§4二重積分的變量變換教學目的：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握二重積分的極坐標變換，理解二重積分的一般的變量變換公式的證明.教學重點：二重積分的極坐標變換.教學難點：二重積分的一般的變量變換公式.教學過程一、二重積分的變量變換公式弓I理設變換T:%=x（u，v），丁=yS^將"平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區域△，一對一地映成xy平面上的閉區域D，函數x=x"，v），y=ySv）在A內分別具有一階連續偏導數且它們的函數行列式yy則區域的面積證明現給出y=y"，"）在A內分別具有二階連續偏導數時的證明y=y（u，°在A內分別具有一階連續偏導數的證明以后給出.由于變換T是一對一的，且JC，vZ0，因而T把A的內點變為D的內點，所以A的按段光滑邊界曲線La變換到D時，其邊界曲線Ld也是按段光滑曲線，設曲線La的參數方程為由于La按段光滑，所以"勺，"）在kS上至多除去有限個第一類間斷點外，在其他點上都是連續的.因為Ld=TS），所以Ld的參數方程為：x=Ax=A)=M)vG))y=(t)=y頃)vG))G<t邳)x=x()=M)v())y=()=y(u(t)v())G<t<g)若規定t從a變g到時，對應于Ld的正向，則根據格林公式，取P(x,y)=0,Q(x,y)=xr、jxdy=r、jxdy=fx（t）y^（t）dt v（t^dLuf（t）^dyLvf（t）L口D） Ldu dv 」—Lda —a另一方面，在UV平面上jx（u,v>l空du+^ydvdu dv"們+料同）"—a(6)(7)其中正號及負號分別由t從a變6到時，是對應于LD的正向或是負方向所決定.由（6）及（7）得到4d）二土jx(u,v4d）二土jx(u,v>dydu+dudydvdvLa=±dvP(u,v)=x(u,令Q（P(u,v)=x(u,令在平面uv上對上式應用格林公式，得到uD）uD）二土JJ——-——\dudv[dudv)ad2y_d2y由于函數y=ySv）具有二階連續偏聽偏信導數，即有瓦初 柘，因此dQ dPdu d^=J^11，v）.于是又因為uD）總是非負的，而J偵°在a上不為零且連續，故其函數值A在上不變uDuD）二土jjj。,v)dudvjjJ（u,v）dudv號，所以U（D）=a .定理21.13設f（x，y）在有界閉區域D上可積，變換T:x=x（u，v），y=y（u，^將uv平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區域A一對一地映成xy平面上的閉區域D，函數x=x（u，v），y=y（u，^在A內分別具有一階連續偏導數且它們的函數行列式

證明用曲線網△把分成〃個小區域氣，在變換T作用下區域。也相應地分成個〃小區域2.，記氣及Dj的面積為M）及血）《=1，???，〃）由引理及二重積分的中值定理，有D?.作二重積分上式右邊的和式是上的可積函數的積分和.又由變換丁的分的中值定理，有D?.作二重積分上式右邊的和式是上的可積函數的積分和.又由變換丁的連續性可知，當區域△的分割的細度I叮7°時，區域Q相應的分割的細度叮I也趨于零.因此得到ffNJJex+ydxdy例1求。，其中。是由％=O,y=O,x+y=l所圍區域.x=—（u-{-v）,y=—（v-u） 7（）1>0解作變換〃= ）即2 2 ，貝|j/v/,v7=2 ,ILeve-e-i~1~17wILeve-e-i~1~iiex+ydxdyffD =A

例2求拋物線*=弘，=nx和直線尸穌，》=阪所圍成區域。的面積|ii(D)(3<m<n,0<oc<(3)解。的面積口3)一3)Wdxdy解。的面積口3)一"二￡>=C—m2uV4UUjv——9uV4UUjv——9y=—作變換V2V,J]ILdudvV4A3—OC3)6OC3p3fx=rcos0T?[y=rsin00<r<+oo,0<0<2k定理21.14設滿足定理21.13的條件，且在極坐標變換(8)下,xy平面上有界區域D與re平面上區域A對應，則成立jjfG,y)dxdyjjf(rcos0,rsinB)rdrdD, =A證明若d為圓域Ry^2+邪-R2則a為陽平面上的矩形區域hR]xh2兀].設氣為在圓環七小<￡2<x2+y2<R2'除去中心角為￡的扇形BBAA所得的區域，則在變換(8)下，D對應于平面上的矩形區域A=kAh2兀-』但極坐標變換(8)在氣與A之間是一對一變換，且A在上函數行列式J(r，e^>0.于是由定理21.13有jjf(x,y)dxdyjjf(rcose,rsine')rdrdeD￡ 二A￡ ，因為f(x，y)在有界閉區域D上有界，在上式中令￡T0即得jjf(x,y)dxdyjjf(rcose,rsine')rdrcBD —A -若D是一般的有界區域，則取足夠大的R>0,使D包含在圓域七y)x2+y2<R2內，并且在Dr上定義函數Jf(x,y)(x,y)gD

f(x,y)=[0, G,y)wD(i)若原點O史D,xy平面上射線e二常數與D的邊界至多交于兩點.A表示為r1(e)<r<r2&)a<e<B，于是有jjf(x,y)dxdyjd。寸f(rcose,rsin。>drd =ar(e) .若原點O史D,Xy平面上的圓r二常數與D的邊界至多交于兩點.A豐=41°G)<e<eG)r<r<r二曰看A表示為1 2 1 2，于是有jjf(x,yddyjrdr°ff(rcos。,rsine》eD =r1 e1(r)

(ii)若原點O(ii)若原點O為D的內點，D的邊界方程表示為r=r&),則A表示為爵,r(0),0<0<2兀，于是有cos0,rsin0>drjjfG,y)dxdy2fd0'ffcos0,rsin0>dr(iii)若原點O在D的邊界上，則A為0<r<rG)a<0<p于是有cos0,rsin0>drjjf(x,y)dxdyjcos0,rsin0>drTOC\o"1-5"\h\zD =a 0jj—, —do例3計算I=DV1-x2-y2 ，其中為圓域x2+y2<1.jj,1 =do ^jdQ^ rdrfLj1_r2^d07d0解D?—x2-y2 =0 。罰―r2 =0 0 =0 =2例4球工2+y2+Z2=R2被圓柱面x2+y2=Rx所割下部分的體積.jj、jR2-工2-y2d。解V=4。’=40d0R十眼2-r2rdr4r3j(-sins01?

=34「2)-R3———=3123J0jje-\2+y2d例5計算I=D ，其中。為圓域：x2+y2-R2手dojre-r2dr ()解I=0 0 頊1-e-R2，作廣義極坐標變換x=arcosOy=brsinO0-r<+8,0-0-2兀J(r,0)=abr，x2y2