第12講切點(diǎn)弦與中點(diǎn)弦【人教A版2019】·模塊一圓錐曲線中的切點(diǎn)弦·模塊二圓錐曲線中的中點(diǎn)弦·模塊三圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一圓錐曲線中的切點(diǎn)弦1．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過(guò)圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：①對(duì)于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過(guò)該點(diǎn)作切線得到的切線方程+=1.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過(guò)M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為+=1.(2)更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M(x0,y0)有對(duì)應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原圓錐曲線上時(shí)，這條直線為過(guò)M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.【考點(diǎn)1圓錐曲線的切線方程的求解】【例1.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,32)且與橢圓xA．x+23y?4=0 C．x+23y?2=0 【例1.2】（2023秋·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線與圓M:x+12+y2=1相切于點(diǎn)A，直線ABA．x+y+2=0 B．x?y+2=0C．x+y+2=0或x?y+2=0 D．x+2y+2=0或x?2y+2=0【變式1.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知過(guò)圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=0【變式1.2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,1的雙曲線：x2?2【考點(diǎn)2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問(wèn)題】【例2.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:x2+y2t2=1，離心率為22，過(guò)P1,2的直線分別與A．x+y?1=0或x+4y?1=0 B．x+4y?1=0C．x+y?1=0 D．x+y+1=0或x+4y?1=0【例2.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P(4,?2)在拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線ABA．x?y+2=0 B．2x?y+2=0 C．3x?y+2=0 D．x?2y+4=0【變式2.1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1【變式2.2】（2023·河南信陽(yáng)·河南省校聯(lián)考一模）已知過(guò)點(diǎn)1,32的橢圓(1)求橢圓C的方程；(2)已知過(guò)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上一點(diǎn)Px0,y0的切線方程為xx0a2+yy0b2=1．已知點(diǎn)M模塊模塊二圓錐曲線中的中點(diǎn)弦1．直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則稱(chēng)線段AB為弦，與這條弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題是一類(lèi)綜合性很強(qiáng)的問(wèn)題，被稱(chēng)為弦中點(diǎn)問(wèn)題.2．弦中點(diǎn)的有關(guān)問(wèn)題解法解決圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題的常規(guī)思路有兩種：(1)通過(guò)方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.(2)點(diǎn)差法，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程，得到兩個(gè)等式，兩式相減即得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)P(x0,y0)與它和原點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系.相關(guān)結(jié)論：①在橢圓中有：當(dāng)x0不為零時(shí)，，令，即；②在雙曲線中有：當(dāng)x0不為零時(shí)，；③在拋物線中有：y0kAB=p.點(diǎn)差法只能用于一類(lèi)與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題.【考點(diǎn)3橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題】【例3.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若橢圓x24+y23=1的弦A．3x?4y+7=0B．3x+4y?1=0C．4x?3y+7=0 D．4x+3y+1=0【例3.2】（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀E圓x212+y29=1A．?83 B．?32 C．【變式3.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓9x2+4y2=144內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3)，過(guò)點(diǎn)A．2x+3y?12=0 B．3x+2y?12=0C．9x+4y?144=0 D．4x+9y?144=0【變式3.2】（2023春·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上存在兩點(diǎn)M,NA．66 B．266 C．2【考點(diǎn)4雙曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題】【例4.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P2,1的直線l與雙曲線x2?y23=1相交于A,B兩點(diǎn)，若PA．6x?y?11=0 B．6x+y?13=0C．2x?3y?1=0 D．3x?2y?4=0【例4.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線x2?y2=3上，線段AB的中點(diǎn)為MA．25 B．45 C．210【變式4.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0與直線y=?x+2相交于A、BA．y=±3x B．y=±3x C．y=±1【變式4.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段ABA．?1 B．1 C．2 D．2【考點(diǎn)5拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題】【例5.1】（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知直線l與拋物線C:y=2x2相交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，則直線lA．4x?y=0 B．2x?y=0C．8x?y?6=0 D．x?2y+3=0【例5.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【變式5.1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F3,0的直線與拋物線y2=12x相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9，則ABA．18 B．24 C．30 D．36【變式5.2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線l交拋物線C:y2=18x于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為5,3，則直線lA．95 B．32 C．3 模塊模塊三圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦圓錐曲線焦點(diǎn)弦求解策略：(1)兩焦半徑之和(之差)；(2)“弦長(zhǎng)”公式；(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦|AB|=，θ為直線的傾斜角；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦|AB|=，θ為直線的傾斜角.一、橢圓的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)：(1)兩焦半徑之和；(2)“弦長(zhǎng)”公式；(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，|AB|=，θ為直線的傾斜角.通徑：.二、雙曲線的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)：(1)兩焦半徑之和或之差；(2)“弦長(zhǎng)”公式；(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，|AB|=，θ為直線的傾斜角.通徑：.三、拋物線的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)：(1)兩焦半徑之和或之差；(2)“弦長(zhǎng)”公式；(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，|AB|=，θ為直線的傾斜角.通徑：2p.【考點(diǎn)6橢圓的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】【例6.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)F1的直線l垂直x軸交橢圓于A、BA．x24+C．x24+【例6.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，橢圓C:x25+y24=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)A．1655,45 B．1655【變式6.1】（2023·青海玉樹(shù)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2的直線l交(1)求C的方程；(2)若AF1?【變式6.2】（2023·陜西西安·交大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1?F2分別為橢圓C的左?右焦點(diǎn)，P為橢圓（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)，求△ABF1的面積的最大值．【考點(diǎn)7雙曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】【例7.1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為y=2x，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2A．x22?y24=1 B．【例7.2】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)雙曲線x2?y28=1的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于A．一條 B．兩條C．三條 D．四條【變式7.1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)【變式7.2】（2023·湖南郴州·校聯(lián)考二模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2?y(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實(shí)軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支不同的A，B兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)且滿(mǎn)足QA=QB【考點(diǎn)8拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】【例8.1】（2023春·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若AF=3A．33 B．±33 C．3【例8.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，作傾斜角為π6的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，若OM=221A．8 B．16 C．24 D．32【變式8.1】（2023·遼寧·朝陽(yáng)市校聯(lián)考三模）過(guò)拋物線C：x2=4pyp>0的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若MN=ABA．2 B．33 C．1 D．【變式8.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，且直線l1，l2分別與拋物線C交于A，B和DA．32 B．64 C．128 D．256模塊模塊四課后作業(yè)1．（2022秋·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點(diǎn)P3,2A．3x+2y?12=0 B．2x+3y?12=0C．4x+9y?14=0 D．9x+4y?14=02．（2022秋·天津·高二校聯(lián)考期中）已知F1?2,0，F(xiàn)22,0是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且ABA．x25+C．x216+3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線x2?y22=1，過(guò)點(diǎn)P2,1作直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)PA．4x?y?7=0 B．4x+y?9=0C．x?4y+2=0 D．x+4y?6=04．（2022秋·江蘇南京·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1a>b>0，拋物線C2:y2=4x，且C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為PA．12 B．32 C．145．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于A，B兩點(diǎn)，DA．6 B．2 C．3 D．66．（2022·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，若A、B為拋物線上兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．當(dāng)AF+BFA．y2=x B．y2=2x C．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓E:x22+y2=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2，t)作橢圓E的切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、A．2 B．1 C．2 D．48．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）過(guò)雙曲線x2a2?y23=1a>0的右焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于AA．0,1∪3,+∞ C．0,1 D．3,+∞9．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，且滿(mǎn)足A．5 B．6 C．7 D．810．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:x2=2py(p>0)與曲線E:y=x交于點(diǎn)A，其橫坐標(biāo)為4，記C的平行于OA的切線為l1,E的平行于A．p=4 B．OA的方程為x?2y=0C．l1的方程為x?2y?1=0 D．l211．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：x2?2y2=1上點(diǎn)P(3,1)12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線y2=4x.其焦點(diǎn)為(1)求以M(1,1)為中點(diǎn)的拋物線的弦所在的直線方程；(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C1：x24+y2=1，橢圓C2：x216+y2(1)求直線AB的方程（用x0，