抽象代數期末考試試卷及答案PAGEPAGE3抽象代數試題一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數的元素的個數一定等于（）。A、偶數B、奇數C、4的倍數D、2的正整數次冪4、下列哪個偏序集構成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關系））D、(P(A),)5、設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是的，每個元素的逆元素是的。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則。3、區間[1，2]上的運算的單位元是。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環Z8的零因子有。6、一個子群H的右、左陪集的個數。7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的。8、無零因子環R中所有非零元的共同的加法階數稱為R的。9、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為。近世代數模擬試題三參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因為S1，S2是A的子環，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環。S1+S2不一定是子環。在矩陣環中很容易找到反例：3、解：1．，；2．兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1?！唬袛囝}(每小題2分,共20分)1.實數集關于數的乘法成群.（）2.若是群的一個非空有限子集，且都有成立，則是的一個子群.（）3.循環群一定是交換群.（）4.素數階循環群是單群.（）5.設是有限群，，是的階，若，則.（）6.設是群到群的同態映射，是的子群，則是的子群.（）7.交換群的子群是正規子群.（）8.設是有限群，是的子群，則.（）9.有限域的特征是合數.（）10.整數環的全部理想為形如的理想.（）二．選擇題(每小題3分,共15分)11.下面的代數系統中，（）不是群.A.為整數集合，為加法；B.為偶數集合，為加法；C.為有理數集合，為加法；D.為整數集合，為乘法.12.設是的子群，且有左陪集分類.如果的階為6，那么的階（）A.6；B.24；C.10；D.12.13.設，則中與元不能交換的元的個數是A.1； B.2； C.3； D.4.14.從同構的觀點看，循環群有且只有兩種，分別是（）A.G=（a）與G的子群；B.整數加法群與模的剩余類的加法群；C.變換群與置換群；D.有理數加法群與模的剩余類的加法群.15.整數環Z中，可逆元的個數是()。A.1個 B.2個 C.4個 D.無限個三．填空題(每小題3分,共15分)16.如果是全體非零有理數的集合，對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是.17.次對稱群的階是____________.18.整數加法群關于子群的陪集為.19.設是的正規子群，商群中的單位元是。20.若是交換環,則主理想____________.四．計算題(第21小題8分,第22小題12分，共20分)21.令，，，計算.22.設是3次對稱群的子群，求的所有左陪集和右陪集，并說明是否是的正規子群.五．證明題(每題10分,共30分)23.設是群，是的子群，證明：，則也是子群24.設是群，是的正規子群.關于的陪集的集合為，證明：對于陪集的乘法成為一個群，稱為對的商群.25.證明：域上全體矩陣的集合在矩陣的加法和乘法下成為環.一．判斷題(每小題2分,共20分)1-10××√√√√√√×√二．選擇題(每小題3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空題(每小題3分,共15分)16.1；17.；18.；19.；20..四．計算下列各題(第21小題8分,第22小題12分，共20分)21.解：，4分.8分22.解：的所有左陪集為，；4分的所有右陪集為，.對，有，即是正規子群.12分五．證明題(每題10分,共30分)23.證明：因為是的子群，對任意，有.4分由題意，對任意，有，從而，即也是子群.10分24.