第四章4.5增長速度的比較A級必備知識基礎練1.[探究點一]若函數f(x)=x從1到a的平均變化率為14,則實數a的值為(A.10 B.9 C.8 D.72.[探究點二](多選題)某公司的盈利y(單位:元)和時間x(單位:天)的函數關系是y=f(x),假設f(x1)-f(x0)x1-x0>0(x1>x0≥0)恒成立,且f(10)-f(0A.公司已經虧損B.公司的盈利在增加,增加的幅度變大C.公司在虧損且虧損幅度變小D.公司的盈利在增加,增加的幅度變小3.[探究點二]某嬰兒從出生到第24個月的體重變化如圖所示,則該嬰兒體重在第年內增長較快.

4.[探究點三]函數f(x)=x2與g(x)=lnx在區間(1,+∞)上增長較快的是.

5.[探究點二]求y=3x+1在區間[a,a+1]與區間[a+1,a+2]上的平均變化率,并比較它們的大小.6.[探究點一、二]已知函數f(x)=-x2-3x.(1)求f(x)在區間[1,2]與[2,3]上的平均變化率;(2)記A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),判斷直線AB與直線BC斜率的相對大小.B級關鍵能力提升練7.[2023江西南昌高一]集合{x|2x=x100,x∈R}的真子集的個數為()A.2 B.4 C.6 D.78.(多選題)甲、乙、丙、丁四人同時從同一點出發向同一個方向運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),則下列結論正確的是()A.當x>1時,甲走在最前面B.當x>1時,乙走在最前面C.當0<x<1時,丁走在最前面;當x>1時,丁走在最后面D.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面9.(多選題)如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象,假設其函數關系為指數函數,現給出下列說法,其中正確的說法有()A.野生水葫蘆的面積每月增長率為1B.野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2歷時超過1.5個月C.設野生水葫蘆蔓延到10m2,20m2,30m2所需的時間分別為t1,t2,t3,則有t1+t3<2t2D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度10.[2023陜西榆林高一]下列說法錯誤的有.(填序號)

①冪函數增長的速度比一次函數增長的速度快;②對任意的x>0,都有xa>logax;③對任意的x>0,都有ax>logax.11.求出函數f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,若Δx都為13,則f(x)在哪一點附近的平均變化率最大C級學科素養創新練12.某學校為了實現60萬元的生源利潤目標,準備制訂一個激勵招生人員的獎勵方案:在生源利潤達到5萬元時,按生源利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨生源利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數不超過3萬元,同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪個模型符合該校的要求?參考答案4.5增長速度的比較1.Bf(x)=x從1到a的平均變化率為ΔfΔx=a2.ABC平均變化率為正說明盈利是增加的,平均變化率變小說明增加的幅度變小了,但還是增加的,故D正確.故選ABC.3.1設嬰兒在前12個月的體重變化為ΔW1,在第12~24個月體重變化為ΔW2.∵ΔW1ΔtΔW2Δt2=14故第1年內嬰兒體重的平均變化率大,嬰兒體重增長較快.4.f(x)=x2在(1,+∞)上取(a,a+1),則ΔfΔx=ΔgΔx=g(a+1因為a≥1,所以2a+1≥3,ln1+1a≤ln1+11=ln2<1,所以ΔfΔx>ΔgΔx,故在區間(1,+∞)上增長較快的為f5.解在區間[a,a+1]上,ΔyΔx=在[a+1,a+2]上,ΔyΔx=3a+2+1因為6×3a2×3a=3>1,所以y=3x+1在區間[a+1,a+2]上的平均變化率大于在區間6.解(1)f(x)=-x2-3x在區間[1,2]上的平均變化率為Δf1Δx=f(2)-f(1)2-1=(-22f(x)在區間[2,3]上的平均變化率為Δf2Δx=f(3)-f(2)3-2=(-32(2)∵kAB=f(2)-f(1)2∴kAB>kBC.7.D分析指數函數y=2x與冪函數y=x100圖象的增長趨勢,當x<0時,顯然有一個交點.若x=1,21>1100;若x=2,22<2100.故當x∈(1,2)時,有一個交點.分析數據發現,當x較小時,y=x100比y=2x增長得快;當x較大時,y=2x比y=x100增長得快,所以還有一個交點.故y=2x與y=x100的圖象有三個交點,即集合{x|2x=x100,x∈R}中有3個元素,所以真子集個數為23-1=7.故選D.8.CD路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它們相應的函數模型分別是指數型函數、冪函數、一次函數和對數型函數模型.對于A,當x=2時,f1(2)=3,f2(2)=8,∴該結論不正確;對于B,∵指數型函數的增長速度大于冪函數的增長速度,∴當x>1時,甲總會超過乙的,∴該結論不正確;對于C,根據四種函數的變化特點,結合四個圖象的變化情況可知,當0<x<1時,丁走在最前面,當x>1時,丁走在最后面,∴該結論正確;對于D,結合對數型和指數型函數的圖象變化情況,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴該結論正確.9.ABC由題意得,所求函數為指數函數且過點(1,2),可得函數y=f(x)=2x.對于A,設第n個月的野生水葫蘆面積為f(n),則第n+1個月的野生水葫蘆面積為f(n+1),∴野生水葫蘆的面積每月增長率f(n+1)-f(對于B,設野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2歷時x個月,2x1=4,x1=2,2x2=12,x2=log212,x=x2-x1=log212-log24=log23,解得x=log23>log222=32=對于C,野生水葫蘆蔓延到10m2,20m2,30m2所需的時間分別為t1,t1,t3,∴t1+t3=log210+log230=log2300,2t2=2log220=log2400,∴t1+t3<2t2,故C正確;對于D,野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為8-23-1=3,野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度為16-44-10.①②③對于①,如函數y=x12和y=2x+1,由圖象知冪函數增長的速度不一定比一次函數增長的速度快,故①錯誤;對于②,當a=12時,y=x12,y=log由圖象知對任意的x>0,xa>logax不一定正確,故②錯誤;對于③,當a=12時,y=12x,y=log12x由圖象知對任意的x>0,ax>logax不一定正確,故③錯誤.11.解f(x)=x2在x=1附近的平均變化率k1=f(1+Δx)-f(1)Δx=(1+Δx)2-1Δx=2+Δx,在x=2附近的平均變化率k若Δx=13,則k1=2+13=73,k2=4+13=13∵k1<k2<k3,∴f(x)在x=3附近的平均變化率最大.12.解作出函數y=3,y=0.2x,y=log5x,