高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第1頁（共8頁）高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第1頁（共8頁）高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測（時間：120分鐘滿分：150分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1?若直線l：x—2y+k=0（kGR）過點（0,2），則k的值為（B）A?一4B?4C.2D.—2解析：由題意可得，0-4+k=0,解得k=4?TOC\o"1-5"\h\z2.已知空間向量a=Q+1,1,2）,b=（6,“一1,4），若a〃b，則2+“=（）A.3B.—3C.5D.—53?如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，—=b，—=c.解析：選C因為a〃b,所以~6~=“1=4,所以42+4=62，解得2=2,所以廠］=2‘解得“=3,所以2+“3?如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，—=b，—=c.N在線段BC上，且0何=2^,則—審=()A?2a—3b—3cB.-扌玄+刼+器□21,1C?§a—2b+gcD.-2a+3b+*c解析：選DMN=ON-OM=—+CN_2OA=O€+3CBOA=Oc+2(OBB-Oc)-2—=一2—A+3ON+1OCC=-1a+3b+3c,故選D?4.中國是世界上最古老的文明中心之一，中國古代對世界上最重要的貢獻之一就是發(fā)明了瓷器，中國陶瓷是世界上獨一無二的.它的發(fā)展過程蘊藏著十分豐富的科學和藝術，陶瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數學中幾何的形式之美?現有一橢圓形明代瓷盤，經測量得到圖中數據，則該橢圓瓷盤的焦距為（）A.8打B.2島C.4方D.4解析：選C因為橢圓的2a=8,2b=4,所以a=4,b=2,因為ai=bi+ci，所以c2=12c=2J3，則2c=4/3?故選C?高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第2頁(共8頁)高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第2頁(共8頁)5?已知圓x2+y2+2x—2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數a的值是()A.—2B.—4C.—6D.—8解析：選B圓的標準方程為(x+1)2+(y—1)2=2—a,n=2—a,則圓心(一1,1)到直線x+y+2=0的距離為_斗尹2!=“..扭?由22+(“j2)2=2—a,得a=—4.6.已知在一個二面角的棱上有兩個點A，B,線段AC,BD分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱AB,AB=5,AC=3,BD=4,CD=5“運，則這個二面角的度數為()A.30°B.45°C.90°D.150°解析：選C設這個二面角的度數為么，由題意得(5亍=CA+AB+BD,???CD2=CA2+AB2+BD2+21CA1?1麗|cos(—a),A(^'2)1=9+25+2X3X4Xcosa,解得cosa=0,Aa=90°,即這個二面角的度數為90°,故選16C.27.直線l與拋物線C：y2=2r交于A,B兩點，O為坐標原點，若直線OA,OB的斜率k1，k2滿足氐禹=3,則直線l過定點()A.(—3,0)B.(0,—3)C.(3,0)D.(0,3)解析：選A設直線l的方程為x=my+b,A(X],y)B(x2,y2)，因為kik2=|,所以垃=3又y2=2x1,y2=2x2，所以y1y2=6?將直線l:x=my+b代入拋物線C：y2=2x得y2—2my—2b=0,所以y1y2=—2b=6,所以b=—3,即直線l:x=my—3,所以直線l過定點(一3,0).8.設橢圓X2+y2=1和雙曲線^—y2=1的公共焦點為F1，F2,P是兩曲線的一個公共點，則cosZF]PF2的值等于()A1B?fC19解析：選A由題意知,D?3F「2,0),F2(2,0),X2+y2J6+2解方程組X2l3—y2=1,9x2=213=2取P點坐標為9則PF1=l—2—呼'用,碼=(2-乎—規(guī)COS"PF2=2-4+23-高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第4頁（共8頁）高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第4頁（共8頁）高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第3頁(共8頁)二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．下列各組向量中，是平行向量的是()a=(12，—2),b=(—2,—4,4)c=(1,O,0),d=(—3,0,0)e=(2,3,0),f=(0,0,0)g=(－2,3,5),h=(16,－24,40)解析：選ABC對于A,有b=-2a，所以a與b是平行向量；對于B,有d=-3c，所以c與d是平行向量；對于C,f是零向量，與e是平行向量；對于D,不滿足g=Zh，所以g與h不是平行向量.已知點A(-1,1),B(3,1),直線l過點C(13)且與線段AB相交，則直線l與圓(x—6)2+y2=2的位置關系是()A.相交B.相離C.相切D.不好確定解析：選BC因為kAC=1,kBC=-1,直線l的斜率的范圍是(一8,-l]U[1，+8)，直線BC方程為x+y-4=0,圓(x-6)2+y2=2的圓心(6,0)到直線BC的距離為V2,因此圓(x-6)2+y2=2與直線BC相切，結合圖象可知，直線l與圓(x-6)2+y2=2的位置關系是相切或相離.已知雙曲線C過點(3,遠)且漸近線為y=±￥x,則下列結論正確的是()C的方程為3—y2=1C的離心率為、打曲線y=ex-2—1經過C的一個焦點直線x—,2y—1=0與C有兩個公共點解析：選AC：?雙曲線的漸近線為y=±W，?:設雙曲線C的方程為芍一y2=2QH0),又過點(3,'2)得2=1?故選項A正確；此時C的離心率e為尋，故B選項錯誤；y=ex-2-1經過C的焦點(2,0),故選項C正確；聯立直線和雙曲線C的方程，得J=0,故有一個公共點，所以D選項錯誤.已知過拋物線C：y2=8x的焦點F的直線l交拋物線于P,Q兩點，若R為線段PQ的中點，連接OR并延長交拋物線C于點S,則靂的可能取值是()A.1B.2C.3D.4解析：選CD由題意知，y2=8x的焦點F的坐標為(2,0).直線l的斜率存在且不為0,設直線l方程為y=k(x-k(x-2).由?y=k(x—2),y2=8x，消去y整理得kx2-4(k2+2)x+4k2=0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),S(x3,兒），則?+X2=駕嚴，故X0="于2=絲尹，y0=k（XO—2）=k所以ks=：=k+2，直線OS的方程為y=k2+2X，代入拋物線方程，解得x=（kl+1，由條件知k2>0?所以0RI=X3=k2+2>2.故選C、D.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）13.已知圓C：（x-2）2+（y-1）2=10與直線l：2x+y=0,則圓C與直線l的位置關系是?解析：由題意有圓心C（2,1）,半徑/則圓心到直線解析：由題意有圓心C（2,1）,半徑/則圓心到直線l:2x+y=0的距離d=,'2+15=-丘0,故直線與圓C相交.答案：相交BAA114?已知平行六面體ABCD-ABCD],AB=AD=AA]=1，ZBAD=ZBAA1=ZDAA1=60。，則AC1=?解析：???AB=AD=AA1=1,NBAD=NBAA1=NDAA1=60。，—=-D—=-T—=-T—=-D—=-D—=-T1—=-T—=-^a—=-T.—=-T：?AB?AD=AD-AA=AB-AA1=2，VAC1=AB+AD+AAV:.AC12=A]B2+ADD2+A4^2+2—B?AD+2AD-^AT1+2i=6,.??1—1='6?答案15?已知A（2,Q）是橢圓X2+y=1上一點，F是橢圓的右焦點，設點F到直線x=4的距離為d，則mAFI

，d解析：A（2，邁）是橢圓m+y=1上一點，代入可得m+|=1，解得m=8，：c=\a,2—b2=2,F（2,0）.：?AFI=-J（2-2）2+（、Q-0）2=j2，點F到直線x=4的距離為d=2,：?AF!—邁答案：8￥16.已知F為雙曲線E：X2^i|=1（a>0，b>0）的右焦點，過點F向雙曲線E的一條漸近線引垂線，垂足為A,且交另一條漸近線于點〃，若IOFI=IFBI,則雙曲線E的離心率是.可得在直角三a2+b202解析：雙曲線e：玄一苣=1的漸近線方程為y可得在直角三a2+b202角形OAB中，由ZAOF=NBOF=NABO=30。，可得彳[丄b2,丄14:2諂1+02=1+3=3，："=答案.答^案?3四、解答題（本大題共6小題，共70分?解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）已知直線l的方程為3r+4y-12=0,分別求下列直線卩的方程，卩滿足：⑴過點（一1,3），且與l平行.高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第6高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測高中數學選擇性必修第一冊綜合檢測第#頁(共8頁)(2)與直線I關于y軸對稱.33解：(1)因為1〃卩，所以I'的斜率為一4，所以直線l的方程為y—3=—：(x+1)，即3r+4y-9=0.(2)1與y軸交于點(0,3),該點也在直線I'上，在直線l上取一點A(4,0)，則點A關于y軸的對稱點A'(-4,0)在直線1'上，所以直線1'經過(0,3)和(一4,0)兩點，故直線1'的方程為3x-4y+12=0.18(12分)直線1經過兩點(2,1),(6,3).求直線1的方程；⑵圓C的圓心在直線1上，并且與x軸相切于(2,0)點,求圓C的方程.3—11解：(1)由已知可得，直線1的斜率k=6一2=2，所以直線1的方程為x-2y=0.因為圓C的圓心在直線1上，所以可設圓心坐標為(2a,a)，因為圓C與x軸相切于(2,0)點，所以圓心在直線x=2上，所以a=1，所以圓心坐標為(2,1)，半徑為1，所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=1.19?(12分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA=2,E為BB1中點.AB證明：AC丄DE；AB求DE與平面AD1E所成角的正弦值.解：(1)證明：連接BD,VD1D丄平面ABCD,ACu平面ABCD,???DD丄AC?在長方形ABCD中，AB=BC,???BD丄AC?又BDAD1D=D,???AC丄平面BBDD,VD1Eu平面BBDD,^AC丄DE?⑵以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,

AA則A(1,0,O),3(0,O,2),E(1,1,1),AEE=(0,1,1),碼=(一1,0,2),IDE=(1,1,1).設平面AD1E的法向量為n=(兀，y,z),n?ADn?AD]=0,、n?aE=0,一兀+22=0,y+z=0,令z=1,得n=(2,—1,1).cos〈cos〈n.De〉2—1+1、J2=^F=3,:?:?DE與平面AD20.(12分)已知拋物線C：兀2=勾的焦點為F,直線y=kx+m(m>0)與拋物線C交于不同的兩點M,N.(1)若拋物線C在點M和N處的切線互相垂直，求m的值；⑵若m=2,求MFI?NFI的最小值.解：(1)設M(x1,y1),N(x2,y2)，對y=N求導得:/xy=2，xx故拋物線C在點M和N處切線的斜率分別為才和羅，又切線互相垂直，???凳行-1,即兀嚴2=-4，把y=kx+m代入C的方程得x2—4kx—4m=0.?X1X2=_4m?故m=1.⑵設M(x1，y1)，N(x2，y2)，由拋物線定義可知IMFI=yx+1，INFI=y2+1，由(1)和m=2,知X]X2=—8，X]+x2=4k，所以MF卜INFI=(y1+1)(y2+1)=(kx1+3)?(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=4k2+9，所以當k=0時，IMFI?INFI取得最小值，且最小值為9.21.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,CD丄PD,AD〃BC,AD=CD=1,BC=2,二面角P-CD-A為45°,E為PD的中點，點F在PC上，且PC=3PF.(1)求證：四邊形ABCD為直角梯形；

(2)求二面角F-AE-D的余弦值.解：⑴證明：因為PA丄平面ABCD,所以PA丄CD?又因為PD丄CD,PAQPD=P,所以CD丄平面PAD,所以CD±^.因為AD〃BC,且ADHBC,所以四邊形ABCD為直角梯形.-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0),(2)過點A作AD的垂線交BC于點M,則PA丄AM,PA丄AD,以A為坐標原點，分別以AM,AD,為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0),由(1)知CD丄AD,又CD丄PD,則ZPDA為二面角P-CD-A的平面角，所以ZPDA=45°,PA=1,所以P(0,0,i),e(o,2g,所以AE=￡,2'2丿,PC=(1,1,-1),AP=12A3,3丿，y+z=o,x+y+2z=0，所以—歹=1—c=(3,312A3,3丿，y+z=o,x+y+2z=0，n「AE=0,Ml1_即MlinfAF=0,令z=1,則y=—1,x=—1,所以叫=(一1,—1,1),又平面PAD的一個法向量為n2=(1,0,0),nrn2一1壺所以COS〈叫，丐〉=叫|.%|=”.打=一由圖知二面角F-AE-D為鈍角，所以二面角F-AE-D的余弦值為一宇?F2,過點F1與y軸垂直的直線22.(12分)已知橢圓C：O2+|2=F2,過點F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點，AMNF2的面積為<3,橢圓C的長軸長是短軸長的2倍.(1)求橢圓C的標準方程；⑵已知0為坐標原點，直線l：y=kx+m與y軸交于點P,與橢圓C交于A,B兩個不同的點，若存在實數2,使得O=40A+40芨，求m的取值范圍.C2