專題11截長補短模型模型的概述：該模型適用于求證線段的和差倍分關系，該類題目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明。其中截長指在長線段中截取一段等于已知線段，補短指將短線段延長，使短線段加上延長線段長度等于長線段。圖解：已知線段AB、CD、EF，簡述利用截長補短法證明AB=CD+EF的方法截長法：在線段AB上，截取AG=CD，判斷線段GB和線段EF長度是否相等補短法：延長線段CD至點H，使DH=EF，判斷線段AB和線段GH長度是否相等【過關練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級黃石八中校考期中）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．92．如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．153．如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別在CA、BA的延長線上，連接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，則CE的長為__．4．如圖，中，平分，，，則的度數為_______．5．（2022秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，D為上一點，，則的度數是_________．6．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長BD至點E，使得DE=DA，則∠ECA=________．7．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，平分交于點D，若，求的度數．8．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定9．已知：如圖所示，四邊形中，是上一點，且平分平分，若，求四邊形的面積．10．（2021秋·福建福州·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．411．（2020秋·江蘇無錫·八年級統考期中）如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數式表示）12．（2021秋·廣東佛山·八年級佛山市南海區石門實驗學校校考階段練習）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D是線段BC上一點，∠ADC=90°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，下面的結論：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正確的有______．13．（2022秋·浙江·八年級專題練習）（1）如圖（1），在四邊形中，,，E，F分別是上的動點，且，求證：．（2）如圖（2），在（1）的條件下，當點E，F分別運動到的延長線上時，之間的數量關系是______．14．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數量關系，并給出證明．15．（2023·全國·九年級專題練習）通過類比聯想、引申拓展典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．【解決問題】如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，，連接EF，則，試說明理由．證明：延長CD到G，使，在與中，∴理由：（SAS）進而證出：___________，理由：（__________）進而得．【變式探究】如圖，四邊形ABCD中，，點E、F分別在邊BC、CD上，．若、都不是直角，則當與滿足等量關系________________時，仍有．請證明你的猜想．【拓展延伸】如圖，若，，，但，，連接EF，請直接寫出EF、BE、DF之間的數量關系．16．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，P為△ABC外一點，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當點M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM，NC，MN之間的數量關系．(1)如圖①，當點M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當點M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請在空格內填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，請直接寫出BM，NC，MN之間的數量關系．

17．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．18．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）（1）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結論，他的結論應是______________；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩地分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．19．如圖，是等邊三角形，，，，則________．20．（2023·全國·九年級專題練習）例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系．解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．根據上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是___________；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN于點D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數量關系．經過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點B作BE⊥BD，交MN于點E，進而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數量關系，并證明（3）拓展延伸在直線MN繞點A旋轉的過程中，當△ABD面積取得最大值時，若CD長為1，請直接寫BD的長．22．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）在中，，點D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數；（2）求證：．23．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，點D是△ABC內一點，DB＝DC，∠DCB＝30°，點E是BD延長線上一點，AE＝AB．（1）求∠ADB的度數；（2）線段DE，AD，DC之間有什么數量關系？請說明理由．24．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．25．（2022秋·全國·八年級專題練習）在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大小；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．26．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖中，分別平分相交于點．（1）求的度數；（2）求證：27．（2022秋·全國·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數量關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數量關系．28．等邊中，點、分別在邊、上，且，連接、交于點．（1）如圖1，求的度數；圖1圖2（2）連接，若，求的值；（3）如圖2，若點為邊的中點，連接，且，則的大小是___________．29．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，是等邊三角形，點分別是射線、射線上的動點，點D從點A出發沿著射線移動，點E從點B出發沿著射線移動，點同時出發并且移動速度相同，連接．(1)如圖①，當點D移動到線段的中點時，與的長度關系是：_______．(2)如圖②，當點D在線段上移動但不是中點時，探究與之間的數量關系，并證明你的結論．(3)如圖③，當點D移動到線段的延長線上，并且時，求的度數．30．（2022春·山東德州·八年級校考階段練習）數學課上，李老師提出問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證：AE＝EF．經過思考，小聰展示了一種正確的解題思路．取AB的中點H，連接HE，則△BHE為等腰直角三角形，這時只需證△AHE與△ECF全等即可．在此基礎上，同學們進行了進一步的探究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上