水質(zhì)檢測與等級評判摘要本文主要探討地表水的污染問題。在對地表水信息進行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，對某村的四口水井的水質(zhì)情況作出綜合評價。模型中用到了線性加權(quán)綜合法和逼近理想點（TOPSIS）的排序方法，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)對四口水井的水質(zhì)進行排序。由于水質(zhì)評價中包含一些不明確的方面，因此模糊數(shù)學(xué)在水質(zhì)綜合評價中得到廣泛應(yīng)用，另外借助于穩(wěn)態(tài)條件的一維水質(zhì)模型和質(zhì)量守恒定律得到了主要污染指標(biāo)的分布區(qū)域`。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)綜合評價法根據(jù)商丘市某村四口水井水質(zhì)評價的特點，選取溶解氧、化學(xué)需氧量、總磷和氨氮作為評價因子，建立模糊關(guān)系矩陣，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)最大隸屬度原則評定水質(zhì)的等級。首先運用線性加權(quán)綜合法，通過用均方差法計算權(quán)重系數(shù)，再運用線性加權(quán)綜合模型計算調(diào)查項目的加權(quán)綜合評價值，最后進行排序。用均方差法所求得的權(quán)值在逼近理想點法中同樣有效。因此，在A模型權(quán)重確定后，我們運用逼近理想點法引入一個虛擬的正理想解和一個負(fù)理想解，他們分別是所有評價對象中該指標(biāo)的最好的、最差的，這樣，就可以求出各評價對象與正理想解和負(fù)理想解的距離。然后計算各個評價對象對理想解的相對接近度，進而評價各評價對象的優(yōu)劣序。在操作過程中，我們采用A型的權(quán)重系數(shù)，因此可以利用原始數(shù)據(jù)信息排序，信息損失小，比較精確。由于在本題對水質(zhì)的研究中存在一些不確定的因素，因此對于問題二運用模糊綜合評判方法。在模糊評判法中構(gòu)造變權(quán)函數(shù)算得權(quán)重矩陣，對水質(zhì)等級進行判斷。關(guān)鍵詞：水質(zhì)、綜合評價、模糊數(shù)學(xué)、評價因子、隸屬函數(shù)問題重述某村內(nèi)有各相距500米以上的四口水井，分別位于村東、村西、村南和村北，由于農(nóng)業(yè)和生活排放廢物使地下淺表水遇到污染，水質(zhì)監(jiān)測資料如附件1所示.請完成以下問題：（1）請用2種以上的數(shù)學(xué)方法對該村的四個井水的水質(zhì)進行排序，并比較是否由于方法的不同導(dǎo)致存在著異，以及差異產(chǎn)生的原因。（2）請對該村的四個井的地表水分別進行水質(zhì)等級判斷。（水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)參考附件2，或自己查有關(guān)資料）問題分析2.1問題背景分析自工業(yè)革命以來，各國工業(yè)的迅速發(fā)展給各國的經(jīng)濟帶來了很大的收益，人民的生活水平日益提高。然而，經(jīng)濟水平提高的同時也給環(huán)境帶來了重大的壓力。工業(yè)廢水、生活廢水的肆意排放使地下淺表水遭到污染。因此需要建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠磉M行相關(guān)的定量分析，進而檢測水的相關(guān)指標(biāo)，將被檢測的淺表水分為相應(yīng)的類別。2.2對問題一的分析方法一：線性加權(quán)綜合法本題中，首先運用最小均方差法計算權(quán)重系數(shù)，然后應(yīng)用線性加權(quán)綜合模型算出東西南北四口井的加權(quán)總和評價值，最后得到四個數(shù)據(jù)進行比較排序。方法二：逼近理想點（）的排序方法題中所給數(shù)據(jù)指標(biāo)較多，而逼近理想點的方法是選擇一個理想點將數(shù)據(jù)進行比較排序，相比層次分析法需要比較的次數(shù)較少，簡單易行。2.3對問題二的分析首先根據(jù)問題一將四個井的地表水進行排序，根據(jù)水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)以及水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)運用模糊綜合評判法對水質(zhì)進行分級。模糊綜合評判是模糊決策中常用的一種有效方法。實際中常需要對一個事物做出評價，一般都設(shè)計到多個因素或多個指標(biāo)，要求根據(jù)這些因素對事物做出綜合評價。模糊綜合評判的一般步驟：（1）確定因素集；（2）確定判定集；（3）確定模糊評判矩陣；（4）綜合評判模型的假設(shè)與約定（1）問題中所給的數(shù)據(jù)能夠反映實際情況。（2）本階段內(nèi)，此范圍的地表水污染情況不會有大的變化。（3）本階段內(nèi)，不會有大量降雨。（4）由于含“﹤DL”和含“﹤10”（5）由于PH值都在6—9范圍之內(nèi)，都屬于正常，沒有具體分類不影響排序，故不考慮。符號說明及名詞解釋表示第項指標(biāo)的平均值；表示第項指標(biāo)的均方差；表示最小均方差；表示第個評價對象個指標(biāo)的觀察值；表示第項指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)；表示第個評價對象的加權(quán)綜合評價值；表示規(guī)范評價矩陣；分別表示評價對象到正理想解和負(fù)理想解的距離；評價對象對理解相對接近度；模型的建立5.1方法一：線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合模型 線性加權(quán)綜合模型是使用的最普遍的一種綜合評價模型，借助模糊矩陣、模糊變換的原理，引進普通加、乘法綜合而成。其實質(zhì)是在指標(biāo)權(quán)重確定后，對每個評價求各個指標(biāo)的加權(quán)和，即令則就是第個評價對象的加權(quán)綜合評價值。線性加權(quán)模型的主要特點：（1）各指標(biāo)可以相互補償（等量補償），即此升彼降，總的評價值不變；（2）權(quán)重系數(shù)對評價結(jié)果的影響明顯，權(quán)重大的指標(biāo)對綜合指標(biāo)最用較大；（3）計算簡單，可操作性強；（4）線性加權(quán)綜合評價模型適應(yīng)于各種評價之間相互獨立的情況，若各評價指標(biāo)不完全獨立，其結(jié)果將導(dǎo)致各指標(biāo)間信息的重復(fù)起作用，使評價結(jié)果不能客觀的反映實際。運用線性加權(quán)綜合法的步驟：步驟一：求出第項指標(biāo)的平均值和均方差（結(jié)果如表1、表2所示）步驟二：求出最小均方差注：如果最小均方差，則可刪除與對應(yīng)指標(biāo)。考察完所有指標(biāo)即可得到最終的評價指標(biāo)體系。表1各指標(biāo)的均方差樣品類別樣品編號溶解氧高錳酸鹽指數(shù)總磷氟化物糞大腸菌群SO42-Cl-東井DB0110155.123.80.781.48900183169西井DB0210156.916.20.981.721805138160南井DB0310156.41.90.150.53600232162北井DB0410157.21.70.032和25.643.61.945.914273762803平均值6.410.90.4851.47751068.25190.5200.75均方差0.89.50.40.6447.334.964.3樣品類別樣品編號總硬度鐵錳硝酸鹽氮亞硝酸鹽氮鋅砷東井DB0110153500.080.171.350.0260.150.0026西井DB0210153270.110.192.630.0120.150.0178南井DB0310155240.070.218.40.3210.270.0025北井DB04101510201.080.650.320.0040.190.0211總和22211.341.2122.70.3630.760.044平均值555.250.3350.30255.6750.090750.190.011均方差278.90.40.27.40.10.00.0表2（接表1）各指標(biāo)的均方差注：經(jīng)過最小均方差法篩選處理后，灰色區(qū)域可不考慮為了使表中結(jié)果能更加直觀的顯示，做出各個井的指標(biāo)折線圖，如圖1所示：圖1各指標(biāo)均方差折線圖 最小均差法只考慮了指標(biāo)的差異程度，容易將重要的指標(biāo)刪除，但是其采用的數(shù)據(jù)是原始數(shù)據(jù)，仍保持有客觀的特點。根據(jù)表1及表2的數(shù)據(jù)顯示，初步可剔除亞硝酸鹽氮、鋅、砷3個指標(biāo)，然后對余下指標(biāo)統(tǒng)一化處理，即把溶解氧這個指標(biāo)取倒數(shù)從而得到統(tǒng)一的極小型指標(biāo)，接著用均方差法求權(quán)重系數(shù)，且此權(quán)重系數(shù)對于現(xiàn)行加權(quán)綜合法以及逼近理想點法都適用。所用公式為:求方差：設(shè)個評價對象個指標(biāo)的觀測值分別為：第項指標(biāo)的樣本均值與樣本均方差依次為：求權(quán)重系數(shù)：第項指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)為：通過計算求出各項指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)如表3、表4所示：樣品編號溶解氧高錳酸鹽指數(shù)總磷氟化物糞大腸菌群SO42-Cl-東井DB0110150.2023.80.781.48900183169西井DB0210150.1416.20.981.721805138160南井DB0310150.161.90.150.53600232162北井DB0410150.141.70.032和0.6443.61.945.914273762803平均值0.1610.90.4851.47751068.25190.5200.75均方差0.09.50.40.6447.334.964.3權(quán)重W0.000.010.000.000.530.040.08表3各項指標(biāo)權(quán)重系數(shù)樣品編號總硬度鐵錳硝酸鹽氮東井DB0110153500.080.171.35西井DB0210153270.110.192.63南井DB0310155240.070.218.4北井DB04101510201.080.650.32總和22211.341.2122.7平均值555.250.3350.30255.675均方差278.90.40.27.4權(quán)重W0.330.000.000.01表4（接表3）各項指標(biāo)權(quán)重系數(shù)步驟三：運用線性加權(quán)綜合模型計算評價對象的加權(quán)綜合評價值并排序所用公式：就是第個評價對象的加權(quán)綜合評價值。經(jīng)過計算所得各對象的加權(quán)綜合評價值如表5所示：表5：四口井加權(quán)綜合評價值東井Y1613.59西井Y21083.07南井Y3513.36北井Y4882.98由圖5可知：Y3<Y1<Y4<Y2,從而得到四口井的水質(zhì)從優(yōu)到劣的排序為：南井>東井>北井>西井。結(jié)果分析：在運用線性加權(quán)綜合法時，借助最小均差法計算各指標(biāo)均差及權(quán)重，用最小均差法算得的權(quán)重對于本題所選的兩種方法均適用。線性加權(quán)綜合模型利用應(yīng)用線性模型來進行綜合評價。通過結(jié)果分析以及圖表顯示可看出糞大腸菌群以及總硬度對水質(zhì)的影響較大，而鐵、錳、氟化物等物質(zhì)對水質(zhì)基本沒有影響。方法二：逼近理想點（TOPSIS）法 基本思想：設(shè)定系統(tǒng)指標(biāo)的一個理想點（）,對每一個被評價對象與理想點盡享比較。如果某一個被評價對象指標(biāo)（）在某意義下與理想點（）最接近，則（）就是最好的。定義二者之間的加權(quán)距離為：其中wj為權(quán)系數(shù)，為與之間的某種意義下的距離。可取則綜合評價函數(shù)為按照值的大小對各被評價方案進行排序選優(yōu)，其值越小方案就越好。特別地，當(dāng)某個時，則對應(yīng)的方案就是最優(yōu)的。在運用逼近理想點的方法解決問題一時，同樣需要運用均方差法算得權(quán)重，利用算取的結(jié)果來進行后面的運算并將四口井的水質(zhì)排序。主要步驟如下：步驟一：利用最小均方差法對指標(biāo)進行篩選，剔除次要指標(biāo)，以簡化評價指標(biāo)體系。步驟二：對評價指標(biāo)進行統(tǒng)一化處理，以倒數(shù)形式將極大型指標(biāo)轉(zhuǎn)化為極小型指標(biāo)。步驟三：用均方差法求出指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。步驟四：用逼近理想解法對四口井的水質(zhì)進行評價排序。設(shè)綜合評價問題含有個評價對象個指標(biāo)，相應(yīng)的指標(biāo)觀測值分別為:指向向量權(quán)重：。則TOPSIS法的計算過程如下：步驟一：則評價指標(biāo)進行預(yù)處理，即進行一致化，并構(gòu)造評價矩陣：步驟二：構(gòu)造加權(quán)規(guī)范評價矩陣：，其中。其中，當(dāng)項指標(biāo)為極大型時，取；當(dāng)項指標(biāo)為極小型時，取參照方法一中的權(quán)重系數(shù)列表數(shù)據(jù)（表3、表4），經(jīng)過計算得到四口井各項指標(biāo)加權(quán)規(guī)范評價結(jié)果如表6：表6四口井各項指標(biāo)加權(quán)規(guī)范結(jié)果東井0.000.000.000.00252.810.291.0838.120.000.000.00西井0.000.000.000.00507.020.221.0235.610.000.000.00南井0.000.000.000.00168.540.371.0457.060.000.000.00北井0.000.000.000.00271.910.332.00111.080.000.000.00步驟三：確定正理想解和負(fù)理想解：，得到正理想解和負(fù)理想解如表7：表7表3、表4中各項指標(biāo)正理想解和負(fù)理想解正理想解0000168.540.221.0235.61000負(fù)理想解0000507.020.372111.08000步驟四：計算各評價對象到正理想解和負(fù)理想解的距離，結(jié)果如表8所示。表8各評價對象到正、負(fù)理想解的距離正理想距離負(fù)理想距離東井84.31264.48西井338.4875.48南井21.45342.76北井127.99235.11步驟五：計算各評價對象到理想解的相對接近度，其計算公式如下：計算各評價對象對理想解的相對接近度：步驟六：按相對接近度大小排序，越大，表明第個評價單元越接近最優(yōu)水平。根據(jù)相對接近度對四口井的水質(zhì)從優(yōu)到劣的排序如下：南井>東井>北井>西井。結(jié)果分析：用逼近理想點法對水質(zhì)進行排序得到的結(jié)果與線性加權(quán)綜法得到的結(jié)果相同，兩種方法在計算過程中，都需要用到權(quán)重系數(shù)，而本次建模運用均方差法求得權(quán)重系數(shù)，并且此權(quán)重系數(shù)在兩種方法中均有效。然而線性加權(quán)法運用較理想點逼近法簡單。線性加權(quán)法主要靠權(quán)值判斷水質(zhì)，而逼近理想點法除了依賴權(quán)值還需要通過計算各指標(biāo)與理想點的距離來排序判斷水質(zhì)。5.2模糊綜合評判模糊評判是模糊決策中常用的一種有效方法。實際中常需要對一個事物做出評價，一般都涉及到多個因素或多個指標(biāo)，要求根據(jù)這些因素對事物做出綜合評價.綜合評判是對受多因素音響的事物做出全面評價。模糊評判的一般提法：設(shè)為研究對象的種因素，稱之為因集．為諸因素的種評判所構(gòu)成的評判集（或稱語集、評價集、決策集等），它們的元素個數(shù)和名稱均可根據(jù)實際問題的需要和決策人主觀確定．綜合評判應(yīng)該是上的一個模糊子集：其中評判對模糊子集的隸屬度：即反映了第種評判在綜合評價中所起的作用．綜合評判依賴于各因素的權(quán)重，即它應(yīng)該是上的模糊子集：，且，其中表示第種因素的權(quán)重．當(dāng)權(quán)重給定以后，則相應(yīng)地就可以給定一個綜合評判．本題模糊綜合評判步驟如下：步驟一：建立因子集因子集是由影響評估對象的各個因子所組成的集合，可表示其中，元素為影響評價要考慮的因子，一般來說，各個因子在評估中有不同的重要性，因此必須對各個因子按其重要程度給不同的權(quán)重由各權(quán)重組成的因子權(quán)重集是因子集。且，，其中原素是因子對的隸屬度，即反映了各個因子在綜合評估中所具有的重要程度。步驟二：建立評價集評價集是有評估對象作出評估結(jié)果所稱的集合，可表示為：式中.模糊的，但對的關(guān)系是明確的。步驟三：確定模糊評判矩陣對每一個因素做一個評判，則可以得到到的一個模糊映射,即：由模糊映射可以誘導(dǎo)出模糊關(guān)系，即因此可確定出模糊評判矩陣．而且稱為模糊綜合評判模型．步驟四：建立六種指標(biāo)權(quán)重（1）構(gòu)造變權(quán)函數(shù)根據(jù)污染物對水質(zhì)的污染程度分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ類六個等級，不妨對應(yīng)的數(shù)值分別為1、2、3、4、5、6由問題的分析可知，當(dāng)水質(zhì)的類別從Ⅰ類變化到Ⅲ類時，其權(quán)值變化應(yīng)該非常大，這體現(xiàn)出水質(zhì)將發(fā)生質(zhì)的變化，而且水質(zhì)越差，相應(yīng)的權(quán)值也會也來越大。根據(jù)以上討論，我們構(gòu)造的“S”型曲線作為相應(yīng)的變權(quán)函數(shù)，即當(dāng)時，即水質(zhì)最好時令相應(yīng)的量化值；為了說明Ⅰ、Ⅱ與Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ類水之間的相對差異變化較小的事實,令；當(dāng)時，，此時污染最為嚴(yán)重。由以上的三個對應(yīng)點，則可以求得α=0.35、β=3.48、γ=0.52最后得到的具體表達式：最后計算得到污染指標(biāo)的ⅠⅡⅢⅣⅤ劣Ⅴ類的水對應(yīng)的分類下界量化值分別為0.05、0.12、0.25、0.8、0.92。(2)求權(quán)重矩陣以某次的水質(zhì)檢測具體情況為例，將四個觀測點的24個監(jiān)測指標(biāo)的濃度提取出來，構(gòu)造出原始評判矩陣；再將元素的值變換成污染類別，把類別對應(yīng)的數(shù)值代入變權(quán)函數(shù)就得到量化矩陣；對量化矩陣中每一行的指標(biāo)做到歸一化處理得到權(quán)重矩陣w.注意到一個事實，由于ph值（7-9）難以確定出具體的水質(zhì)類別，而且依據(jù)數(shù)據(jù)分析可知，ph值對水質(zhì)類別的影響很小，所以在此問題中對ph值的影響采用固定的權(quán)值，不妨設(shè)為0.05，而其他23項指標(biāo)采用上述的動態(tài)賦值，其總權(quán)值為0.95.圖一主要權(quán)重系數(shù)柱狀圖步驟五：綜合評判對于權(quán)重，用模型取最大－最小合成運算，可以得到綜合評判被評判對象的綜合評價指標(biāo)值為：此時，各項指標(biāo)越大，被評價對象的狀態(tài)越接近負(fù)理想解，從而得到的綜合評價值越大，其水質(zhì)污染的程度就越嚴(yán)重。反之則越接近正理想解，綜合評價值越小，其水質(zhì)污染的程度就越輕。求出4個觀測點水質(zhì)的綜合評價指標(biāo)值，并評判水質(zhì)的等級.地區(qū)東井西井南井北井綜合評價指標(biāo)值9372200475類別ⅡⅠⅢⅣ評價模型逼近理想（0TOPSIS）法是一種逼近于理想解的排序法，該方法只要求各效用函數(shù)具有單調(diào)遞增（或遞減）性就行。TOPSIS法是多目標(biāo)決策分析中一種常用的有效方法，又稱為優(yōu)劣解距離法。TOPSIS法其中“理想解”和“負(fù)理想解”是TOPSIS法的兩個基本概念。所謂理想解是一設(shè)想的最優(yōu)的解（方案），它的各個屬性值都達到各備選方案中的最好的值；而負(fù)理想解是一設(shè)想的最劣的解（方案），它的各個屬性值都達到各備選方案中的最壞的值。方案排序的規(guī)則是把各備選方案與理想解和負(fù)理想解做比較，若其中有一個方案最接近理想解，而同時又遠(yuǎn)離負(fù)理想解，則該方案是備選方案中最好的方案。綜合評判是對多種屬性的事物，或者說其總體優(yōu)劣受多種因素影響的事物，做出一個能合理地綜合這些屬性或因素的總體評判。例如，教學(xué)質(zhì)量的評估就是一個多因素、多指標(biāo)的復(fù)雜的評估過程，不能單純地用好與壞來區(qū)分。而模糊邏輯是通過使用模糊集合來工作的，是一種精確解決不精確不完全信息的方法，其最大特點就是用它可以比較自然地處理人類思維的主動性和模糊性。因此對這些諸多因素進行綜合，才能做出合理的評價，在多數(shù)情況下，評判涉及模糊因素，用模糊數(shù)學(xué)的方法進行評判是一條可行的也是一條較好的途徑。參考文獻［1］數(shù)學(xué)建模競賽題《長江水質(zhì)評價與預(yù)測》［2］水力學(xué)報《基于熵權(quán)的集對分析模型》夢憲萌，胡和平2009.03第四十卷第三期［3］數(shù)學(xué)模型與計算機模擬，江裕釗、辛培情編，電子科技大學(xué)出版社，(1989)．［4］數(shù)學(xué)建模--方法與范例，壽紀(jì)麟等編，西安交通大學(xué)出版社(1993)．附1：水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)報告編號：商水監(jiān)/SM089-2009監(jiān)測日期：2011.10.15樣品類別樣品編號pH溶解氧總硬度SO42-Cl-鐵錳銅鋅揮發(fā)酚高錳酸鹽指數(shù)化學(xué)需氧量mg/L東井DB0110158.105080.17<DL0.150.00623.851.4西井DB0210158.346.93271381600.110.19<DL0.150.00316.265.1南井DB0310157.496.45242321620.070.20<DL0.27<DL1.9<10北井DB0410157.157.210202093121.080.65<DL0.19<DL1.7<10某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)報告編號：商水監(jiān)/SM089-2009監(jiān)測日期：2011.10.15樣品類別樣品編號總磷硝酸鹽氮亞硝酸鹽氮氨氮氟化物氰化物汞砷鎘六價鉻鉛糞大腸菌群mg/L（個/L）東井DB0110150.781.350.02610.71.48<DL<DL0.0026<DL<DL<DL900西井DB0210150.982.630.01213.0