河北省高碑店市2024屆九年級數學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知點A（﹣1，﹣1），點B（1，1），若拋物線y＝x2﹣ax+a+1與線段AB有兩個不同的交點（包含線段AB端點），則實數a的取值范圍是（）A．≤a＜﹣1 B．≤a≤﹣1 C．＜a＜﹣1 D．＜a≤﹣12．如圖，是二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1對于下列說法：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④當﹣1＜x＜3時，y＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正確有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．已知線段，是線段的黃金分割點，則的長度為（）A． B． C．或 D．以上都不對4．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的長為（）A． B． C． D．5．若反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點（﹣4，），則下列點在該圖象上的是（）A．（﹣5，2） B．（3，﹣6） C．（2，9） D．（9，2）6．已知一組數據:2，5，2，8，3，2，6，這組數據的中位數和眾數分別是（）A．中位數是3，眾數是2 B．中位數是2，眾數是3C．中位數是4，眾數是2 D．中位數是3，眾數是47．小廣,小嬌分別統計了自己近5次數學測試成績，下列統計量中能用來比較兩人成績穩定性的是()A．方差 B．平均數 C．眾數 D．中位數8．如圖，在邊長為的小正方形組成的網格中，的三個頂點在格點上，若點是的中點，則的值為（）A． B． C． D．9．如圖所示，拋物線y=ax2-x+c（a＞0）的對稱軸是直線x=1，且圖像經過點（3，0），則a+c的值為（

）A．0 B．－1 C．1 D．210．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結論正確的個數是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四邊形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．111．等腰直角△ABC內有一點P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.則CP的長等于（）A． B．2 C．2 D．312．平行四邊形四個內角的角平分線所圍成的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形二、填空題（每題4分，共24分）13．在、、、1、2五個數中，若隨機取一個數作為反比例函數中的值，則該函數圖象在第二、第四象限的概率是__________．14．如圖，BA,BC是⊙O的兩條弦，以點B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交BA,BC于點M,N：分別以點M,N為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接BP并延長交于點D；連接OD,OC．若，則等于__________.15．如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣9）與坐標軸交于A、B、C三點，D為頂點，連結AC，BC．點P是該拋物線在第一象限內上的一點．過點P作y軸的平行線交BC于點E，連結AP交BC于點F，則的最大值為_______．16．已知是關于的方程的一個根，則___________.17．如圖，在正方形中，，將繞點順時針旋轉得到，此時與交于點，則的長度為___________.18．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝5，CD＝6，則四邊形ABCD的周長為_______．三、解答題（共78分）19．（8分）[閱讀理解]對于任意正實數、，∵，∴，∴（只有當時，）．即當時，取值最小值，且最小值為．根據上述內容，回答下列問題：問題1：若，當______時，有最小值為______；問題2：若函數，則當______時，函數有最小值為______．20．（8分）如圖，王樂同學在晩上由路燈走向路燈．當他行到處時發現，他往路燈下的影長為2m，且恰好位于路燈的正下方，接著他又走了到處，此時他在路燈下的影孑恰好位于路燈的正下方（已知王樂身高，路燈高）．（1）王樂站在處時，在路燈下的影子是哪條線段？（2）計算王樂站在處時，在路燈下的影長；（3）計算路燈的高度．21．（8分）先化簡，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．22．（10分）數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上.(1)小明發現DG⊥BE，請你幫他說明理由.(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長.23．（10分）某商場銷售一種商品，若將50件該商品按標價打八折銷售，比按原標價銷售這些商品少獲利200元．求該商品的標價為多少元；已知該商品的進價為每件12元，根據市場調查：若按中標價銷售，該商場每天銷售100件；每漲1元，每天要少賣5件那么漲價后要使該商品每天的銷售利潤最大，應將銷售價格定為每件多少元？最大利潤是多少？24．（10分）在平面直角坐標系中，已知，.（1）如圖1，求的值.（2）把繞著點順時針旋轉，點、旋轉后對應的點分別為、.①當恰好落在的延長線上時，如圖2，求出點、的坐標.②若點是的中點，點是線段上的動點，如圖3，在旋轉過程中，請直接寫出線段長的取值范圍.25．（12分）如圖，有長為14m的籬笆，現一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為xm，面積為Sm1．(1)求S與x的函數關系式及x值的取值范圍；(1)要圍成面積為45m1的花圃，AB的長是多少米？(3)當AB的長是多少米時，圍成的花圃的面積最大？26．在如圖所示的網格圖中，已知和點（1）在網格圖中點M為位似中心，畫出，使其與的位似比為1：1．（1）寫出的各頂點的坐標．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據題意，先將一次函數解析式和二次函數解析式聯立方程，求出使得這個方程有兩個不同的實數根時a的取值范圍，然后再求得拋物y＝x2﹣ax+a+1經過A點時的a的值，即可求得a的取值范圍．【題目詳解】解：∵點A（﹣1，﹣1），點B（1，1），∴直線AB為y＝x，令x＝x2﹣ax+a+1，則x2﹣（a+1）x+a+1＝0，若直線y＝x與拋物線x2﹣ax+a+1有兩個不同的交點，則△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，把點A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a＝﹣，由上可得﹣≤a＜﹣1，故選：A．【題目點撥】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．2、C【分析】由拋物線的開口方向判斷a與1的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關系，然后根據對稱軸判定b與1的關系以及2a+b＝1；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c；然后由圖象確定當x取何值時，y＞1．【題目詳解】解：①∵對稱軸在y軸右側，且拋物線與y軸交點在y軸正半軸，∴a、b異號，c＞1，∴abc＜1，故①正確；②∵對稱軸x＝﹣＝1，∴2a+b＝1；故②正確；③∵2a+b＝1，∴b＝﹣2a，∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜1，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜1，故③錯誤；④如圖，當﹣1＜x＜3時，y不只是大于1．故④錯誤．⑤根據圖示知，當m＝1時，有最大值；當m≠1時，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）．故⑤正確．故選：C．【題目點撥】考核知識點:二次函數性質.理解二次函數的基本性質是關鍵.3、C【分析】根據黃金分割公式即可求出.【題目詳解】∵線段，是線段的黃金分割點，當，∴；當，∴，∴．故選：C．【題目點撥】此題考查黃金分割的公式，熟記公式是解題的關鍵.4、D【分析】由題意易證，則有，進而可得，最后根據勾股定理可求解．【題目詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∵將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，∴，∵AP=3cm，∴，∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴；故選D．【題目點撥】本題主要考查旋轉的性質及等腰直角三角形的性質與判定，熟練掌握旋轉的性質及等腰直角三角形的性質與判定是解題的關鍵．5、B【分析】根據反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點（﹣4，）求出k的值，進而根據在反比例函數圖像上的點的橫縱坐標的積應該等于其比例系數對各選項進行代入判斷即可.【題目詳解】∵若反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點（﹣4，），∴k＝﹣4×＝﹣18，A：，故不在函數圖像上；B：，故在函數圖像上；C：，故不在函數圖像上；D：，故不在函數圖像上.故選：B．【題目點撥】本題主要考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，求出k的值是解題關鍵.6、A【分析】先將這組數據從小到大排列，找出最中間的數，就是中位數，出現次數最多的數就是眾數．【題目詳解】解：將這組數據從小到大排列為：2，2，2，3，5，6，8，最中間的數是3，則這組數據的中位數是3；2出現了三次，出現的次數最多，則這組數據的眾數是2；故選：A.【題目點撥】此題考查了眾數、中位數，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數，眾數是一組數據中出現次數最多的數．7、A【分析】根據方差的意義：體現數據的穩定性，集中程度，波動性大小；方差越小，數據越穩定．要比較兩位同學在五次數學測驗中誰的成績比較穩定，應選用的統計量是方差．【題目詳解】平均數，眾數，中位數都是反映數字集中趨勢的數量，方差是反映數據離散水平的數據，也就會說反映數據穩定程度的數據是方差故選A考點：方差8、C【分析】利用勾股定理求出△ABC的三邊長，然后根據勾股定理的逆定理可以得出△ABC為直角三角形，再利用直角三角形斜邊中點的性質，得出AE=CE，從而得到∠CAE=∠ACB，然后利用三角函數的定義即可求解．【題目詳解】解：依題意得，AB=，AC=，BC=，∴AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，

又∵E為BC的中點，

∴AE=CE，

∴∠CAE=∠ACB，

∴sin∠CAE=sin∠ACB=．故選：C．【題目點撥】此題主要考查了三角函數的定義，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根據圖形利用勾股定理求出三角形的三邊長，然后利用勾股定理的逆定理和三角函數即可解決問題．9、B【解題分析】∵拋物線的對稱軸是直線，且圖像經過點（3，0），∴，解得：，∴.故選B.10、B【解題分析】解：∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∵AB=BC，∠ABE=∠BCF，BE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正確；根據題意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°．∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k在Rt△BPQ中，設QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正確；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，∴S四邊形ECFG=4S△BGE，故④錯誤．故選B．點睛：本題主要考查了四邊形的綜合題，涉及正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及折疊的性質的知識點，解決的關鍵是明確三角形翻轉后邊的大小不變，找準對應邊，角的關系求解．11、B【分析】先利用定理求得，再證得，利用對應邊成比例，即可求得答案.【題目詳解】如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴，，設，則，如圖，∴，∴,∴，∴，∵，∴，∴，故選：B【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，熟練運用相似三角形的判定和性質是本題的關鍵．12、B【解題分析】分析：作出圖形，根據平行四邊形的鄰角互補以及角平分線的定義求出∠AEB=90°，同理可求∠F、∠FGH、∠H都是90°，再根據四個角都是直角的四邊形是矩形解答．詳解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵AE、BE分別是∠BAD、∠ABC的平分線，

∴∠BAE+∠ABE=∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠FEH=90°，

同理可求∠F=90°，∠FGH=90°，∠H=90°，

∴四邊形EFGH是矩形．故選B.點睛：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的鄰角互補，角平分線的定義，注意整體思想的利用．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據反比例函數的圖象在第二、第四象限得出，最后利用概率公式進行求解．【題目詳解】∵反比例函數的圖象在第二、第四象限，∴，∴該函數圖象在第二、第四象限的概率是，故答案為：．【題目點撥】本題考查了反比例函數的圖象，等可能情況下的概率計算公式，熟練掌握反比例函數圖象的特征與概率公式是解題的關鍵．14、【分析】根據作圖描述可知BD平分∠ABC，然后利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半可求出∠CBD的度數，由∠ABD=∠CBD即可得出答案.【題目詳解】根據作圖描述可知BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD∵∠COD=70°∴∠BCD=∠COD=35°∴∠ABD=35°故答案為：35°.【題目點撥】本題考查了角平分線的作法，圓周角定理，判斷出BD為角平分線，熟練掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關鍵.15、【分析】根據拋物線的解析式求得A、B、C的坐標，進而求得AB、BC、AC的長，根據待定系數法求得直線BC的解析式，作PN⊥BC，垂足為N．先證明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性質可知PN=PE，然后再證明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性質可得到PF:AF與m的函數關系式，從而可求得的最大值．【題目詳解】∵拋物線y=﹣(x+1)(x﹣9)與坐標軸交于A、B、C三點，∴A(﹣1，0)，B(9，0)，令x=0，則y=1，∴C(0，1)，∴BC，設直線BC的解析式為y=kx+b．∵將B、C的坐標代入得：，解得k=﹣，b=1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+1．設點P的橫坐標為m，則縱坐標為﹣(m+1)(m﹣9)，點E(m，﹣m+1)，∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+1)=﹣m2+1m．作PN⊥BC，垂足為N．∵PE∥y軸，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴===．∴PN=PE=(-m2+1m)．∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+12=10，BC2=90，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+．∵，∴當m時，的最大值為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的解析式、等腰三角形的性質、勾股定理的應用以及相似三角形的證明與性質，求得與m的函數關系式是解題的關鍵．16、2024【分析】把代入方程得出的值，再整體代入中即可求解.【題目詳解】把代入方程得：，即∴故填：2024.【題目點撥】本題考查一元二次方程的解法，運用整體代入法是解題的關鍵.17、【分析】利用正方形和旋轉的性質得出A′D=A′E，進而利用勾股定理得出BD的長，進而利用銳角三角函數關系得出DE的長即可．【題目詳解】解：由題意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，

∴∠DEA′=45°，

∴A′D=A′E，

∵在正方形ABCD中，AD=1，

∴AB=A′B=1，

∴BD=，

∴A′D=，

∴在Rt△DA′E中，DE=．故答案為：.【題目點撥】此題主要考查了正方形和旋轉的性質以及勾股定理、銳角三角函數關系等知識，得出A′D的長是解題關鍵．18、1【分析】根據圓外切四邊形的對邊之和相等求出AD+BC，根據四邊形的周長公式計算即可．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AE=AH，DH=DG，CG=CF，BE=BF，∵AB=AE+EB=5，CD=DG+CG=6，AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG，

即AD+BC=AB+CD=11，

∴四邊形ABCD的周長=AD+BC+AB+CD=1，

故答案為：1．【題目點撥】本題考查的是切線長定理，掌握圓外切四邊形的對邊之和相等是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）2，4；（2）4，1【分析】（1）根據題目給的公式去計算最小值和m的取值；（2）先將函數寫成，對用上面的公式算出最小值，和取最小值時a的值，從而得到函數的最小值．【題目詳解】解：（1），當，即（舍負）時，取最小值4，故答案是：2，4；（2），，當，，，（舍去）時，取最小值6，則函數的最小值是1，故答案是：4，1．【題目點撥】本題考查實數的運算，解題的關鍵是根據題目給的公式進行最值的計算．20、（1）線段CP為王樂在路燈B下的影子；（2）王樂站在Q處時，在路燈A下的影長為1.5m；（3）路燈A的高度為12m【分析】（1）影長為光線與物高相交得到的陰影部分；

（2）易得Rt△CEP∽Rt△CBD，利用對應邊成比例可得QD長；

（3）易得Rt△DFQ∽Rt△DAC，利用對應邊成比例可得AC長，也就是路燈A的高度．【題目詳解】解：（1）線段CP為王樂在路燈B下的影子．（2）由題意得Rt△CEP∽Rt△CBD，∴，解得：QD=1.5m．所以王樂站在Q處時，在路燈A下的影長為1.5m（3）由題意得Rt△QDF∽Rt△CDA，∴，∴，解得：AC=12m．所以路燈A的高度為12m.【題目點撥】本題考查了中心投影及相似的判定和性質，利用兩三角形相似，對應邊成比例來求線段的長．21、【分析】利用分式的乘法和除法進行化簡，再把x、y的值代入計算，即可得到答案.【題目詳解】解：原式＝＝．當x=sin45°=，y=cos60°=時，原式＝．【題目點撥】本題考查了特殊角的三角函數值，分式的化簡求值，以及分式的混合運算，解題的關鍵是正確的進行化簡，掌握特殊角的三角函數值.22、（1）詳見解析；（2）3.【解題分析】（1）根據正方形的性質，得△ADG≌△ABE，所以∠AGD＝∠AEB.延長EB交DG于點H.由圖形及題意，得到∠DHE＝90°，所以，.（2）根據正方形的性質等，先證明△ADG≌△ABE(SAS)，得到DG＝BE.過點A作AM⊥DG交DG于點M.由題意，得AM＝BD＝1，再由勾股定理，得到GM＝2，所以DG＝DM＋GM＝1＋2＝3，最后得到BE＝DG＝3.【題目詳解】(1)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE∴△ADG≌△ABE∴∠AGD＝∠AEB如圖1，延長EB交DG于點H△ADG中∠AGD＋∠ADG＝90°∴∠AEB＋∠ADG＝90°△DEH中,∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°∴∠DHE＝90°∴(2)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形∴AD＝AB,∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG∴∠DAG＝∠BAEAD＝AB,∠DAG＝∠BAE,AG＝AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴DG＝BE如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M,∠AMD＝∠AMG＝90°BD是正方形ABCD的對角線∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°,BD＝2∴AM＝BD＝1在Rt△AMG中，∵∴GM＝2∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3∴BE＝DG＝3【題目點撥】本題考查了三角形全等判定定理及勾股定理在圖形證明中的綜合運用，熟練掌握三角形全等判定定理及勾股定理在圖形證明中的綜合運用.23、（1）20；（2）26，980.【分析】(1)設該商品的標價為x元，根據按標價的八折銷售該商品50件比按標價銷售該商品50件所獲得的利潤少200元，列方程求解；(2)設該商品每天的銷售利潤為y元，銷售價格定為每件x元，列出y關于x的函數解析式，求出頂點坐標即可得解.【題目詳解】解：設該商品的標價為a元，由題意可得：，解得：；答：該商品的標價為20元；設該商品每天的銷售利潤為y元，銷售價格定為每件x元，由題意可得：；，所以銷售單價為26元時，商品的銷售利潤最大，最大利潤是980元．【題目點撥】本題考查了一元一次方程的應用和運用二次函數解決實際問題.24、（1）;（2）①，②;（3）【解題分析】（1）作AH⊥OB，根據正弦的定義即可求解；（2）作MC⊥OB，先求出直線AB解析式，根據等腰三角形的性質及三角函數的定義求出M點坐標，根據MN∥OB，求出N點坐標；（3）由于點C是定點，點P隨△ABO旋轉時的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓，故根據點和圓的位置關系可知，當點P在線段OB上時，CP=BP-BC最短；當點P在線段OB延長線上時，CP=BP+BC最長．又因為BP的長因點D運動而改變，可先求BP長度的范圍．由垂線段最短可知，當BP垂直MN時，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以點P與M重合時，BP=BM最長，代入CP=BP+BC求CP的最大值．【題目詳解】（1）作AH⊥OB，∵，.∴H（3,5）∴AH=3,AH=∴==（2）由（1）得A（3,4），又求得直線AB的解析式為：y=∵旋轉，∴MB=OB=6,作MC⊥OB，∵AO=BO，∴∠AOB=∠ABO∴MC=MBsin∠ABO=6×=即M點的縱坐標為，