特征值與特征向量在圖像處理中的應用姓名：張x學號：20092430班級：2009121摘要：正所謂學以致用，在長期以來的學習過程中，我們真正能夠將所學到的知識運用到生活中的能有多少，我們對課本上那些枯燥的公式雖牢記于心，卻不知道它的實際用途。在學習了矩陣論以來，雖然知道很多問題的求法，就如矩陣特征值和特征向量，它們有何意義我們卻一點不知。我想純粹的理知識已經吸引不了我們了，我們需要去知道它們的用途，下面就讓我們一起來看看矩陣特征值與特征向量在圖像處理中是如何發揮它們的作用的。關鍵字：特征值、特征向量、圖像、正文：生活中的我們，每天清晨醒來，隨之映入眼簾的就是各種形形色色的圖像，我們確實也很難想象，在我們的生活中，圖像的處理和矩陣特征值、特征向量有什么關系？首相我們先來了解下，何為特征值、特征向量。定義：設是階方陣，若有數和非零向量，使得稱數是的特征值，非零向量是對應于特征值的特征向量。例如對，有及向量，使得，這說明是的特征值，是對應于的特征向量。特征值和特征向量的求法：1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即（稱之為的特征方程）由此可解出個根（在復數范圍內），這就是的所有特征值。2．根據某個特征值，由線性方程組解出非零解，這就是對應于特征值的特征向量。特征值和特征向量的性質：1．，2．若是的特征向量，則對，也是的特征向量。3．若是的特征值，則是的特征值，從而是的特征值。4．是的個特征值，為依次對應的特征向量，若各不相同，則線性無關。我想在了解了特征值和特征向量的基本理論之后，你們很難想象，為什么這些知識會和圖像有聯系吧。說實話，我自己也不是很清楚，我也是看了別人的理論講解，才略微理解了一二。讓我們一起去了解下。根據特征向量數學公式定義，矩陣乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量，因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量，那么變換的效果是什么呢？這當然與方陣的構造有密切關系，比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一個特定的變換特征向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換后保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特征向量的原始定義Ax=cx,cx是方陣A對向量x進行變換后的結果，但顯然cx和x的方向相同)。這里給出一個特征向量的簡單例子，比如平面上的一個變換，把一個向量關于橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫坐標不變，但縱坐標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[10;0-1]（分號表示換行），顯然[10;0-1]*[ab]'=[a-b]'（上標'表示取轉置），這正是我們想要的效果，那么現在可以猜一下了，這個矩陣的特征向量是什么?想想什么向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是鏡像對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特征向量是[a0]'（a不為0），還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換后，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0b]'（b不為0）也是其特征向量。由于通常s<<N，這種方法將求高階矩陣的特征向量轉化為求較低階矩陣的特征向量的過程在圖象數據分析中是很實用的。K-L變換是圖象分析與模式識別中的重要工具，用于特征抽取，降低特征數據的維數。例如，MIT-MediaLab基于特征臉的人臉識別方法。通過上述的理論，我們對特征值與特征向量在圖像處理上的運用有了深入的了解，同時也感受到了知識的魅力在不停的渲染著我們的生活。當然，特征值的魅力還不僅在于圖像處理上，它在物理，材料，力學等方面都能一展拳腳，有人曾在一本線代書里這樣說過“有振動