2024屆一輪復習人教A版 第3章導數及其應用第2節導數的應用第3課時利用導數證明不等式-構造法證明不等式 課件（20張）_第1頁
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文檔簡介

第二節導數的應用第3課時利用導數證明不等式——構造法證明不等式第三章導數及其應用關鍵能力·研析考點強“四翼”考點1移項作差構造函數證明不等式——綜合性01考點2放縮構造法——綜合性考點3構造雙函數法——綜合性例1已知函數f(x)＝ex－ax(e為自然對數的底數，a為常數)的圖象在點(0，1)處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數f(x)的極值；解：f′(x)＝ex－a，因為f′(0)＝－1＝1－a，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，解得x＝ln2.當x<ln2時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x>ln2時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．所以當x＝ln2時，函數f(x)取得極小值，為f(ln2)＝2－2ln2，無極大值．考點1移項作差構造函數證明不等式——綜合性(2)求證：當x>0時，x2<ex.證明：令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x.由(1)可得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，所以g(x)在R上單調遞增，因此，當x>0時，g(x)>g(0)＝1>0，所以x2<ex.待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般可以直接構造“左減右”或“右減左”的函數，借助所構造函數的單調性和最值證明不等式成立．

例2已知函數f(x)＝sin2xsin2x.(1)討論f(x)在區間(0，π)上的單調性；解：由函數的解析式可得f(x)＝2sin3xcosx，則f′(x)＝2(3sin2xcos2x－sin4x)＝2sin2x(3cos2x－sin2x)＝2sin2x(4cos2x－1)＝2sin2x(2cosx＋1)(2cosx－1)，考點2放縮構造法——綜合性

例3已知函數f(x)＝x2＋2x－2xex.(1)求函數f(x)的極值；解：因為函數f(x)＝x2＋2x－2xex(x∈R)，所以f′(x)＝2x＋2－2ex－2xex＝(2x＋2)(1－ex)．由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0，列表如下：考點3構造雙函數法——綜合性

x(－∞，－1)－1(－1，0)0(0，＋∞)

f′(x)－0＋0－

f(x)

極小值

極大值

1．若直接求導比較復雜

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