靜電場(chǎng)能量的討論

由于許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)導(dǎo)出，“電池理論”的知識(shí)點(diǎn)是相互關(guān)聯(lián)的。學(xué)習(xí)需要高度的空間抽象思維和相關(guān)思維，這是“難以教和學(xué)”的課程。為此,人們采用圖片、動(dòng)畫課件,計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算,虛擬仿真,理論實(shí)驗(yàn),科研,工程實(shí)踐相結(jié)合等各種教學(xué)改革,并取得一定成效。但是,“靜電場(chǎng)能量”章節(jié)無法單靠以上教學(xué)手段達(dá)到理想教學(xué)效果。因?yàn)樵撜鹿?jié)涉及概念、公式,并非圖片、動(dòng)畫等形象化或者實(shí)驗(yàn)手段所能精確描繪的。故筆者依照循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律,從學(xué)生所熟悉的知識(shí)點(diǎn)——力作功與能量守恒定律出發(fā),得到各種電荷體系的靜電能量的場(chǎng)源表示形式,再經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理得到其能量密度表示形式;從中揭示靜電能量的物理本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的物理問題分析能力和數(shù)學(xué)邏輯思維能力,取得良好的教學(xué)效果。對(duì)于靜電場(chǎng)能量的公式,很多教材要么直接從分布電荷推導(dǎo)出來,要么只從點(diǎn)電荷系統(tǒng)推導(dǎo)。前者沒有提出“自能”與“互能”的概念,更加不能給出點(diǎn)電荷場(chǎng)源系統(tǒng)的靜電場(chǎng)能量,容易讓學(xué)生誤以為點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電場(chǎng)能量公式與帶電體系統(tǒng)的一樣。而且,這種表述方式也不符合由淺入深的教學(xué)規(guī)律,學(xué)生難以理解。而后者雖然很容易給出點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電場(chǎng)能量公式,但是沒有說明清楚“自能”與“互能”的概念,更無法揭示電場(chǎng)能量分布的物理本質(zhì)。1法律系統(tǒng)外來能量轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量根據(jù)能量守恒定律可知,電場(chǎng)能量是在靜電場(chǎng)建立的過程中由其他形式的能量轉(zhuǎn)換而來的。假如不考慮熱損耗和輻射損耗等因素,那么在建立系統(tǒng)過程中外源克服電場(chǎng)力所作的功就全部轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量。又因?yàn)殪o電場(chǎng)力是保守場(chǎng),因此靜電場(chǎng)能量只跟場(chǎng)源電荷的最終分布有關(guān)。1.1有關(guān)概念的描述(1)帶電體內(nèi)部電能量“自能”指帶電體作為一個(gè)整體單獨(dú)存在時(shí)所具有的電場(chǎng)能量,是帶電體自身所獨(dú)有的,其數(shù)值上等于將帶電體的電荷從無限分散的狀態(tài)聚集起來,外力各服各個(gè)電荷之間的排斥力而作的功。互能(2)帶電體的自能與互能“互能”也稱相互作用能,它表現(xiàn)為帶電體系中各個(gè)帶電體之間相互作用力,數(shù)值上等于將各個(gè)帶電體從無窮遠(yuǎn)處搬到目前各自所在處的過程中外力克服帶電體之間相互作用力所作的功,此部分能量為體系中所有帶電體所共有。“自能”與“互能”是相對(duì)的。若單個(gè)帶電體作為整體,則其所具有的能量就是“自能”,若帶電體看成由若干電荷元組成,那么其“自能”也就是各個(gè)電荷元之間的“互能”。(3)靜脈能量帶電體系總的靜電能量等于體系中每個(gè)帶電體各自的“自能”以及它們之間的互能”之和。1.2點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜態(tài)能量能量1.2.1點(diǎn)電荷的形成和假設(shè)如圖1所示為某一區(qū)域內(nèi)A、B處分別有靜止點(diǎn)電荷q1和q2,現(xiàn)要計(jì)算由點(diǎn)電荷q1和q2所激發(fā)的靜電場(chǎng)的能量。假設(shè)一開始時(shí)候,該區(qū)域內(nèi)沒有電場(chǎng),那么此時(shí)所有電荷(如果有的話)都必須在無窮遠(yuǎn)處。假設(shè)電場(chǎng)建立過程如下:首先,將點(diǎn)電荷q1從無窮遠(yuǎn)處移到A處(由于開始區(qū)域內(nèi)并沒有電場(chǎng),所以外力不需要克服電場(chǎng)力做功,即W1=0,現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)有了q1,也就產(chǎn)生了靜電場(chǎng)E1.),然后再將點(diǎn)電荷q2從無窮遠(yuǎn)處移到B處,外力作功W2.W2=∫B∞→F2?d→l=-∫B∞q2E1dr=q2φ21=q1q24πε0R12?其中φ21表示q1在q2處B點(diǎn)所產(chǎn)生的電位。根據(jù)能量守恒定律以及“互能”的定義可知,該兩點(diǎn)電荷系統(tǒng)的互能為We=W1+W2=q1q24πε0R12.若假設(shè)建立電場(chǎng)的時(shí)候,先將點(diǎn)電荷q2從無窮遠(yuǎn)處移到B處,然后再將點(diǎn)電荷q1從無窮遠(yuǎn)處移到A處,則外力做功W2=0,W1=∫4∞→F1?d→l=-∫A∞q1E2dr=q1φ12=q1q24πε0R12?其中φ12表示q2在q1處A點(diǎn)所產(chǎn)生的電位。同樣得到該系統(tǒng)的互能We為We=W1+W2=q1q24πε0R12=12[q1φ1+q2φ2].可見先移動(dòng)哪個(gè)電荷都無關(guān)緊要。1.2.2n個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)現(xiàn)要計(jì)算如圖2所示由點(diǎn)電荷q1,q2和q3所激發(fā)的靜電場(chǎng)的能量。同樣假設(shè)一開始考察區(qū)域內(nèi)無電場(chǎng),則q1,q2和q3必須位于無窮遠(yuǎn)處。由于靜電場(chǎng)能量與系統(tǒng)建立過程無關(guān),可以任意假設(shè)先將點(diǎn)電荷q1從無窮遠(yuǎn)處移到A處,然后再將點(diǎn)電荷q2從無窮遠(yuǎn)處移到B處,最后將點(diǎn)電荷q3從無窮遠(yuǎn)處移到C處。則外力克服電場(chǎng)力作功。W1=0,W2=q2φ21=q1q24πε0R12,W3=∫C∞→F3?d→l=-∫C∞q3(E1+E2)dr=q3(φ31+φ32)=q3q14πε0R13+q3q24πε0R23則該系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為We=W1+W2+W3=12[q1φ1+q2φ2+q3φ3],其中?φ1=q24πε0R12+q34πε0R13?φ2=(q14πε0R13)+q34πε0R23),φ3=(q14πε0R13)+q24πε0R23),推廣到N個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)有We=12Ν∑i=1qiφi,(1)其中φi表示除了qi之外系統(tǒng)中其余點(diǎn)電荷在qi處產(chǎn)生的電位。式(1)就是N個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的相互作用能,也是其靜電場(chǎng)能量公式。這里并不考慮構(gòu)建點(diǎn)電荷時(shí)所付出的能量,而直接假設(shè)所有點(diǎn)電荷模型都已經(jīng)建立好了;因?yàn)辄c(diǎn)電荷自身處的電位為無窮大,導(dǎo)致計(jì)算出來的“自能”為無窮大,這樣的計(jì)算是沒有實(shí)際意義的。其實(shí)對(duì)于自身點(diǎn)而言,原來的點(diǎn)電荷應(yīng)該看成分布電荷。值得說明的是點(diǎn)電荷作為實(shí)物其“自能”依然存在,這一點(diǎn)可以從后面電場(chǎng)能量的密度表達(dá)式中看出來。1.3通過電體系統(tǒng)的道路能量1.3.1靜電場(chǎng)能量任何帶電體的電荷都可以看成是由無限多個(gè)電荷元(dq→0)組成的。帶電體的建立可以看成將這無限多個(gè)電荷元從無窮遠(yuǎn)處搬移到帶電體上的相應(yīng)位置。帶電體系統(tǒng)的靜電場(chǎng)能量等于所有電荷元各自的“自能”以及它們之間的“互能”的總和。由于電荷元在自身處所產(chǎn)生的電位為一無窮小量,因此孤立帶電體的靜電場(chǎng)能量本質(zhì)上就是構(gòu)成該帶電體的各個(gè)電荷元之間的互能;若把帶電體上的電荷看成一個(gè)整體,其靜電場(chǎng)能量就是“自能”。將有限個(gè)點(diǎn)電荷的互能表達(dá)式(1)應(yīng)用到連續(xù)分布電荷情況,得孤立帶電體的靜電場(chǎng)能量為We=12∞∑j=1φidqj=12∫φ(r)dq.此處φ(r)可以看成所有的電荷元(包括自身處電荷元)所共同激發(fā)的電位,所以此式為帶電體總的靜電場(chǎng)能量。而此連續(xù)分布電荷可以是體分布電荷,也可以使面分布電荷或者線分布電荷。對(duì)于體分布電荷有:We=12∫vφ(r)ρ(r)dV(2)對(duì)于面分布電荷有:We=12∫sφ(r)ρs(r)dS(3)對(duì)于線分布電荷有:We=12∫φ(r)ρs(r)dl(4)1.3.2電場(chǎng)能量的表示顯然該體系的靜電場(chǎng)能量包括每個(gè)帶電體的“自能”以及各個(gè)帶電體之間的“互能”。同理,應(yīng)用式(1)得We=12Ν∑i=1φiQi=12Ν∑i=1Qiφii+12Ν∑i=1Ν∑j=1j≠1Qiφij(5)其中第一項(xiàng)表示“自能”,第二項(xiàng)表示“互能”。注意到以上所有電場(chǎng)能量的表達(dá)式中都有場(chǎng)源電荷的乘積項(xiàng),這很容易讓人誤以為場(chǎng)源電荷所在之處才存在電場(chǎng)能量。而如果電場(chǎng)能量用其密度來表達(dá)就不會(huì)有這個(gè)問題。2靜電能密度表示形式2.1材料中放電量分布將高斯定理??→D=ρ帶入式(2)中,并利用矢量恒等式以及電位的定義式→E=-?φ和散度定理得到:We=12∫vφ(r)ρ(r)dV=12∫vφ??→DdV=12∫v??(φ→D)dV+12∫v→E?→DdV=12∫sφ→D?d→S+12∫v→E?→DdV由于電荷ρ(r)之分布在有限的空間V內(nèi),而V之外沒有電荷,因此積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)空間而不會(huì)影響積分結(jié)果。又→D∝1R2?φ∝1R?S∝R2,因此∫sφ→D?d→S∝1R.當(dāng)積分區(qū)域V→∞時(shí),對(duì)應(yīng)的閉合曲面也就無限擴(kuò)大,即R→∞,則有∫sφ→D?d→S→0.結(jié)果有體分布電荷的靜電場(chǎng)能量為:We=12∫V→E?→DdV(6)由于式(6)積分空間是在電場(chǎng)所存在的整個(gè)區(qū)域進(jìn)行的,說明了電場(chǎng)能量存在于所有電場(chǎng)強(qiáng)度不為零的空間,電場(chǎng)空間中任意一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度為:We=12→E?→D.(7)2.2不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)能量密度考慮帶電導(dǎo)體的情況,如圖3所示。求解思路跟體電荷分布情況很相似。將導(dǎo)體表面的靜電場(chǎng)邊界條件→D?→n=ρs帶入式(3),并考慮到導(dǎo)體外部空間沒有電荷分布,再利用φ??→D=??φ→D-?φ?→D以及散度定理得到:We=12∫Sφ(r)ρs(r)dS′=12∫Sφ→D?→endS′=-12∫Sφ→D?→e′ndS′-12∫S∞φ→D?→end→S=12∫V→E?→DdV(8)上式中積分區(qū)域V為導(dǎo)體表面S′以及無限大表面S∞所限定的空間,即電場(chǎng)所分布的空間。可見面電荷和體電荷的靜電能量密度表達(dá)式是一樣的。雖然以上電場(chǎng)能量表達(dá)式是從體分布電荷和面分布電荷得到的,但是顯然電場(chǎng)中任意一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度均可用式(7)表示。而電場(chǎng)能量密度只與此處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量有關(guān),所以式(6)和式(7)應(yīng)該是普適的,而不管是哪種場(chǎng)源所激發(fā)的電場(chǎng)。與點(diǎn)電荷相似,線電荷也不必計(jì)算其“自能”。式(6)和式(8)都說明了電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存于電場(chǎng)所存在的所有空間。3靜電涂貼技術(shù)的應(yīng)用理論分析之后,介紹工程應(yīng)用實(shí)例,提出問題,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)、探索的興趣。靜電場(chǎng)是電學(xué)的基石。而靜電場(chǎng)能量是靜電場(chǎng)的物質(zhì)性表現(xiàn),是靜電場(chǎng)中一個(gè)最基本的概念,是電磁場(chǎng)理論的重要基礎(chǔ)。靜電技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、環(huán)化工程、食品加工等行業(yè)中,例如靜電涂敷技術(shù)(包括靜電噴涂殺蟲、靜電涂膜、靜電授粉、靜電除塵、靜電發(fā)酵,食品保鮮、干燥、殺菌、解凍和催陳),靜電復(fù)印及植絨印花,育種培植,水凈