角θ不可能是(

)D規律方法

1.最小角定理是立體幾何的重要定理之一,指與平面斜交的直線與它在該平面內的射影的夾角不大于該直線與平面內其他直線的夾角.2.本例中先明確直線BE與CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判斷.變式訓練3PA,PB,PC是由P點出發的三條射線,兩兩夾角均為60°,則直線PC與平面PAB所成角的余弦值是(

)C解析

設所求角為θ,根據最小角定理及公式可得cos

60°=cos

30°cos

θ,得成果驗收·課堂達標檢測123451.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=,則l與α所成的角為(

)A.30°

B.60° C.120°

D.150°A解析

設l與α所成的角為θ且0°≤θ≤90°,則sin

θ=|cos<m,n>|=,∴θ=30°.123452.AB⊥平面α于點B,BC為AC在α內的射影,CD在α內,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,則AC和平面α所成的角為(

)A.90°

B.60° C.45°

D.30°C解析

設AC和平面α所成的角為θ,則cos

60°=cos

θcos

45°,故cos

θ=,所以θ=45°.123453.[2023甘肅永昌高二階段檢測]在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則直線BC1與平面BB1DD1所成角的正弦值為(

)D12345解析

以D點為坐標原點,以DA,DC,DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),123454.等腰直角三角形A