第五章

頻率分析法頻率分析法的特點1、有明確的物理意義：頻率特性可以用實驗方法測定；2、可以方便有效地分析噪聲的控制問題。§5.1頻率特性(FrequencyCharacteristic)1頻率特性的基本概念

(1)頻率特性的定義:系統在正弦函數的輸入時,穩態輸出信號的向量表達式與輸入信號的向量表達式之比對頻率ω的關系特性。

例如：設有下列RC網絡，在輸入端加入信號：r（t）=UrSinωt時，

有：c（t）=UcSin（ωt+φ）,c（t）為一個與r（t）同頻率的正弦輸出響應，只是幅值和相角發生了變化。

c（t）r（t）CR自動控制原理Chapter5FrequencyAnalyticalMethod第五章

頻率分析1由于該網絡的傳遞函數為：

C（S）1G（S）==其中T=RCR（S）TS+1如果c（t）與r（t）用復向量表示，則有：

C（jω）Zc1/jωC11====R（jω）Zr+ZcR+1/jωC1+jωRC1+jωT

ejφ（ω）==A（ω）ejφ（ω）=G（jω）√1+ω2T2

其中φ（ω）=-arctgωT-----c（t）與r（t）之間的相位差，A（ω）=1/√1+ω2T2-----c（t）與r（t）的幅值之比，定義:φ（ω）為系統的相頻特性(phase-frequencycharacteristic)；A（ω）為系統的幅頻特性(amplitude-frequencycharacteristic)；

而：A（ω）ejφ（ω）則完整地描述了系統在正弦輸入下系統輸出之間隨頻率ω的變化規律------定義G（jω）為系統的頻率特性。自動控制原理由于該網絡的傳遞函數為：2

比較網絡的傳遞函數和復向量表達式，可見它們之間可以通過下式進行轉換：（證明見教材P198-199）

G（S）︱S=jω=G（jω）

即：對于一個線性定常系統，若已知其傳遞函數G（S），只要將G（S）中的S以jω來代替，便可以得到系統的頻率特性表達式。

2

頻率特性的幾何表示法常用的幾何表示法有：

極坐標圖：即系統幅相頻率特性曲線（幅相曲線）。用以在復平面上描述系統頻率特性Bode圖（對數坐標圖）：即系統對數頻率特性曲線。用以在對數坐標系中描述系統頻率特性；尼柯爾斯圖（對數幅相圖）：用以描述閉環系統的頻率特性。（1）幅相曲線

繪制幅相曲線時，以ω為參變量（ω：0→+∞），將幅頻特性和相頻特性同時表示在復平面上。自動控制原理比較網絡的傳遞函數和復向量表達式，可見它們之間可以通過3例如：RC網絡的頻率特性，根據其A（ω）和φ（ω）的表達式，在參變量ω∈[0→∞）時，可繪制RC網絡的幅相曲線如右圖所示。1（ω=0，φ=0）0φ∣G（jω）∣jω=∞，φ=90°（2）對數頻率特性曲線(Bode圖)

對數頻率特性的定義：

L（ω）=20lg∣G（jω）∣--------對數幅頻特性

φ（ω）=∠G（jω）-----------------對數相頻特性對數頻率特性曲線：由對數幅頻特性和對數相頻特性兩條曲線組成。橫坐標：表示頻率ω（rad/s），對數分度lgω（對ω不均勻）；

縱坐標：表示對數幅頻特性時，為對數幅頻特性的函數值（dB）；表示對數相頻特性時，為對數相頻特性的函數值（弧度或度）；縱坐標為均勻分度。自動控制原理2003.9.(5-4)例如：RC網絡的頻率特性，1（ω=0，φ=0）0φ∣4對數分度方法：由于

ω110100100010000…lgω

0

1

2

3

4

…ω12345678910lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1十倍頻程十倍頻程12345678910203040506080100ω一倍頻程一倍頻程二倍頻程結論:(1)一個十倍頻程=3.32×一倍頻程(lg10÷lg2=3.32)；(2)頻率每變化一倍(一倍頻程),其間隔距離為0.301個單位長度。自動控制原理2003.9.(5-5)對數分度方法：由于ω110100100010000…lgω53幾種確定頻率特性的方法（1）實驗法：改變ω→頻率特性曲線→頻率特性→G（S）；（2）解析法：G（S）→G（jω）→頻率特性；（3）零極點圖法： §5.2典型環節的頻率特性(FrequencyCharacteristicofTypicalLink)1比例環節:傳遞函數G(S)=K頻率特性G（jω）=K(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=K(與ω大小無關)相頻特性φ（ω）=0°∴比例環節的幅相曲線為復平面實軸上的一個點(K,0)；見圖(a)所示。jK0(a)比例環節的幅相曲線自動控制原理2003.9.(5-6)3幾種確定頻率特性的方法（1）實驗法：改變ω→頻6（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):

對數幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgK(與ω大小無關)

對數相頻特性φ（ω）=0°故：

比例環節的Bode圖如下圖(b)所示。

20lgK0φ（ω）ωωL（ω）0(b)比例環節的Bode圖2積分環節：傳遞函數G(S)=1/S頻率特性G（jω）=1/jω=A（ω）ejφ（ω）=1/ω·e－j90°

(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=1/ω

相頻特性φ（ω）=-90°自動控制原理2003.9.(5-7)（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):對數幅頻特性L7積分環節的幅相曲線為復平面負虛軸部分；見下圖(a)所示。（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):(a)積分環節的幅相曲線ω→0ω→∞j0φ（ω）－20dB/decL（ω）1010-90°200ωω(b)積分環節的Bode圖對數幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=－20lgω

對數相頻特性φ（ω）=－90°

積分環節的Bode圖如下圖(b)所示。

3微分環節：傳遞函數G(S)=S頻率特性G（jω）=jω=ω·ej90°

自動控制原理2003.9.(5-8)積分環節的幅相曲線為復平面負虛軸部分；見下圖(a)所示。（28(1)幅相曲線:∵幅頻特性A（ω）=ω

相頻特性φ（ω）=90°∴微分環節的幅相曲線為復平面正虛軸部分；見下圖(a)所示。（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):∵對數幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgω

對數相頻特性φ（ω）=90°∴微分環節的Bode圖如下圖(b)所示。

ω→0(a)微分環節的幅相曲線ω→∞j020dB/decL（ω）101090°200φ（ω）ωω(b)微分環節的Bode圖自動控制原理2003.9.(5-9)(1)幅相曲線:（2）對數頻率特性曲線(Bode94慣性環節:傳遞函數G(S)=1/(1+TS)頻率特性G（jω）=1/(1+jωT)=A（ω）ejφ（ω）(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=1/√1+ω2T2

相頻特性φ（ω）=-arctgωT

慣性環節的幅相曲線見下圖(a)所示。(RC網絡的相頻特性)

（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):1）對數幅頻特性：L(ω)=20lgA（ω）=－20lg√1+ω2T2

當ωT<<1即ω<<1/T時,L(ω)≈0當ωT>>1即ω>>1/T時,L(ω)≈－20lgωT此時,斜率為–20Db/dec,與零分貝線的交點為ω=1/T,

該頻率稱為交接頻率。即慣性環節的交接頻率為ω=1/T。故:慣性環節的對數幅頻特性曲線可以用兩條直線來近似地描繪。如要精確繪制時需要對其進行修正(見教材P204)。

自動控制原理2003.9.(5-10)4慣性環節:(1)幅相曲線:幅頻特性A（ω102）對數相頻特性：φ（ω）=-arctgωT

ω=0時，φ（0）=0°…ω=1/T時，φ（1/T）=-45°…ω=∞時，φ（∞）=-90°所以，慣性環節的Bode圖如下圖(b)所示。

－20dB/decL（ω）1/T0-90°200φ（ω）ωω(b)0(ω=∞，φ=90°)1（ω=0，φ=0）0φA（ω）j(a)慣性環節的頻率特性曲線圖

自動控制原理2003.9.(5-11)2）對數相頻特性：φ（ω）=-arctgωTω=0時115一階微分環節:傳遞函數G(S)=1+TS頻率特性G（jω）=1+jωT=A（ω）ejφ（ω）(1)幅相曲線:相頻特性φ（ω）=arctgωT

∴慣性環節的幅相曲線見下圖(a)所示。

（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):1）對數幅頻特性L(ω)=20lgA（ω）=20lg√1+ω2T2

∵幅頻特性A（ω）=√1+ω2T2

當ωT<<1即ω<<1/T時,L(ω)≈0當ωT>>1即ω>>1/T時,L(ω)≈20lgωT

此時,斜率為20dB/dec,與零分貝線的交點為ω=1/T,

即一階微分環節的交接頻率為ω=1/T。

故:一階微分環節的Bode圖可以用兩條直線來近似地描繪。如要精確繪制時，需要對其進行修正(參見教材P204方法)。自動控制原理2003.9.(5-12)5一階微分環節:(1)幅相曲線:相頻特性φ（122）對數相頻特性φ（ω）=arctgωT

ω=0時，φ（0）=0°…ω=1/T時，φ（1/T）=45°…ω=∞時，φ（∞）=90°

一階微分環節的Bode圖如下圖(b)所示。

j(a)1ω=00ω=∞90°φ（ω）20dB/decL（ω）1/T0200ωω(b)一階微分環節的頻率特性曲線圖

6振蕩環節:傳遞函數G(S)=ωn2/（S2+2ξωnS+ωn2）

頻率特性G（jω）=ωn2/[（jω）2+2ξωn（jω）+ωn2]自動控制原理2003.9.(5-13)2）對數相頻特性φ（ω）=arctgωTω=0時13(1)幅相曲線:

相頻特性φ（ω）=-arctg[（2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]

在0<ξ<1上取定兩個ξ值(大小各一)，然后將ω/ωn在0→∞上取值，分別計算出A（ω）和φ（ω）。其中，幾個特征點為：

ω=0時，A（0）=1，φ（0）=0°

ω=ωn時，A（ωn）=1/2ξ，φ（ωn）=-90°

ω=∞時，A（∞）=0，φ（∞）=-180°

∴振蕩環節的幅相曲線見下圖(a)所示。

∵幅頻特性A（ω）=1/√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

注：關于振蕩環節的諧振峰值Mr，諧振頻率ωr，見P206

Mr=A（ωr）=1/2ξ√1-ξ2

ωr=ωn√1-2ξ2（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):

自動控制原理2003.9.(5-14)1）對數幅頻特性L(ω)=－20lg√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

(1)幅相曲線:相頻特性φ（ω）=-arct14當ω/ωn<<1即ω<<ωn時,L(ω)≈0；

當ω/ωn>>1即ω>>ωn時,

L(ω)≈－20lg√（ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

≈－40lg（ω/ωn）

由此可見，ω<<ωn時,對數幅頻特性為零分貝線

ω>>ωn時,對數幅頻特性為斜率-40dB/dec的直線

故：振蕩環節環節的Bode圖也可以用兩條直線來近似地描繪，如要精確繪制時，亦需要對其進行修正(參見教材P207方法)。振蕩環節的交接頻率為ω=ωn。

2）對數相頻特性：

φ（ω）=-arctg[（2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]（可參見前面“幅相曲線”方法分析）幾個特征點為：

ω=0時，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn時，A（ωn）=1/2ξ，φ（ωn）=-90°ω=∞時，A（∞）=0，φ（∞）=-180°≈－20lg√（ω2/ωn2）2

2003.9.(5-15)自動控制原理當ω/ωn<<1即ω<<ωn時,L(ω)≈0；當ω15振蕩環節的Bode圖如下圖(b)所示。

－40dB/decL（ω）ωn0-180°200φ（ω）ωω(b)-12ξω=∞ω=0ξ大ξ小10j(a)振蕩環節的頻率特性曲線圖

7.二階微分環節:傳遞函數:G(S)=（S/ωn）2+(2ξ/ωn)S+1頻率特性:G（jω）=[（jω）2+2ξωn（jω）+ωn2]/ωn2

幅頻特性A（ω）=√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

相頻特性φ（ω）=arctg[2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]仿照“振蕩環節”頻率特性的分析方法，可分別得到其幅相曲線及Bode圖如下圖(a)、(b)所示：

自動控制原理2003.9.(5-16)振蕩環節的Bode圖如下圖(b)所示。－40dB/decL16ωωnω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)[40]L（ω）20二階微分環節的頻率特性曲線圖

8延遲環節：傳遞函數G(S)=e-τS

頻率特性G（jω）=1·e-jωτ

=A*ejφ(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=1相頻特性φ（ω）=-ωτ（rad）=－57.3ωτ(°)

（2）對數頻率特性曲線(Bode圖):

1）對數幅頻特性L(ω)=20lgA（ω）=0

2）對數相頻特性：φ（ω）=-ωτ（rad）=－57.3ωτ(°)

2003.9.(5-17)自動控制原理ωω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)17可得延遲環節的頻率特性曲線如下所示:

00τ小τ大ωω(ω=0)0j1延遲環節的頻率特性曲線圖

§5.3系統開環頻率特性(FrequencyCharacteristicinOpen-loopSystem)1開環幅相特性

例題1：設某0型系統開環傳遞函數G（S）=K/（T1S+1）（T2S+1）（T1＞T2），試繪制系統的開環幅相曲線。

解：

G（S）可以認為是由K、1/（T1S+1）、1/（T2S+1）三個典型環節串聯組成。

即G（S）=G1（S）·G2（S）·G3（S）

由于環節K、1/（T1S+1）、1/（T2S+1）的頻率特性分別為:2003.9.(5-18)自動控制原理可得延遲環節的頻率特性曲線如下所示:00τ小τ大ωω(ω=18自動控制原理G1（jω）=K=A1（ω）ejφ1（ω）G2（jω）=1/（jωT1+1）=A2（ω）ejφ2（ω）G3（jω）=1/（jωT2+1）=A3（ω）ejφ3（ω）

所以，開環頻率特性為：

G（jω）=G1（jω）·G2（jω）·G3（jω）=A1（ω）A2（ω）A3（ω）ej[φ1（ω）+φ2（ω）+φ3（ω）]

故開環幅頻特性：A（ω）=A1（ω）A2（ω）A3（ω）=K/√ω2T12+1√ω2T22+1開環相頻特性：φ（ω）=∠G（jω）=φ1（ω）+φ2（ω）+φ3（ω）=0+（－arctgωT1）+（－arctgωT2）當K、T1、T2確定時，計算出ω：0→∞所對應的A（ω）和φ（ω）的值，并繪制于S平面上即得到系統的開環幅相曲線。

曲線的起點：limG（jω）=K∠0°

ω→0曲線的終點：limG（jω）=0∠－180°ω→∞2003.9.(5-19)自動控制原理G1（jω）=K=A1（ω）ejφ19曲線與坐標軸的交點：

可由G（jω）=0分別求得曲線與實軸和虛軸的交點:（也可能不存在交點，而有漸近線的情形，如P212例5-4）

G（jω）=K/[（jωT1+1）（jωT2+1）]=K/[(1－T1T2ω2)＋（T1+T2）ωj]=K[(1－T1T2ω2)－（T1+T2）ωj]/[(1－T1T2ω2)2＋（T1+T2）2ω2]

再令Im[G（jω）]=0，即（T1+T2）ω=0有ω=0

則Re[G（jω）]=K………………與實軸的交點

令Re[G（jω）]=0，即1－T1T2ω2=0或ω=1/√T1T2則Im[G（jω）]=－K√T1T2/（T1+T2）……與虛軸的交點

故0型系統開環幅相曲線為：

ω=∞K（ω=0）0j2003.9.(5-20)自動控制原理曲線與坐標軸的交點：可由G（jω）=0分別求得曲線20結論：

1）對0型系統，當ω=0時，有︱G（j0）︱=K（開環增益）且總有limG（jω）=K∠0°

ω→0即:0型系統開環幅相曲線的起點在實軸正向的K處

2）若開環傳遞函數中除有比例環節K以外，還有n個慣性環節，則有：limG（jω）=0∠（－90°）×n

ω→∞

3）若還有m個微分環節，則有：limG（jω）=0∠（－90°）×（n－m）

ω→∞

但此時的幅相曲線有凹凸情形發生。

2開環幅相特性曲線的繪制方法

1）直接利用開環幅相特性

計算出ω：0→∞所對應的A（ω）和φ（ω）的值，并繪制于S平面上即得到系統的開環幅相曲線。（如上例）

2003.9.(5-21)自動控制原理結論：1）對0型系統，當ω=0時，有︱G（j0）︱=K（212）復數法

計算出ω：0→∞所對應的Re[G（jω）]和Im[G（jω）]的值，并繪制于S平面上即得到系統的開環幅相曲線。

3）零極點圖法

4）計算機方法

3其它各類型系統開環幅相特性曲線

根據零型系統的分析方法，可以得到其它類型系統開環幅相特性曲線大致如下圖所示：3型2型1型0型0j各類型系統的幅相曲線

2003.9.(5-22)自動控制原理2）復數法計算出ω：0→∞所對應的Re[G（jω）224系統開環對數頻率特性

例題2：設系統的開環傳遞函數G（S）=K/S（T1S+1）（T2S+1）（T1＞T2），試繪制系統開環對數頻率特性曲線（Bode圖）

解：

因為系統的開環頻率特性為：

G（jω）=K/jω（jωT1+1）（jωT2+1），故有：

1）對數幅頻特性

L（ω）=20lg︱G（jω）︱=20lgK－20lgω－20lg√ω2T12+1－20lg√ω2T22+1=L1（ω）＋L2（ω）＋L3（ω）＋L4（ω）

即L1（ω）=20lgK；L2（ω）=－20lgωL3（ω）=－20lg√ω2T12+1L4（ω）=－20lg√ω2T22+12）對數相頻特性

φ（ω）=∠G（jω）=φ1（ω）＋φ2（ω）＋φ3（ω）＋φ3（ω）=0°－90°－arctgωT1－arctgωT2

2003.9.(5-23)自動控制原理4系統開環對數頻率特性例題2：設系統的開環傳遞函數G（23即φ1（ω）=0°φ2（ω）=－90°φ3（ω）=－arctgωT1φ4（ω）=－arctgωT2

根據上述分析，可以分別繪制L1（ω）、L2（ω）、L3（ω）、L4（ω）及φ1（ω）、φ2（ω）、φ3（ω）、φ4（ω），然后對其進行疊加，即可得到系統的Bode圖如下：

0.111/T1101/T1100L(ω)40200-20-40L2(ω)L3(ω)L4(ω)L1(ω)L

(ω)ωφ（ω）ω-90900-180-270結論:

上述方法可以推廣應用至n個典型環節的情形.即n個典型環節的對數頻率特性都可以采用疊加法或解析法直接計算繪制。

2003.9.(5-24)自動控制原理即φ1（ω）=0°根據上述分析，可以分別繪制L245Bode圖的繪制步驟（G（S）→曲線）

ⅰ）確定各環節的交接頻率：ω1、ω2、…、ωn，并表示在ω軸上；

其中

（TS+1）及1/（TS+1）的交接頻率為1/T；振蕩環節及二階微分環節的交接頻率為ωn

ⅱ）在ω=1處量出幅值為20lgK（A點）。其中K為開環放大系數。

ⅲ）繪制低頻段對數漸近線。

過A點，作一條斜率為－20·ν（dB/dec）的直線，直到第一個交接頻率ω1處（B點）。

其中ν為G（S）中積分環節的個數。

若ω＜1，則低頻段對數漸近線止于ω1處（B點），但其延長線經過A點。

ⅳ）從低頻段漸近線開始，沿ω軸的正方向，每遇到一個交接頻率時，漸近線的斜率就要改變一次。并依次由低頻段→高頻段畫出各個頻段的漸近線，即得到系統的開環對數頻率特性曲線（Bode圖）。斜率的改變規律：

a．遇到慣性環節的交接頻率時，斜率增加-20dB/dec；b．遇到一階微分環節的交接頻率時，斜率增加＋20dB/dec；c．遇到振蕩環節的交接頻率時，斜率增加-40dB/dec；d．遇到二階微分環節的交接頻率時，斜率增加＋40dB/dec；

2003.9.(5-25)自動控制原理5Bode圖的繪制步驟（G（S）→曲線）ⅰ）確定各環節25例題1：教材P213例題5-6

例題2：教材P214例題5-7

6.最小相角系統與非最小相角系統特點

ⅰ）定義：開環穩定的系統稱之為“最小相角系統”；否則為“非最小相角系統”。（P215）

ⅱ）特點：

1）P216（1）～（4）四點2）只包含七個典型環節的系統一定是最小相角系統；含有不穩定環節或延遲環節的系統，則屬非最小相角系統。

§5.4頻率穩定判據

(FrequencyStabilityCriteria)

1頻率穩定判據包括奈奎斯特（奈氏）判據：用于幅相曲線；對數頻率穩定判據：用于Bode圖。

2頻率穩定判據的特點：（P217四點）

3輔助函數F（S）的引入（證明略）

根據奈氏判據的前提，特引入輔助函數F（S）=1＋G（S）H（S），

該輔助函數F（S）的特點：

2003.9.(5-26)自動控制原理例題1：教材P213例題5-6例題2：教材P214例題5-261）

F（S）的極點是G（S）H（S）的開環極點；F（S）的零點是1＋G（S）H（S）=0的特征根。

2）

F（S）的零點與極點個數相同；（分子分母同階）3）F（S）與G（S）H（S）之間相差一個常數1。即F（S）曲線可由G（S）H（S）曲線右移一個單位得到。4引出奈氏判據的兩種方法

1）教材P218—221（自學）

2）幅角定理（映射定理）：如果[S]上封閉曲線Гs內有Z個

F（S）的零點P個F（S）的極點，那么，復變量S沿著Гs順時針旋轉一圈時，在[F（S）]上的ГF曲線則繞其原點逆時針轉過P-Z=R圈。

其中：

P-----F（S）在Гs內的極點數；Z-----F（S）在Гs內的零點數；R-----ГF曲線繞其原點逆時針轉過的圈數；

R=0時，說明ГF不包含[F（S）]原點；R＜0時，表示ГF曲線繞其原點轉過的圈數為順時針方向；

2003.9.(5-27)自動控制原理1）

F（S）的極點是G（S）H（S）的開環極點；2）

F（27[證明如下]：

設F（S）的零點、極點在[S]上的分布如圖示，并有一條封閉曲線Гs包含F（S）的第i個零點Zi，在曲線Гs上選取一點S，當S沿著Гs順時針旋轉一圈時，總有:△∠（S-Pj）=0（j=1，2，…，n）

△∠（S-Zj）=0（j=1，2，…，m，j≠i）

而△∠（S-Zi）=-2π

同理△∠（S-Pi）=2π

其中Zi、Pi------為曲線Гs之內的零、極點；Zj、Pj------為曲線Гs之外的零、極點；

ГF∠F（S）[F（S）]OГsSs-p1s-p3s-z1s-zis-p2×OO××[S]s-ziO2003.9.(5-28)自動控制原理[證明如下]：設F（S）的零點、極點在[S]上的分布如圖示28若有Z個零點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（S-Zi）=Z·（-2π）;

同理：若有P個極點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（S-Pi）=P·2π;又因為:∠F（S）=∑∠（S-Zj）+∑∠（S-Pj）故有:△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+∑△∠（S-Pj）

所以，若有Z個零點、P個極點被曲線Гs包圍，則有：

△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+∑△∠（S-Pj）

=Z·（-2π）+P·2π=（P-Z）·2π=R·2π

即有:R=P-Z

5奈氏判據：反饋系統穩定的充要條件是奈氏曲線逆時針包圍臨界點（-1，j0）的圈數R等于G（S）H（S）在右半S平面上的開環極點數P，即：

Z=P–R若P≠R，則Z≠0，那么，系統不穩定。而且，此時閉環正實部特征根的個數為Z個。2003.9.(5-29)自動控制原理若有Z個零點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（S-Zi）=29其中，R——奈氏曲線繞（-1，j0）逆時針（R＞0）轉過的圈數；P——F（S）在右半S平面上的極點數；Z——F（S）在右半S平面上的零點數；奈氏曲線---指ω∈（-∞，+∞）時，G（jω）的整個幅相曲線。

例題1：已知下圖各系統中開環都是穩定的（即P=0），試根據各圖奈氏曲線分析系統穩定性。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因開環都是穩定的，即P=0,根據奈氏判據：圖（a）之奈氏曲線不包圍（-1，j0）點，即R=0，故Z=P-R=0，所以，系統穩定。

圖（b）之奈氏曲線恰好穿過（-1，j0）點，系統處于臨界穩定。

圖（c）之奈氏曲線順時針包圍（-1，j0）點兩圈，即R=-2，故Z=P-R=2≠0，所以，系統不穩定。

2003.9.(5-30)自動控制原理其中，R——奈氏曲線繞（-1，j0）逆時針（R＞0）轉過的圈306根據幅相曲線判定系統穩定性

若已知ω∈（0，+∞）時系統的開環幅相曲線和G（S）H（S）在右半S平面上的開環極點數P，根據該幅相曲線包圍臨界點（-1，j0）的圈數N（逆時針為正）是否滿足：

Z=P－2N來確定系統的穩定性。

當Z=0時，閉環系統穩定；當Z≠0時，閉環系統不穩定，且閉環特征方程有Z個正實部根；

例題2：教材P221例5-10，5-11

如果G（S）H（S）含有v個積分環節，則應在原有的開環幅相曲線基礎上從ω=0+開始，逆時針方向補足v/4個半圓，以形成封閉曲線，再進行分析。例題3：下述各圖所示系統開環都是穩定的，試根據其開環幅相曲線分析各系統的穩定性。

2003.9.(5-31)自動控制原理6根據幅相曲線判定系統穩定性若已知ω∈（0，31av=1cv=2dv=3bv=1解：因為系統開環都是穩定的，即P=0

根據各系統的所含積分環節的個數，故將其開環幅相曲線分別補足1/4，1/4，1/2，3/4個半圓，如圖所示。

a，c，d圖開環幅相曲線均不包圍（-1，0j），故N=0，所以，Z=P-2N=0即它們對應的閉環系統是穩定的。

b圖開環幅相曲線包圍（-1，0j）一圈，故N=-1，所以，Z=P-2N=2≠0即對應的閉環系統是不穩定的。

例題4：教材P222例5-12，5-13

2003.9.(5-32)自動控制原理av=1cv=2dv=3bv=1解：因為系統開環都是穩定的，327對數頻率穩定判據

由于奈氏判據表明：若系統開環穩定（P=0），則ω在（0，+∞）變化時，開環幅相曲線不包圍（-1，0j）點，即曲線繞（-1，0j）點的轉角為零時，系統閉環穩定。

幅相曲線不包圍（-1，0j）點有兩種情況：

1）相曲線不穿越實軸上（-∞，-1）區間：2）幅相曲線穿越實軸上（-∞，-1）區間，但正穿越次數N+與負穿越N－次數相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內∠G（jω）對－π線的正、負穿越次數相等。

正穿越：φ（ω）↑的方向，即（-∞，-1）區間由上向下方向；負穿越：φ（ω）↓的方向，即（-∞，-1）區間由下向上方向。

比如：

-1P=0第一種情況-1P=0正負第二種情況N+=N－=1

R=N+－N－=0即相當于沒有穿越2003.9.(5-33)自動控制原理7對數頻率穩定判據由于奈氏判據表明：若系統開環33第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環穩定

第二種情況：穿越（-∞，-1）兩次，但正、負各一次，故閉環穩定

若開環不穩定（P≠0），則ω在（0，+∞）變化時，要滿足：Z=P－2R=0系統才能穩定；否則閉環不穩定。注意：G（jω）曲線的起點或終點如果在實軸（-∞，-1）上的穿越則為半次穿越。

對數頻率穩定判據：

P=0時：開環對數頻率特性中，在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內，∠G（jω）對－π線的正穿越與負穿越次數相等，則系統穩定；

P≠0時：在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內，∠G（jω）對－π線的正、負穿越次數之差等于P/2，則系統穩定；

對應于上述兩個幅相曲線的Bode圖如下：

-πφdB+—-πφdB2013.9.(5-34)自動控制原理第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環穩定第二種情況：穿34P=0時：在20lg∣G（jω）∣＞0內不穿越，系統穩定

；P=0時：在20lg∣G（jω）∣＞0內穿越（-∞，-1）兩次，但正、負各一次，故系統穩定

注意：在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內，G（jω）曲線的起點或終點在－π線上時的穿越為半次穿越。

例題1：已知系統開環傳遞函數為：G（S）H（S）=100/S（0.2S+1）（0.02S+1）,試用對數頻率穩定判據分析系統穩定性。

解：1）繪制Bode圖（ω1=5、ω2=50）

ωω－π2005102050100

L（ωφ（ω）02013.9.(5-35)自動控制原理P=0時：在20lg∣G（jω）∣＞0內不穿越，系統穩352）穩定性分析

因φ（ω）=-π/2–arctg5ω–arctg50ω且φˊ（ω）=-[1/（1+25ω2）+1/（1+2500ω2）]＜0故在ω∈（0，+∞）內，φ（ω）是單調減少的又φ（10）≈-164.7°

φ（20）≈-187.8°

所以,φ（ω）應該是在10＜ω＜20內某個值ω=ωg時穿越－π線一次,因此有N－=1由開環傳遞函數可知：P=0∴R=N+－N－=－1≠P/2故系統閉環不穩定

（同樣，可以用勞斯判據驗證之：系統閉環不穩定）

若系統開環傳遞函數G（S）H（S）中含有兩個或兩個以上積分環節，在計算正、負穿越次數時，應該補畫一條從相角：∠G（j0+）H（j0+）＋90°×v到∠G（j0+）H（j0+）的虛線。

例題2：教材P224例5-14，5-15

2013.9.(5-36)自動控制原理2）穩定性分析因φ（ω）=-π/2–arctg536注意：§5.5穩定裕度(StabilityMargin)1）開環穩定時，必有P=0；反之，若P=0，開環穩定，但閉環不一定穩定；2）P≠0時，開環不穩定，而閉環并非就完全不穩定，而是條件穩定。頻率穩定判據：用以定性分析系統的穩定性；穩定裕度：則用來定量分析系統的穩定程度。穩定裕度包括幅值裕度h和相角裕度γ。

G（jω）離（-1，0j）點越遠，系統越穩定，即穩定程度越高；G（jω）離（-1，0j）點越近，系統越趨向不穩定，即穩定程度越低；

1、幅值裕度h的定義：幅相曲線上相角為-180°時所對應的幅值之倒數。即（-1，0j）點的幅值與ω=ωg的幅值之比。即：

1h=———————————∣G（jωg）H（jωg）∣ωcγφ（ωc）-1ωg∣G（jωg）H（jωg）∣ω=0ωg——相角交界頻率

2003.9.(5-37)自動控制原理注意：§5.5穩定裕度(StabilityMarg37幅值裕度h的含義：對于穩定系統，φ（ωc）如果系統開環增益增大到原來的hωcγ倍，則系統將處于臨界穩定狀態。

注意：即使h相同，系統的穩定程度也可以不同。2、相角裕度γ的定義：180°加上開環幅相曲線幅值等于1時的相角。即：

γ=180°＋∠G（jωc）H（jωc）=180°＋φ（ωc）ωc——系統截止頻率（零分貝頻率）

相角裕度γ的含義：當系統對頻率ωc信號的相角遲后再增大γ時，則系統處于臨界穩定狀態。

γ的理解：指幅相曲線上幅值等于1的復向量與負實軸的夾角。

3、在Bode圖中求取h和γ

ωcγh-180°L（ω）φ（ω）00ωω因：h（dB）=20lgh

=-20lg∣G（jωg）H（jωg）∣上式表明，從Bode圖中讀取

20lg∣G（jωg）H（jωg）∣后

并將其反號，即得到h的分貝值

20lgh。

2003.9.(5-38)自動控制原理幅值裕度h的含義：對于穩定系統，φ（ωc）如果系統開環增益增38而γ=180°＋φ（ωc）

=φ（ωc）－（-180°）即：

20lg∣G（jωc）H（jωc）∣=0處的相角φ（ωc）與-180°的相角差。

結論：對于開環穩定系統，系統閉環穩定的條件為：γ＞0，h＞1；且γ和h越大，系統越穩定否則，γ＜0，h＜1，系統不穩定；工程設計中，一般取：1）γ=30°—70°（45°最佳）；2）h≥4—6dB以上；3）在ωc附近Bode圖的斜率控制在-20—-40dB/dec（以-20較理想）。例題1：教材P227例題5-16

例題2：某單位負反饋系統，開環傳遞函數為：G（S）=k/S（S+1）（S/5+1），試分別求K=2和K=20時，系統的相角裕度和幅值裕度。

解法一：

根據G（jω）=k/jω（jω+1）（jω/5+1），在ω∈（0，+∞）內求出相應的∣G（jω）∣和∠G（jω），并分別畫出當K=2和K=20時的兩條幅相曲線如下圖所示。

2003.9.(5-39)自動控制原理而γ=180°＋φ（ωc）=φ（ωc）－（-18039從圖中分別讀得：

當：K=2時，γ1≈24°＞0，

h1=1/∣-0.3∣≈3.33＞1,故此時系統穩定;

K=20時,γ2

≈

－24°＜0，

h2=1/∣-3.2∣≈

0.313＜1,此時系統不穩定;

γ2γ2K=20K=2-2j0解法二:由G(S)繪制系統的Bode圖如下:

2003.9.(5-40)自動控制原理從圖中分別讀得：當：K=2時，γ1≈24°＞040當K=2時,對應∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc）=-156°，故：γ1=180°+(-156°)=24°

對應∠G（jω）=-180°時,20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣

=-(-10)=10故h1=3.161520-180°-270°同理,當K=20時,對應∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc）=-204°，故γ2=180°+(-204°)=－24°,

對應∠G（jω）=-180°時,20lgh2=－20lg∣G（jωg）∣=-(10)=-10故h2=0.316可見,當K=2時,系統穩定；當K=20時,系統不穩定。

例題3：某系統開環頻率特性G（jω）H（jω）如下，且P=0。1)試判斷閉環系統的穩定性；2)若再串入一個積分環節1/S，試重新斷閉環系統的穩定性。

2003.9.(5-41)自動控制原理當K=2時,對應∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc41解：（1）已知P=0，且從圖中可知

N=-1，故Z=P-2N=2所以，閉環系統不穩定；

（2）串入一個1/S后，系統的開環頻率特性變為：

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1-1.3(ω=10)∣G2（jω）∣=∣G（jω）H（jω）∣/∣jω∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）分別為原來的幅頻和相頻特性。

當ω=0時，∣G2（jω）∣=∞；∠G2（jω）=-90°

當ω=5時，∣G2（j5）∣=1.4/5=0.28；∠G2（j5）=-180°

當ω=10時，∣G2（j10）∣=1.3/10=0.13；∠G2（j10）=-270°

當ω=250時，∣G2（j250）∣=0.7/250=0.0028；∠G2（j250）=0°當ω=∞時，∣G2（j∞）∣=0；∠G2（j∞）=-90°

由此,可繪制G2（jω）幅相特性曲線如下:

2003.9.(5-42)自動控制原理解：（1）已知P=0，且從圖中可知N=-1，故Z=P420-1已知:P=0，且從圖中可知

N=0，故Z=P-2N=0所以，閉環系統不穩定；

§5.6頻率特性分析(FrequencyCharacteristicAnalysis)

1誤差問題（P229）：

2系統時域性能指標與頻域指標的關系

系統時域性能指標：主要有Mp%及ts等；

頻域指標：主要有γ和ωc等；

（1）二階系統

①γ—Mp%之間的關系

γ=arctg[2ξ/√√1+4ξ4-2ξ2

]（一般°≤γ≤70°）

2003.9.(5-43)自動控制原理0-1已知:P=0，且從圖中可知N=0，§5.643－ξπ/(√1-ξ2)Mp=e×100%由此可見，ξ越小?γ越小?

Mp越大；

ξ越大?γ越大?

Mp越小；

γ—Mp%變化關系曲線見P231圖5-54②γ、ωc與ts之間的關系

因:ts=3/(ξωn)

則:ts=6/（ωc·tgγ）,其關系參見P231圖5-55。

§5.7傳遞函數的實驗確定方法(experimentaldeterminationmethod)1.最小相角系統(不含有延遲環節)傳遞函數的確定

1)原理

正弦信號G(S)變換器變換器記錄儀圖1頻率特性實驗原理2003.9.(5-44)自動控制原理－ξπ/(√1-442)例題

例題1:設某最小相角系統的對數幅頻特性曲線如下圖所示,試確定系統的傳遞函數。

(dB)0．2220200ω40200-20解：1）低頻段斜率為-20dB/dec，應有環節1/S；

2）在ω1=2和ω2=20處，斜率分別由-20變為0，由0變為-20，

說明系統含有環節S+2，1/（S+20）

故系統開環傳遞函數具有下如形式：K(S/2+1)G(S)=-----------------------

S（S/20+1）3）在ω=2處的分貝值為20dB，顯然：

此處的分貝值是由K與1/S共同決定的，即:20lg（K/ω）=20

2003.9.(5-45)自動控制原理2)例題例題1:設某最小相角系統的對數幅頻特性曲線如下45當ω=2時，有K=20

因此，有:20(S/2+1)G(S)=--------------------

S（S/20+1）例題2:設某最小相角系統的對數幅頻特性曲線如下圖所示,試確定系統的傳遞函數。[-60][-40][-20](dB)40200-12-20

ω1ω2ω

解：1）低頻段斜率為-20dB/dec，應有環節1/S；2）

2)有兩個交接頻率：ω1，ω2，且經過ω1，ω2處時斜率分別由-20變為-40，由-40變為-60，說明系統開環傳遞函數中含有環節:1/（S/ω1+1）和1/（S/ω2+1），3)系統開環傳遞函數形式為：

KG(S)=----------------------------------------

S（S/ω1+1）（S/ω2+1）2003.9.(5-46)自動控制原理5當ω=2時，有K=20因此，有:464）根據已知條件確定K，