第二篇經典專題突破?核心素養(yǎng)提升專題四統計與概率第2講概率、隨機變量及其分布(理)自主先熱身真題定乾坤核心拔頭籌考點巧突破1．考查古典概型、幾何概型、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗等內容，主要以選擇題、填空題的形式出現，中低等難度．2．離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行考查，中高等難度．考情分析自主先熱身真題定乾坤真題熱身C

C

【解析】

從6張卡片中無放回抽取2張，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)15種情況，其中數字之積為4的倍數的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)6種情況，3．(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為______．4．(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為______．5．(2022·全國新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝________．【解析】

因為X～N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14．故答案為0.14．0.14

6．(2022·全國甲卷)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．即X的分布列為期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．X0102030P0.160.440.340.06感悟高考1．概率、隨機變量及其分布列是高考命題的熱點之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇或填空題和一道解答題．2．選擇或填空題常出現在第4～10題或第13～15題的位置，主要考查隨機事件的概率、古典概型、幾何概型，難度一般．3．近幾年概率的解答題的難度有所增加，位置有時在20或21題．核心拔頭籌考點巧突破考點一古典概型核心提練

(1)(2022·寧夏六盤山高級中學模擬)2020年春節(jié)突如其來的新型冠狀病毒性肺炎在某省爆發(fā)，一方有難八方支援，全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線，某醫(yī)院抽調甲、乙、丙三名醫(yī)生，抽調A，B，C三名護士支援某市第一醫(yī)院與第二醫(yī)院，參加該市疫情狙擊戰(zhàn)．其中選一名護士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，其他都在第二醫(yī)院工作，則醫(yī)生甲和護士A被選去第一醫(yī)院工作的概率為 (

)典例1D

(2)(2022·重慶高三三模)孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題中的第8個：存在無窮多個素數p，使得p＋2是素數，素數對(p，p＋2)稱為孿生素數，2013年華人數學家張益唐發(fā)表的論文《素數間的有界距離》第一次證明了存在無窮多組間距小于定值的素數對，那么在不超過16的素數中任意取出不同的兩個．可組成孿生素數的概率為(

)A

【素養(yǎng)提升】古典概型求解的關鍵點(1)正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常常用到排列、組合的有關知識．(2)對于較復雜的題目計數時要正確分類，分類時應不重不漏．對點演練C

(2)河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”．把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居東；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．現從這十個數中隨機抽取四個數，則能成為兩組的概率是

(

)C

考點二隨機變量的分布列核心提練考向一超幾何分布

(2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬)4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動．學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組(每名學生只能參加一個讀書小組)學生中抽取12名學生參加問卷調查．各組人數統計如下：典例2小組甲乙丙丁人數12969(1)從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2個，用X表示抽得甲組學生的人數，求隨機變量X的分布列和均值．對點演練2．PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物．根據現行國家標準GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．從某自然保護區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測數據中隨機地抽取10天的數據作為樣本，監(jiān)測值頻數如下表所示：(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數據中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；(2)從這10天的數據中任取3天數據，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數據超標的天數，求ξ的分布列．PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]頻數311113考向二二項分布

(2022·四川遂寧市高三三模)某校數學教研組，為更好地提高該校高三學生《圓錐曲線》的選填題的得分率，對學生《圓錐曲線》的選填題的訓練運用最新的教育技術做了更好的創(chuàng)新，其學校教務處為了檢測其質量指標，從中抽取了典例3100名學生的訓練成績(總分50分)，經統計質量指標得到如圖所示的頻率分布直方圖．【解析】

(1)根據頻率分布直方圖可得各組的頻率為：[0,10]的頻率為：0.010×10＝0.1；(10,20]的頻率為：0.020×10＝0.2；(20,30]的頻率為：0.030×10＝0.3；(30,40]的頻率為：0.025×10＝0.25；(40,50]的頻率為：0.015×10＝0.15，【素養(yǎng)提升】隨機變量分布列問題的兩個關鍵點(1)求離散型隨機變量分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類概率公式求概率．(2)求隨機變量均值與方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解．對點演練3．(2022·陜西安康中學模擬)“互聯網＋”是“智慧城市”的重要內容，A市在智慧城市的建設中，為方便市民使用互聯網，在主城區(qū)覆蓋了免費WiFi，為了解免費WiFi在A市的使用情況，調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析，得到如下列聯表(單位：人)：(1)根據以上數據，判斷是否有90%的把握認為A市使用免費WiFi的情況與年齡有關；

經常使用免費WiFi偶