第9題樣本的數字特征

一、原題呈現

【原題】有一組樣本數據事，々，…，乙，由這組數據得到新樣本數據弘，必，…,打，其中%=玉+C

(i=l,2,…,“),c為非零常數，則()

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D,兩組樣數據的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】因為y=W+C,所以*=一22七,〉=一2(玉+c)=x+c,因為CHO,所以70-A錯誤；設

〃,=)〃I

第一組中位數為々，則第二組的中位數為”=4+C.CHO,所以"錯誤；第?組數據的標準差

S=,第二組數據的標準差s'=J/g(y-5)2=,需(改_：)2，C正確；若第一組數據

的極差為-Xmin，則第二組數據的極差為Vmax-Win=&max+C)-(/in+C)=/ax-^min，故D正確；故

選CD

【就題論題】本題涉及到中位數、平均數、標準差及極差等樣本的數字特征，題型是常規題型,考生在復習時

訓練的比較多，絕大部分考生都能得分.

二、考題揭秘

【命題意圖】本題考查樣本的數字特征，考查數據分析與數學運算的核心素養.難度：中等偏易.

【考情分析】概率與統計是高考重點，在高考試卷中既有客觀題又有解答題，由于該模塊涉及知識點比較多,

高考命題沒有固定的熱點，一般情況下，統計與概率、隨機變量的分布列都會涉及，客觀題至少會有2道.

【得分秘籍】

(1)眾數、中位數、平均數

①眾數：一組數據中出現次數最多的數.

②中位數：把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在正中間位置的數(或中間兩個數的平均數)

叫做這組數據的中位數.

%++???+X?

③平均數：如果n個數XI,X2，…,X”,那么X叫做這n個數的平均數.

n

(2)三種數字特征的優缺點

眾數：優點：①體現了樣本數據的最大集中點；②容易計算.

缺點：它只能表達樣本數據中很少的一部分信息，無法客觀地反映總體特征.

中位數：優點：①不受少數幾個極端數據(即排序靠前或靠后的數據)的影響；②容易計算，便于利用中間數據

的信息.

缺點：對極端值不敏感.

平均數：優點：是反映數據集中趨勢的量.一般情況下可以反映出更多關于樣本數據全體的信息.

缺點：代表性不強，任何一個數據的改變都會引起平均數的改變.數據越"離群”，對平均數的影響越大.

(3)極差、標準差、方差

①一組數的極差指的是這組數的最大值減去最小值所得的差.

②標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離,一般用s表示,s=

③方差是標準差的平方.

(3)對方差與標準差概念的理解

①標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小.標準差、方差越大，數據的離散程度越大：標準差、

方差越小，數據的離散程度越小.

②標準差、方差的取值范圍是：［0,+8).“獨立”與“互斥”的區別

③因為方差與原始數據的單位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數

據的離散程度上是一樣的，但在解決實際問題時,一般多采用標準差.

(4)有關平均數、方差的一些結論

若數據X1,X2,...,Xn的平均數為方差為S4

22

則axi,ax2,...,axn的平均數為ax,方差為as.

22

數據mx1+a,mx2+a,...,mxn+a的平均數為根X+a,方差為ms.

(5)標準差(方差)的兩個作用

①標準差(方差)較大，數據的離散程度較大；標準差(方差)較小，數據的離散程度較小.

②在實際應用中，常常把平均數與標準差結合起來進行決策.在平均值相等的情況下，比較方差或標準差以確

定穩定性.

(6)眾數、中位數、平均數與頻率分布表、頻率分布直方圖的關系

①眾數：眾數一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來顯示,即在樣本數據的頻率分布直方圖中，最

高矩形的底邊中點的橫坐標.

②中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.

③平均數：平均數在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和.

【易錯警示】

（1）混淆標準差與方差

（2）求數據的中位數時沒有按照從小到大（或從大到小）的順序排列.

三、以例及類

（以下所選試題均來自新高考I卷地區2020年1-6月模擬試卷）

一、單選題

1.（2021福建省龍巖市高三三模）平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據的分布

形態有關.如圖所示的統計圖，記這組數據的眾數為中位數為N,平均數為P,則（）

A.N<M<PB.M<N<P

C.M<P<ND.P<N<M

【答案】B

【解析】由統計圖可得.眾數為M=5；共有2+3+10+6+3+2+2+2=30個數據，處在中間位置的兩個

數據為5,6,所以中位數為％=孚=5.5：

2

2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10___

平均數尸=--------------------------------------------------?5.97,

30

所以Af<N<P.故選B.

2.（2021廣東省深圳市高三一模）2020年12月31日，國務院聯防聯控機制發布，國藥集團中國生物的新冠

病毒滅活疫苗已獲藥監局批準附條件上市，其保護效力達到世界衛生組織及藥監局相關標準要求，現已對18

至59歲的人提供.根據某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計該地接種年齡的中位數為（）

01824303642485460年齡/歲

A.40B.39C.38D.37

【答案】C

［解析］年齡位于［18,24）的頻率為0.013x6=0.078,年齡位于［24,30）的頻率為0.023x6=0.138，年齡

位于［30,36）的頻率為0.034x6=0.204.年齡位于［36,42）的頻率為0.（M0x6=0.240.因為

0.078+0.138+0.204=0.42<0.5,而

0.078+0.138+0.204+0.240=0.42=0.66>0.5，所以中位數位于［36,42）.設中位數為x,則

0.078+0.138+0.204+（x—36）x0.04=0.5，解得x=38,故選C.

3.（2021河北省邯鄲市高三一模）構建德智體美勞全面培養的教育體系是我國教育一直以來努力的方向.某

中學積極響應黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面發展的活動.如圖所示的是該校高三（1）、（2）班

兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖（得分越高，說明該項教育越好）.下列說法正確的是

實緩:高三（I）班的數據虛線:高三（2）班的數據

A.高三（2）班五項評價得分的極差為1.5

B.除體育外，高三（1）班的各項評價得分均高于高三（2）班對應的得分

C.高三（1）班五項評價得分的平均數比高三（2）班五項評價得分的平均數要高

D.各項評價得分中,這兩班的體育得分相差最大

【答案】C

【解析】對于A,高三（2）班德智體美勞各項得分依次為959,9.5,9,8.5,

所以極差為9.5—8.5=1,A錯誤；對于B,兩班的德育分相等,B錯誤；

對于C,圖二（1）班的平均數為---------------------=9.35,

95+85+9+95+9

（2）班的平均數為=9.1,故C正確;

對于D,兩班的體育分相差9.5—9=0.5.

而兩班的勞育得分相差9.25—8.5=0.75.D錯誤，故選C.

4.（2021湖南省衡陽市高三下學期考前預測）俗話說：“一心不能二用"，意思是我們做事情要專心，那么，“一

心”到底能否"二用”,某高二幾個學生在學完《統計》后,做了一個研究，他們在本年級隨機抽取男生和女生各

100名,要求他們同時做一道數學題和英語聽力題，然后將這些同學完成問題所用時間制成分布圖如下,則下列

說法正確的是（）

①男生"一心二用''所需平均時間平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都強于男生；③女生用時眾

數小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正態分布.

A.①④B.②③C.①③D.①③④

【答案】D

【解析】根據圖形可看出，男生“一心二用”所需平均時間平均值大于女生；并不是所有女生“一心：用''能力

都強于男生；女生用時眾數小于男生；男生“?心二用”能力分布近似于正態分布：故①③④正確.故選D.

5.（2021江蘇省南通市學科基地高三下學期高考全真模擬）甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目的選拔賽,

四人的平均成績和方差見下表

甲乙丙T

平均成績X/環9.08.98.69.0

方差/環22.82.82.13.5

如果從這四人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，那么最佳人選是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【解析】甲、丁的平均成績高于乙、丙的平均成績，甲的方差小于丁的方差,說明甲的成績較穩定.故選A

6.（2021山東省泰安肥城市高三三模）已知某城市9月平均氣溫為28.5℃,如當月最熱日和最冷日的平均

氣溫相差不超過10℃,則該月平均氣溫在30℃及以上的日子最多有多少天？（）

A.24B.25C.26D.27

【答案】B

【解析】設平均氣溫d30度有8夭,30度以下有30-X天,二"+（307）。-10）=28.5、30,化簡得

30什10丈=1155,要使30度及以上的天數多,氣溫/就要低,.”=30度時,天數》最多為》=25.5天（因為不

至|J26天），故最多有25天.故選B.

7.（2021江蘇省六校高三下學期第四次適應性聯考）學校組織開展勞動實踐，高二某班15名學生利用假期時

間前往敬老院、消防隊等場所勞動服務.經統計，該15名學生的勞動服務時長平均為20小時，標準差為5.后來

經核實，發現統計的甲、乙兩名同學的勞動服務時長有誤.甲同學的勞動服務時長實際為20小時，被誤統計為

15小時；乙同學的勞動服務時長實際為18小時，被誤統計為23小時.更正后重新計算,得到標準差為*,則s

與邑的大小關系為（）

A.s=S1B.C.s>S\D.無法判斷

【答案】C

【解析】由于甲同學的勞動服務時長實際為20小時，被誤統計為15小時，

乙同學的勞動服務時長實際為18小時，被誤統計為23小時,所以平均時長不變，

設20名學生的平均時長為

用玉9，%20分別表示甲乙兩名學生原來錯誤的服務時長，用了19，%20分別表示甲乙兩名學生正確的服務時

長,毛,%2「一，玉8分別表示余下18名學生的勞動服務時長，

所以十:一丁）2+（%27）2+.「+（丁8+（再9+（電0

（西-琦+（/_琦+???+（玉8-V）2+（15-V）2+（23-V）2

____________________________________________________________________?>

20

2_（尤1_訶）~+（%2+++（工19—萬）+（工20

120

22222

（X]-V）+（X2-V）+.--+（X18-V）+（20-V）+（18-V）

--------------------------------------------------------------------------,

20

所以只比較（15-比『+（23-寸與（20-刃2+（18-寸即可,

S^（15-V）2+（23-V）2-（20-V）2-（18-V）2=30>0,

所以s?>s；,s>故選：c.

8.（2021湖南省長沙市長郡中學高三下學期保溫卷）已知某6個數據的平均數為4，方差為8，現加入2和6兩

個新數據，此時8個數據的方差為（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】設原數據為%、%、%、%、%、/廁=6x4=247Z（q-4）-=8

i=l6,=i

6

加入2和6兩個新數據后，所得8個數據的平均數為二“'+2+6

2d---------=4

8

所得8個數據的方差為2］（勾一4）+（2-4）+（6-4）48+4+47

s--------------------------------------------------------------=---------=7

88

故選B.

9.（2021湖北省武漢市華中師范大學附中高三下學期5月押題卷）為慶祝中國共產黨成立100周年/、8、C

、。四個興趣小組舉行黨史知識競賽,每個小組各派10名同學參賽，記錄每名同學失分（均為整數升青況,若該組

每名同學失分都不超過7分，則該組為“優秀小組”，已知A、8、C、￡>四個小組成員失分數據信息如下，則一定為

“優秀小組''的是（）

A.A組中位數為2,極差為8B.B組平均數為2,眾數為2

C.C組平均數為1,方差大于0D.D組平均數為2,方差為3

【答案】D

【解析】對A.因為中位數為2,極差為8,故最大值大于7,故A錯誤；

對B,如失分數據分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8.則滿足平均數為2,眾數為2,但不滿足每名同學失分都不超過

7分，故B錯誤；

對C,如失分數據分別為0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,則滿足平均數為1,方差大于0,但不滿足每名同學失分都不超

過7分，故C錯誤：

對D，利用反證法，假設有一同學失分超過7分，則方差大于3x（8-=3.6>3.與題設矛盾，故每名同學失

分都不超過7分.故D正確.故選D

10.（2021河北省張家口市高三三模）某中學春季運動會上,12位參加跳高半決賽同學的成績各不相同，按成

績從高到低取前6位進入決賽，如果小明知道了自己的成績后，則他可根據其他11位同學成績的哪個數據判

斷自己能否進入決賽（）

A.中位數B.平均數C.極差D.方差

【答案】A

【解析】12位同學參賽,按成績從高到低取前6位進入決賽，正好一半，因此可根據中位數判斷小明是否能進

入決賽.故選A.

11.（2021福建省三明市高三三模）某市原來都開小車上班的唐先生統計了過去一年每一工作日的上班通行

時間，并進行初步處理,得到頻率分布表如下（T表示通行時間，單位為分鐘）：

通行時間15<7<2020<r<2525<T<3030<T<3535<T<40

頻率0.10.30.30.20.1

該市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節能減排.唐先生積極響應政府號召，準備每天

從騎自行車和開小車兩種出行方式中隨機選擇一種.如果唐先生選擇騎自行車，當天上班的通行時間為30分

鐘.將頻率視為概率，根據樣本估計總體的思想，對唐先生上班通行時間的判斷,以下正確的是（）

A.開小車出行的通行時間的中位數為27.5分鐘

B.開小車出行兩天的總通行時間少于40分鐘的概率為0.01

C.選擇騎自行車比開小車平均通行時間至少會多耗費5分鐘

D.若選擇騎自行車和開小車的概率相等，則平均通行時間為28.5分鐘

【答案】D

【解析】對于A,由頻率分布及可知中位數在［25,30）內,若設中位數為。,則有0.1+0.3+拳03（。-25）=0.5,

80

解得。=一￥27.5.所以A錯誤；

3

對于B,由頻率分布表可知開小車出行兩天的總通行時間少于4（）分鐘的概率為1,所以B錯誤；對于C,由頻

率分布表可得開小車平均通行時間為0.1x17.5+0.3x22.5+0.3x27.5+0.2x32.5+0.1x37.5=27,所以

選擇騎自行車比開小車平均通行時間至少會多耗費3分鐘，所以C錯誤；對于D,由上面的計算可知平均通行

27+30

時間為-------=28.5.所以D正確，故選D

2

12.（2021湖北省武漢市高三下學期4月質量檢測）一組數據由10個數組成，將其中一個數由4改為1,另一

個數由6改為9,其余數不變，得到新的10個數，則新的一組數的方差相比原先一組數的方差的增加值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】一個數由4改為1,另一個數由6改為9,故該組數據的平均數最不變，

設沒有改變的八個數分別為%,與，工3，???，/，原先一組數的方差

sj—[(玉—x)~+("2—x)”+(，3—幻~+,,,+(4-x)~+(4—x)~+(6—x)2],

新數據的方差

s,~———x)~+(尤,一x)一+(巧-x)~+■??+(/一x)-+(1—x)~+(9—x)~

所以52?—s：=—[(1—x)~+(9—x)"—(4—x)2—(6—%)*]

i——2——2——2——2

—(1-2,x+x+81—18x+x—16+8x-x-36+12x—x)=3,故選B.

10

二、多選題

13.(2021福建省廈門市高三三模)記考試成績Z的均值為〃，方差為(/,若Z滿足

0.66<P(〃—b<Z<〃+b)<0.70,則認為考試試卷設置合理.在某次考試后，從20000名考生中隨機抽

取1000名考生的成績進行統計，得到成績的均值為63.5,方差為169,將數據分成7組，得到如圖所示的頻率分

布直方圖.用樣本估計總體，則()

A.本次考試成績不低于80分的考生約為5000人

B.a=0.03

C.本次考試成績的中位數約為70

D.本次考試試卷設置合理

【答案】BC

【解析】由頻率分布直方圖可得(a+0.02+0.015x2+0.01+0.005x2)*10=l,

故a=0.03,故B正確.

不低于80分的考生的頻率為（0.015+0.005）x2=0.04.

故本次考試成績不低于80分的考生約為0.04x20000=800人，故A錯.

由頻率分布直方圖可得前4組的頻率和為0.5.故中位數約為70,故C正確.

由頻率分布直方圖可得：

135

產（50.5<Z<76.5）=0.15+0.2+0.3-—x0.15--x0.3=0.47,

故本次考試試卷設置不合理，故D錯誤.故選BC.

14.（2021廣東省佛山市高三下學期二模）百年大計，教育為本.十四五發展綱要中，教育作為一個專章被提出.

近日，教育部發布2020年全國教育事業統計主要結果.其中關于高中階段教育（含普通高中、中等職業學校

及其他適齡教育機構）近六年的在校規模與毛入學率情況圖表及2020年高中階段教育在校生結構餅圖如下,

根據圖中信息，下列論斷正確的有（）（名詞解釋：高中階段毛入學率三在校生規模+適齡青少年總人數X100%）

2020年高中階段教育在校生結構

其他適齡教育

中等職業學校

38.83%

普通高中

60.10%

A.近六年，高中階段在校生規模與毛入學率均持續增長

B.近六年，高中階段在校生規模的平均值超過4000萬人

C.2019年，未接受高中階段教育的適齡青少年不足420萬

D.2020年，普通高中的在校生超過2470萬人

【答案】BD

【解析】對A,在前四年有下降的過程，故A錯誤；

對B,六年的在校生總數為24037,平均值為4006以匕故B正確；

對C,三39經95"XSIOSB468,未接受高中階段教育的適齡青少年有468萬人以上，故C錯誤;

0.895

對D,4128x0.601a2481,故D正確.故選BD

15.（2021湖北省武漢市高三下學期5月質量檢測）某學校為了促進學生德、智、體、美、勞全面發展，制訂了

一套量化評價標準.下表是該校甲、乙兩個班級在某次活動中的德、智、體、美、勞的評價得分（得分越高,說明該

項教育越好).下列說法正確的是()

德智體美勞

甲班9.59.599.58

乙班9.599.598.5

A.甲班五項得分的極差為1.5

B.甲班五項得分的平均數高于乙班五項得分的平均數

C.甲班五項得分的中位數大于乙班五項得分的中位數

D.甲班五項得分的方差小于乙班五項得分的方差

【答案】AC

9.5+9.5+9+9.5+8

【解析】甲班的極差為9.5—8=1.5,故A正確；甲班的平均數=9.1,乙班的平均數

5

95+9+9.5+9+8.5

=9.1,故B錯誤;

5

甲班的成績從低到高：8,9,9.595,9.5,中位數為9.5,

乙班的成績從低到高排列：8.5,9,9,9.595,中位數9,故C正確；

甲班的成績的方差為M=g(0.42+0.42+0.12+0.42+1.12).

乙班的成績的方差為N=g(0.42+0.12+0.42+0.12+0.62).

M-N=1(0.42+1.12-0.12-0.62)>0,故D錯誤.故選AC.

16.(2021江蘇省南通等七市2021屆高三下學期2月第一次調研)冬末春初，乍暖還寒,人們容易感冒發熱.

若發生群體性發熱,則會影響到人們的身體健康，干擾正常工作生產.某大型公司規定：若任意連續7天,每天不

超過5人體溫高于37.3℃,則稱沒有發生群體性發熱.下列連續7天體溫高于37.3℃人數的統計特征數中,

能判定該公司沒有發生群體性發熱的為()

A.中位數為3,眾數為2B.均值小于1,中位數為1

C.均值為3,眾數為4D,均值為2,標準差為公

【答案】BD

【解析】將7個數由小到大依次記為X］、“2、七、兀4、了5、4、X7.

對于A選項,反例：2、2、2、3、3、4、6,滿足中位數為3,眾數為2,與題意矛盾,A選項不合乎要求;

對于B選項，假設“726.即該公司發生了群體性發熱，

7

因中位數為1,則"天認=1，平均數為一卒、0x3+l+l+l+6,，矛盾，

x=——>---------->1

77

故假設不成立，即該公司沒有發生群體性發熱,B選項合乎要求；

對于C選項,反例：Q、1、2、4、4、4、6,滿足眾數為4,均值為3,與題意矛盾,C選項不合乎要求；對

于D選項，假設占26,即該公司發生群體性發熱，

若均值為2，則方差為2=/G"）〉（電-2）2=3〉2.即s>0，與D選項矛盾,故假設不成立，即該

公司沒有發生群體性發熱,D選項合乎要求.故選BD.

三、填空題

17.（2021山東省濟南市高三二模）習近平總書記在黨史學習教育動員大會上強調：“回望過往的奮斗路，眺

望前方的奮進路，必須把黨的歷史學習好、總結好，把黨的成功經驗傳承好、發揚好某黨小組為響應習總

書記號召，重溫百年奮斗的恢弘史詩，以信仰之光照亮前行之路，組織開展黨史學習教育知識競賽活動，其中7

名黨員在這次活動中的成績統計如圖所示.則這7個成績的中位數所對應的黨員是.

【解析】根據條形圖可知,7名黨員的成績由高到低依次為：庚、內、戊、甲、丁、己、乙，因此，這7個成績

的中位數所對應的黨員是甲.

18.（2021湖南省六校高三4月聯考）在發生某公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間內沒

有發生大規模群體感染的標志是“連續10日，每天新增疑似病例不超過7人”.已知過去10日,A、B、C三

地新增疑似病例數據信息如下：

A地：總體平均數為3,中位數為4；

B地：總體平均數為2,總體方差為3；

。地：總體平均數為1,總體方差大于0；

則A、B、C三地中，一定沒有發生大規模群體感染的是地.

【答案】B

【解析】A地，平均數和中位數不能限制某一天的病例超過7人,故不是A地.

8地，當總體平均數為2,

根據方差公式S2=