2022-2023學(xué)年湖南省懷化市中方中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線l1：x+2ay﹣1=0，與l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，則a的值是（）A．0或1 B．1或 C．0或 D．參考答案：C【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系．【分析】先檢驗當a=0時，是否滿足兩直線平行，當a≠0時，兩直線的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：當a=0時，兩直線的斜率都不存在，它們的方程分別是x=1，x=﹣1，顯然兩直線是平行的．當a≠0時，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等，由≠，解得：a=．綜上，a=0或，故選：C．2.已知f（x）=log（x2﹣2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1）參考答案：C【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函數(shù)的定義域，且f（x）=g（t）=logt，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題即求函數(shù)t=x2﹣2x在定義域內(nèi)的減區(qū)間，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t=x2﹣2x在定義域內(nèi)的減區(qū)間．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=logt．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題即求函數(shù)t=x2﹣2x在定義域內(nèi)的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t=x2﹣2x在定義域內(nèi)的減區(qū)間為（﹣∞，0），故選：C．3.函數(shù)的定義域是（

）.A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出不等式組，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，求其定義域，只需，解得.故選D【點睛】本題主要考查求函數(shù)定義域，只需使解析式有意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知集合A={x|x2＜2﹣x}，B={x|﹣1＜x＜2}，則A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）參考答案：B【考點】并集及其運算．【分析】求出不等式x2＜2﹣x的解集，從而求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2＜2﹣x}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|﹣1＜x＜2}，則A∪B=（﹣2，2），故選：B．5.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（

）

A.

B．

C．

D．參考答案：C略6.函數(shù)y=ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過點（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）參考答案：C【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令x﹣2=0，即x=2時，y=a0﹣1=0，故可得函數(shù)y=ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過點．【解答】解：令x﹣2=0，即x=2時，y=a0﹣1=0，∴函數(shù)y=ax﹣2﹣1（a＞0，且a≠1）的圖象必經(jīng)過點（2，0），故選為：C【點評】本題考查函數(shù)過特殊點，解題的關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7.已知數(shù)列的前項的乘積為，其中為常數(shù)，，若，則（）．A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A，∴．選．8.設(shè)對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.或

D.參考答案：A9.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.參考答案：D分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．10.（5分）函數(shù)f（x）=log2x﹣+a的一個零點在（1，4）內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為（） A． （﹣，2） B． （4，6） C． （2，4） D． （﹣3，﹣）參考答案：A考點： 函數(shù)零點的判定定理．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意可知函數(shù)f（x）=log2x﹣+a在上單調(diào)遞增且連續(xù)，從而求解．解答： 易知函數(shù)f（x）=log2x﹣+a在上連續(xù)，且函數(shù)f（x）=log2x﹣+a在上單調(diào)遞增，故f（1）?f（4）＜0，即（0﹣2+a）（2﹣+a）＜0；故實數(shù)a的取值范圍為（﹣，2）；故選A．點評： 本題考查了函數(shù)的零點判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，則?=．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】法一：選定基向量，將兩向量，用基向量表示出來，再進行數(shù)量積運算，求出的值．法二：由余弦定理得可得分別求得，又夾角大小為∠ADB，，所以=．【解答】解：法一：選定基向量，，由圖及題意得，=∴=（）（）=+==法二：由題意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+1+2=7，∴BC=，∴cosB===AD==，∵，∴=．故答案為：﹣．12.如圖是一正方體的表面展開圖.B、N、Q都是所在棱的中點.則在原正方體中：①MN與CD異面；②MN∥平面PQC；③平面MPQ⊥平面CQN；④EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號是______.參考答案：①②④【分析】將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關(guān)系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進行判斷.【詳解】根據(jù)條件將正方體進行還原如下圖所示：對于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；對于命題②，、分別為所在棱的中點，易證四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，命題②正確；對于命題③，在正方體中，平面，由于四邊形為平行四邊形，，平面.、平面，，.則二面角所成的角為，顯然不是直角，則平面與平面不垂直，命題③錯誤；對于命題④，設(shè)正方體的棱長為2，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；對于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角為，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命題⑤錯誤.故答案為：①②④.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關(guān)系的判斷以及線面角、二面角的計算，判斷時要從空間中有關(guān)線線、線面、面面關(guān)系的平行或垂直的判定或性質(zhì)定理出發(fā)進行推導(dǎo)，在計算空間角時，則應(yīng)利用空間角的定義來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.13.函數(shù)的定義域為

.參考答案：14.在等比數(shù)列中，，則

☆

．參考答案：15.在△ABC中，，，，則

____

，△ABC的面積為

．參考答案：；，所以解得，又，則，所以，所以。

16.已知等差數(shù)列的前n項和為，若．則下列四個命題中真命題是

▲

．(填寫序號)⑴

⑵

⑶

⑷參考答案：（1）（2）（4）17.定義運算，例如，，則函數(shù)的最大值為

.參考答案：【詳解】由；所以，此函數(shù)圖象如圖所示，所以最大值是；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)的最大值為2.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）△ABC中，，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，求△ABC的面積．參考答案：（1）（2）試題分析：(1)根據(jù)輔助角公式，函數(shù)的最大值為令其為2，即可求得m，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得此函數(shù)的遞減區(qū)間，找到［0,π］上的單調(diào)遞減區(qū)間即可；（2）本小題關(guān)鍵是求得邊a與b的乘積，利用正弦定理，把化為邊a與b的關(guān)系，另一方面已知C=60°，c=3，由余弦定理，可得邊a與b的另一關(guān)系，兩式聯(lián)立解得ab（當然也可解得a與b的單個值，但計算量大），利用可求得面積.試題解析：(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9="0."②將①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故考點：輔助角公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦定理,余弦定理,方程思想，三角形面積公式：.19.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，M為平面上任一點，A，B，C三點滿足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知A(1,sinx)、B(1+sinx,sinx)，M(1+sinx,sinx)，x∈(0,π)，且函數(shù)的最小值為，求實數(shù)m的值．參考答案：解：（Ⅰ）證明：由=+，得﹣=2（﹣），∴=2，且、有公共點C，∴A，B，C三點共線，如圖所示；∴===3；（Ⅱ）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）∴函數(shù)f（x）=?+（2m﹣）?||=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）?sinx=sin2x+2msinx+1；設(shè)sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；討論﹣m＜0即m＞0時，此時y沒有最小值；當0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0時，當t=﹣m有ymin=1﹣m2=，解得m=﹣；當﹣m＞1即m＜﹣1時，此時y沒有最小值；綜上，得m=﹣．

20.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)，，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對稱。(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上最大值；(2)設(shè)，不等式在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)設(shè)有唯一零點，求實數(shù)a的值。參考答案：解析：(1)因為關(guān)于直線對稱，所以故………2分所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當時，。所以在區(qū)間上的最大值為10

………5分(2)可化為，化為，令，則,

………7分因故，記，因為，故，所以的取值范圍是………10分(3)由題意得：，所以故，即為的對稱軸，

………12分因為有唯一的零點，所以的零點只能為，即，解得。

………14分當時，，令，則，從而，即函數(shù)是上的增函數(shù)，而，所以，函數(shù)只有唯一的零點，滿足條件。故實數(shù)的值為.………16分

21.某班同學(xué)利用寒假在5個居民小區(qū)內(nèi)選擇兩個小區(qū)逐戶進行一次“低碳生活習(xí)慣”的調(diào)查，以計算每戶的碳月排放量．若月排放量符合低碳標準的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”．若小區(qū)內(nèi)有至少75%的住戶屬于“低碳族”，則稱這個小區(qū)為“低碳小區(qū)”，否則稱為“非低碳小區(qū)”．已知備選的5個居民小區(qū)中有三個非低碳小區(qū)，兩個低碳小區(qū)．（Ⅰ）求所選的兩個小區(qū)恰有一個為“非低碳小區(qū)”的概率；（Ⅱ）假定選擇的“非低碳小區(qū)”為小區(qū)A，調(diào)查顯示其“低碳族”的比例為，數(shù)據(jù)如圖1所示，經(jīng)過同學(xué)們的大力宣傳，三個月后，又進行了一次調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖2所示，問這時小區(qū)A是否達到“低碳小區(qū)”的標準？參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)三個“非低碳小區(qū)”為A，B，C，兩個“低碳小區(qū)”為m，n，用（x，y）表示選定的兩個小區(qū)，x，y∈{A，B，C，m，n}，則從5個小區(qū)中任選兩個小區(qū)，所有可能的結(jié)果有10個，它們是（A，B），（A，C），（A，m），（A，n），（B，C），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n），（m，n）用D表示：“選出的兩個小區(qū)恰有一個為非低碳小區(qū)”這一事件，則D中的結(jié)果有6個，它們是：（A，m），（A，n），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n）．故所求概率為．（II）由圖1可知月碳排放量不超過300千克的成為“低碳族”．由圖2可知，三個月后的低碳族的比例為0.07+0.23+0.46=0.76＞0.75，所以三個月后小區(qū)A達到了“低碳小區(qū)”標準．略22.已知數(shù)列{an}滿足,．（Ⅰ）求證：數(shù)列