8.6.3直線與平面垂直8.6.3直線與平面垂直定義前提兩條異面直線a，b作法經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b結論我們把a′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則___________特殊情況當θ＝_____時，a與b互相垂直，記作______銳角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b復習回顧異面直線所成角3、求異面直線的所成角的一般步驟是：作—證—求

作出異面直線所成的角,可通過多種方法平移產生,主要有三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).定義前提兩條異面直線a，b作法經過空間任一點O作直線a′∥a直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊課件問題1：請同學們觀察圖片,說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關系？你能舉出一些類似的例子嗎？

問題1：請同學們觀察圖片,說出旗桿與地面、ABαB1C1CB一條直線與一個平面垂直的意義是什么？新課引入AB所在直線與平面內任意一條過點B的直線垂直．

與平面內任意一條不過點B的直線B1C1也垂直．直線垂直于平面內的任意一條直線．ABαB1C1CB一條直線與一個平面垂直的意義是什么？新課(一)直線與平面垂直的定義如果直線l和平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l

和平面α互相垂直.記作l⊥α直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,直線和平面垂直,它們唯一的公共點P叫做垂足.αlP（性質定理）b是平面α內任一直線,a⊥α，則

.a⊥b學習新知符號語言：任意a?α，都有l⊥a?

.(一)直線與平面垂直的定義如果直線l和平面α內的任意一條直畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直線面垂直直觀圖的一般畫法學習新知直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一思考:在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？可以發現:過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.點到平面的距離如棱錐的高就是頂點到底面的距離.學習新知直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件思考:在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.將1、如果一條直線垂直于平面內的一條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？2、如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？3、如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？怎樣判斷線面垂直呢？學習新知不一定.當平面α內的無數條直線a,b,c…都互相平行時,直線l在保證與直線a,b,c…都垂直的條件下,與平面α可能垂直也可能斜交.直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件1、如果一條直線垂直于平面內的一條直線，能否判斷這條直線和這DBAC

容易發現，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面α垂直。aBDCA（1）有人說,折痕AD所在直線與桌面所在平面α上的一條直線垂直,就可以判斷AD垂直平面α,你同意他的說法嗎?（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直關系不變,即AD⊥CD,AD⊥BD,由此你能得到什么結論?學習新知直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件DBAC容易發現，當且僅當折痕判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.Bmnlα學習新知直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交Bmnlα學習新知例1、有一根旗桿AB高8m,它的頂端A掛有一條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(和旗桿腳不在同一條直線上)C、D,如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m,那么旗桿就和地面垂直,為什么？ABCD典型例題直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件例1、有一根旗桿AB高8m,它的頂端A掛有一條長10m的繩子VABC.D鞏固練習直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材必修第二冊優秀課件VABC.D鞏固練習直線與平面垂直判定—人教版高中數學新教材mab例2、求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面n典型例題已知：如圖,已知a∥b,a⊥α.求證：b⊥α.分析：在平面內作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知,直線a與這兩條相交直線是垂直的,又由b平行a,可證b與這兩條相交直線也垂直,從而可證直線與平面垂直.證明：在平面α內取兩條相交直線m、n，mab例2、求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那EABCD鞏固練習EABCD鞏固練習

2、如果平面外的一條直線上有兩點到這個平面的距離相等，則這條直線和平面的位置關系是（）A.平行B.相交C.平行或相交3、在空間，下列命題（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行；（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行；（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行。正確的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.(1)(2)(3)(4)CB鞏固練習8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)2、如果平面外的一條直線上有兩點到這個平面證明:(1)因為SA＝SC，D為AC的中點，所以SD⊥AC.則在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.典型例題8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)證明:(1)因為SA＝SC，D為AC的中點，則在Rt△ABC典型例題[證明]

(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD于是BD垂直于平面SAC內的兩條相交直線所以BD⊥平面SAC.8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)典型例題[證明](2)因為AB＝BC，D為AC的中點，又由判定直線與平面垂直,可以用定義,就是證明這條直線與平面內的任一直線垂直,但這種方法一般不用.最常用也最好用的是直線與平面垂直的判定定理,根據定理,只需證明這條直線與平面內的兩條相交直線垂直即可.另外,判定直線與平面垂直還有如下兩個結論可用:(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線與兩平行平面中的一個面垂直,則它與另一個平面也垂直.方法總結8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)判定直線與平面垂直,可以用定義,就是證明這條直線與平面內的任例4如圖,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上任意一點,求證:BC⊥PC.分析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根據圓的性質得到AC⊥BC,進而利用線面垂直判定定理證得BC⊥平面PAC,從而得到BC⊥PC.證明:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直徑,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC?平面PAC,∴BC⊥PC.變式：若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點E,求證:AE⊥PB.典型例題8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)例4如圖,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C直線和平面垂直的定義具有雙重作用:判定和性質.判定是指:如果一條直線和平面內的任意一條直線都垂直,那么直線就與平面垂直;性質是指:如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線就垂直于平面內的任意一條直線,即a⊥α,b?α?a⊥b.由直線與平面垂直的定義及判定定理,就可以由線線垂直得到線面垂直,再由線面垂直得到線線垂直,即得到線線垂直與線面垂直的相互轉化.因此,要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面),通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個平面.反思感悟8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)直線和平面垂直的定義具有雙重作用:判定和性質.反思感悟8.6思考探究8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)思考探究8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中總結：證明線線垂直的方法8.6.2直線與平面垂直1判定—山東省滕州市第一中學人教版高中數學新教材必修第二冊課件(共24張PPT)