2.3圓與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能將平面幾何關(guān)于圓與圓位置關(guān)系的定性描述，轉(zhuǎn)化為通過(guò)圓的方程判斷圓與圓位置關(guān)系的定量刻畫，給出通過(guò)圓的方程判斷圓與圓位置關(guān)系的基本步驟，并能用于解決給定圓的方程判斷位置關(guān)系的問(wèn)題.（2）能通過(guò)具體實(shí)例歸納出坐標(biāo)法解決圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的基本步驟，并能用于解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.1、了解圓與圓的位置關(guān)系.2、掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3、能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒(méi)有公共點(diǎn)．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無(wú)解時(shí)，兩圓相離．（2）幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓外離；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過(guò)比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來(lái)確定，這種方法運(yùn)算量?。部衫么鷶?shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無(wú)解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來(lái)確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長(zhǎng)的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．【即學(xué)即練1】圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系例1．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切例2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交C．相切 D．內(nèi)含例3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切變式1．（2023·貴州畢節(jié)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含變式2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【方法技巧與總結(jié)】利用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡(jiǎn)捷些，但需要注意的是，我們這里所說(shuō)的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R+r、d與R―r的大小關(guān)系來(lái)判定即可．題型二：求兩圓的交點(diǎn)例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)及圓與圓的交點(diǎn)，求此圓的方程．例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求圓與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)．變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）證明下列兩圓相切，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)：，．【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn)．題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例7．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若圓上存在動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是．例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知與的方程分別為，若兩圓相交，則的取值范圍是．例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與圓內(nèi)切，則的值是．變式4．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，且滿足，則．變式5．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C：和點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P滿足，則r的最大值為．變式6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為變式7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓心在原點(diǎn)的單位圓和圓外切，．變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓上有且只有一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為.（寫出滿足條件的一個(gè)即可）題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長(zhǎng)例10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在的直線方程為．例11．（2023·福建福州·高二福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谥校﹫A：與圓：的公共弦長(zhǎng)為.例12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則變式9．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知圓與圓相交，則它們的公共弦所在的直線方程是．變式10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線方程為.變式11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考期末）圓與圓的公共弦所在直線的方程為．變式12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與交于兩點(diǎn).若存在，使得，則的取值范圍為.變式13．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）已知圓和圓，則圓與圓的公共弦的弦長(zhǎng)．【方法技巧與總結(jié)】求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個(gè)圓的方程相減即可．這是因?yàn)槿魞蓤A相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般方程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程，而在求兩圓的公共弦長(zhǎng)時(shí)，則應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用．題型五：圓的公切線條數(shù)例13．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．條 B．條 C．條 D．條例14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例15．（2023·安徽合肥·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式14．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：和圓：，則圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式15．（2023·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．變式16．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)A到直線l的距離為1，點(diǎn)B到直線l的距離為4，則滿足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4題型六：圓的公切線方程例16．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）同時(shí)與圓和圓都相切的一條直線方程為．例17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）寫出與圓和都相切的一條直線方程．例18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，圓.請(qǐng)寫出一條與兩圓都相切的直線方程：.變式17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.變式18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是.變式19．（2023·廣東深圳·高二校考階段練習(xí)）圓與圓的公切線方程為．題型七：圓系問(wèn)題例19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為．例20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是．例21．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．變式20．（2023·安徽銅陵·高二銅陵一中校考期中）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為.變式21．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）過(guò)兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.變式22．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.變式23．（2023·江西九江·高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為【方法技巧與總結(jié)】求過(guò)兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系一、單選題1．（2023·高二單元測(cè)試）已知圓與圓外切，點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（

）A．2 B．3C．4 D．52．（2023·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校﹫A：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若圓與圓有公共點(diǎn)，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．4．（2023·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知在圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．7．（2023·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C的方程為，直線，點(diǎn)P是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P做圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦長(zhǎng)的最大值是（

）A． B．1 C． D．2二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）圓與圓外切，則的值為（

）A． B． C．2 D．510．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓和圓，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．的取值范圍是C．是圓與圓的一條公切線D．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則存在點(diǎn)，使得11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，該曲線W是由4個(gè)圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（

）A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個(gè)交點(diǎn)，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為412．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為三、填空題13．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）同時(shí)與圓和圓都相切的一條直線方程為．14．（2023·云南保山·高二統(tǒng)考期中）若圓：與圓：相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為．15．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）圓關(guān)于直線對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過(guò)定點(diǎn)，那么定點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．（2023·江西九江·高二永修縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為．①軌跡的方程為.②在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得.③當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線.④在上存在點(diǎn)，使得.以上說(shuō)法正確的序號(hào)是．四、解答題17．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)校考期末）已知圓與圓.(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求過(guò)兩圓和圓的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.19．（2023·高二單元測(cè)試）過(guò)點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.求：(1)經(jīng)過(guò)圓心C，切點(diǎn)A，B這三點(diǎn)的圓的方程；(2)直線的方程；(3)線段的長(zhǎng).20．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓恰好有三條公切線，點(diǎn)，直線