高等代數課程教學大綱一、課程闡明1、課程性質：高等代數是高等院校數學系數學與應用數學專業的一門重要基礎課。對學生數學思想的形成有著重要意義，是深入學習近世代數、常微分方程等后繼課的基礎，也為深入理解中學數學打下必要的基礎。高等代數是現代數學的基礎知識，是學習其他數學學科和現代科學知識的必備基礎和重要工具，尤其在本世紀，計算機技術、通訊信息技術和現代生物工程技術已成為最熱門的學科領域，這些學科的發展均需要代數學的知識與支持。高等代數也是師范院校數學與應用數學專業的一門重要基礎課程，既是中學代數的繼續和提高，對于中學數學教學工作具有重要的理論指導作用，又是輸送更高層次優秀人才的專業知識保證。2、課程教學目的規定（1）使學生掌握多項式理論、線性代數理論的基礎知識和基本理論，著重培養學生處理問題的基本技能。(2)使學生熟悉和掌握本課程所波及的現代數學中的重要思想措施，提高其抽象思維、邏輯推理和代數運算的能力。(3)使學生深入掌握詳細與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關系，培養其辯證唯物主義觀點。(4)逐漸培養學生的對真理知識的發現和創新的能力，訓練其對特殊實例的觀測、分析、歸納、綜合、抽象概括和探索性推理的能力。(5)使學生對中學數學有關內容從理論上有更深刻的認識，以便可以居高臨下地掌握和處理高級中學數學教材，深入提高中學數學教學質量。(6) 根據教學的實際內容的需要，對大綱所列各章內容，分別提出了詳細的目的規定，教課時必須著重抓住重點內容進行教學。本課程分以一元多項式為主體的多項式理論和線性代數兩部分。線性代數部分波及行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐幾里得空間等。本課程教學重點應放在多項式理論與線性代數理論。多項式理論以一元多項式的因式分解唯一性定理為主體簡介了有關多項式的某些必要的知識，為后繼課提供準備；線性代數部分則較為系統地簡介了線性方程組，線性空間與線性變換理論。本課程的難點有行列式的Laplace定理的展開定理，線性變換的值域與核、線性空間按特性值分解成不變子空間的直和，λ-矩陣和Jordan原則形的推導等。3、先行或后繼課高等代數是在中學代數基礎上在第一、第二學期開設的課程，是中學代數的深化與提高。后繼課程有近世代數、群論、環論等課程，它也是數學專業其他課程的基礎。4、教課時數分派表本課程學分為12學分。本課程講授時間為一年共186課時，第一學期84課時，第二學期102課時。其各章課時分派如下：章節目錄課時分派第一章多項式第一節數域127第二節一元多項式1第三節整除的概念2第四節最大公因式2第五節因式分解定理2第六節重因式2第七節多項式函數2第八節復系數與實系數多項式的因式分解2第九節有理系數多項式3第十節多元多項式2第十一節對稱多項式2習題課6第二章行列式第一節引言117第二節排列1第三節n級行列式2第四節n級行列式的性質2第五節行列式的計算2第六節行列式按一行（列）展開2第七節克拉默（Cramer）法則2第八節拉普拉斯（Laplace）定理.行列式的乘法規則2習題課4第三章線性方程組第一節消元法222第二節n維向量空間2第三節線性有關性4第四節矩陣的秩2第五節線性方程組有解鑒別定理2第六節線性方程組解的構造4習題課6第四章矩陣第一節矩陣概念的某些背景117第二節矩陣的運算2第三節矩陣乘積的行列式與秩2第四節矩陣的逆2第五節矩陣的分塊2第六節初等矩陣2第七節分塊乘法的初等變換及應用2習題課4第五章二次型第一節二次型及其矩陣表達216第二節原則型4第三節唯一性2第四節正定二次型4習題課4第六章線性空間第一節集合.映射119第二節線性空間的定義與簡樸性質2第三節維數.基與坐標2第四節基變換與坐標變換2第五節線性子空間2第六節子空間的交與和2第七節子空間的直和2第八節線性空間的同構2習題課4第七章線性變換第一節線性變換的定義127第二節線性變換的運算3第三節線性變換的矩陣4第四節特性值與特性向量3第五節對角矩陣2第六節線性變換的值域與核2第七節不變子空間3第八節若當（Jordan）原則形簡介1第九節最小多項式2習題課6第八章λ-矩陣第一節λ-矩陣117第二節λ-矩陣在初等變換下的原則型2第三節不變因子2第四節矩陣相似的條件2第五節初等因子2第六節若當（Jordan）原則形的理論推導2第七節矩陣的有理原則形2習題課4第九章歐幾里德空間第一節定義與基本性質224第二節原則正交基2第三節同構2第四節正交變換2第五節正交子空間2第六節實對稱矩陣的原則形4第七節向量到子空間的距離.最小二乘法2第八節酉空間簡介2習題課6總課時數1865、使用教材本課程選用的教材是北京大學數學系編《高等代數》第三版6、教學措施與手段采用課堂講授及討論的教學措施，本課程以黑板講授為主，輔以多媒體演示，由于該課程較抽象，在教學中要重視多舉例子、多講習題、多引導思索；要重視對教材內容各個知識點的理解，對教學內容、教學措施與教學手段的改革，要突出教材內容所體現的數學思想、措施，加強學生應用數學的能力；要重視對學生證明技巧、證明思緒的訓練；要增強以學生為主體的啟發式、討論式教學措施；要讓學生多加練習、多加思索，提出問題，質疑解答。7、考核方式考試成績按百分制計算,其中考試成績占80%,平時作業、課堂考核占20%8、重要參照書目張禾瑞、郝炳新.高等代數.北京：高等教育出版社，1983.姚慕生.高等代數.上海：復旦大學出版社，.藍以中.高等代數.北京：北京大學出版社，.陳志杰.高等代數與解析幾何.北京：高等教育出版社，1996.張賢科.高等代數.北京：清華大學出版社（第二版），.李師正.高等代數解題措施與技巧.北京：高等教育出版社，.王品超.高等代數新措施.徐州：中國礦業大學出版社，.錢吉林.高等代數題解精粹.北京：中央民族大學出版社，.張禾瑞.近世代數基礎.北京：高等教育出版社，1992.10、馮克勤等.近世代數引論.合肥：中國科學技術大學出版社，.11、熊全淹.近世代數.武漢：武漢大學出版社，1999.二、課程內容第一章多項式（27課時）1、教學目的及規定：掌握帶余除法、因式分解定理、復系數與實系數的因式分解及有理系數多項式的有關結論。2、教學重點：因式分解及唯一性定理，有理系數多項式的因式分解。3、教學難點：有理系數多項式的因式分解。4、重要內容教學規定：知識目的：（1）掌握一元多項式的概念和運算規則，整除互素的概念及簡樸性質并能進行有關論證。（2）掌握最大公因式概念和求法，因式分解定理及有關因式的條件，在復數實數范圍內進行因式分解的理論成果。（3）掌握多項式有理根鑒別，有理不可約多項式的概念，艾森斯坦鑒別法及應用。能力目的：（1）訓練學生領會和把握多項式的概念和運算規則。（2）掌握多項式的基本理論中的公理化定義、性質，并且能應用這些理論進行推理論證、計算和處理問題。5、各章節重要知識點及教課時間分派:§1數域(1課時)§2一元多項式(1課時)有關多項式的概念多項式的代數性質§3整除的概念(2課時)整除概念整除性幾種常用性質不可約多項式§4最大公因式(2課時)最大公因式的定義及唯一性最大公因式的存在性及求法互素的概念最大公因式、互素概念的推廣§5因式分解定理(2課時)不可約多項式及其性質因式分解唯一性定理§6重因式(2課時)某些概念：重因式、單因式、微商等重因式的鑒別及求法去掉因式重數的措施§7多項式函數(2課時)多項式的根多項式的根的個數§8復系數與實系數多項式的因式分解(2課時)復數域上多項式的分解實數域上多項式的分解§9有理系數多項式(3課時)有理系數多項式的根1）本原多項式及Gauss引理2）確定整系數多項式有理根的范圍3）求有理系數多項式根的措施Eisenstein鑒別法§10多元多項式(2課時)基本概念多元多項式中單項式的排列次序兩個結論(有關乘積首項和次數)多元多項式函數§11對稱多項式(2課時)基本概念、對稱多項式環、初等對稱多項式對稱多項式的基本定理一元多項式的鑒別式習題課（6課時）第二章行列式（17課時）1、教學目的和規定：通過本章學習，使學生純熟掌握計算行列式的三種措施：運用定義、運用性質、降階，并會運用Gramer法則求線性方程組的解。2、教學重點：n階行列式的定義，行列式的性質，行列式的某些計算及有關Gramer法則。3、教學難點：Laplace定理，行列式乘法規則。4、重要內容教學規定：知識目的：（1）掌握排列、n階行列式的定義和基本性質（2）掌握子式、余子式、代數余子式及行列式的依行依列展開，克拉默定理。（3）純熟掌握用化上三角形式，依行依列展開法，以及用行列式性質，建立遞推公式，克拉默定理等措施計算行列式，證明行列式的性質及基本理論。能力目的：（1）訓練學生領會和把握n階行列式的定義和基本性質。（2）掌握n階行列式的基本理論、性質，并且能應用這些理論進行n階行列式的計算以及論證問題。5、各章節重要知識點及教課時間分派:§1引言§2排列(2課時)基本概念：n級排列，逆序數，偶(奇)排列，對換排列的奇偶性§3n級行列式(2課時)一般行列式的定義行與列的地位是對稱的§4n級行列式的性質(2課時)行列式的性質應用實例§5行列式的計算(2課時)矩陣的初等變換行列式計算§6行列式按一行(列)展開(2課時)行列式按一行展開的性質展開性質的應用§7Cramer法則(2課時)§8Laplace定理、行列式乘法法則(2課時)Laplace定理行列式乘法規則習題課（4課時）第三章線性方程組（22課時）1、教學目的及規定：使學生掌握n維向量的線性運算及線性方程組的求解措施。2、教學重點：以線性有關性概念及線性方程組有解鑒定定理為重點。3、教學難點：線性有關性理論和線性方程組解的理論為難點。4、重要內容教學規定：知識目的：掌握矩陣三種初等變換的意義掌握消去法解線性方程組的措施掌握矩陣的秩，線性方程組可解的鑒別法及有解、無解、唯一解的理論和解法。能力目的：（1）訓練學生理解和領會矩陣三種初等變換的意義（2）能應用消去法解線性方程組、以及能純熟應用矩陣的秩，線性方程組可解的鑒別法的理論。5、各章節重要知識點及教課時間分派:：§1消元法(2課時)方程組的初等變換方程組的有解鑒別§2n維向量空間(2課時)n維向量概念n維向量的運算§3線性有關性(4課時)某些概念：線性組合、向量組等價、線性有關(無關)線性有關性的鑒定極大線性無關組及向量組的秩§4矩陣的秩(2課時)矩陣的秩矩陣秩的求法§5線性方程組有解鑒定定理(2課時)有解鑒定定理線性方程組解的求法§6線性方程組的構造(4課時)齊次線性方程組解的構造一般線性方程組解的構造線性方程組解的幾何意義習題課（6課時）第四章矩陣（17課時）1、教學目的及規定：使學生純熟掌握矩陣的基本運算和初等變換的應用。2、教學重點：矩陣的乘法規則及可逆矩陣求逆的措施要重點掌握。3、教學難點：理解初等變換與矩陣乘法的聯絡和幾種求逆矩陣的措施。4、重要內容教學規定：知識目的：（1）掌握矩陣加法，數乘、乘法運算規則，分塊運算規則。（2）掌握逆矩陣的定義，可逆的條件及簡樸的運算性質。（3）純熟掌握用伴隨矩陣及初等變換兩種求逆矩陣的措施，會用初變換措施求矩陣的秩，能用分塊矩陣求某些分塊陣的逆矩陣。（4）理解初等變換與初等矩陣的關系，掌握矩陣秩定義及等價論述掌握矩陣等價分解的形式。（5）能用某些概念和性質進行初等的推理和證明，尤其是用等價分解的措施證明某些問題。能力目的：（1）訓練學生能純熟進行矩陣運算，矩陣三種初等變換，求逆矩陣。（2）能應矩陣三種初等變換，初等矩陣以及矩陣的秩和行列式，矩陣可逆的條件等理論論證問題。5、各章節重要知識點及教課時間分派:§1矩陣的概念(1課時)§2矩陣的運算(2課時)§3矩陣乘積的行列式與秩(2課時)§4矩陣的逆(2課時)可逆矩陣可逆矩陣的性質可逆矩陣的兩個應用§5矩陣的分塊(2課時)分塊矩陣的乘積分塊矩陣的應用§6初等矩陣(2課時)初等矩陣與初等變換逆矩陣的求法§7分塊乘法的初等變換及應用舉例(2課時)分塊乘法的初等變換應用舉例習題課（4課時）第五章二次型（16課時）1、教學目的及規定：使學生掌握用非退化線性替代，化二次型為原則形及判斷二次型的正定性。2、教學重點：以配措施和初等變換法化原則形和正定性的鑒別為重點。3、教學難點：化原則形和正定性的鑒別為難點。4、重要內容教學規定：知識目的：（1）掌握實二次型的三種體現形式。（2）掌握正定二次型，負正二次型的對應等價條件及實二次型的慣性定理，進行有關論證。（3）掌握二次型化簡與對稱陣協議的關系，（4）掌握實數域上二次型都可通過變量的正交變換化為原則形及其理論和應用。能力目的：（1）能用正交變換化二次型為原則形、能應用有關理論證明正、負、不定性。（2）能用初等變換措施及配措施化簡一般數域上的二次型。用證明問題。5、各章節重要知識點及教課時間分派:§1二次型的矩陣表達(2課時)二次型及二次型矩陣替代前后二次型矩陣的關系§2原則形(4課時)二次型的原則形求原則形的措施1)、配措施2)、初等變換法§3唯一性(2課時)二次型的秩實二次型的規范形復二次型的規范形§4正定二次型(4課時)正定二次型及其性質正定性的鑒別與正定二次型平行的幾種類型習題課（6課時）第六章線性空間（19課時）1、教學目的及規定：以向量空間為幾何模型協助學生理解有關概念，讓學生理解線性空間的基本構造，會進行某些基本運算。2、教學重點：以線性空間維數和基的求解為重點。3、教學難點：難點為對同構和直和的理解。4、重要內容教學規定：知識目的：（1）掌握向量空間的定義和性質，并能判斷驗證向量空間。（2）掌握子空間的定義及充要條件，線性有關性及其理論，掌握替代定理，純熟應用這些理論處理問題。基、維數、維數公式及有關的理論，掌握子空間的運算和等價命題。（4）掌握坐標的定義、坐標變換公式、線性空間同構的概念。（5）掌握齊次線性方程組解空間的理論，并能運用這些理論于論證和計算。能力目的：（1）訓練學生能純熟應用基、維數、維數公式理論處理問題。（2）能應用基變換公式、坐標變換公式、線性空間同構、齊次線性方程組解空間的理論論證和計算。5、各章節重要知識點及教課時間分派:§1集合、映射(1課時)§2線性空間的定義及簡樸性質(2課時)§3維數、基與坐標(2課時)線性有關性及幾種結論維數、基與坐標§4基變換與坐標變換(2課時)基變換與坐標變換有關過渡矩陣的求法§5線性子空間(2課時)線性子空間及其鑒別生成子空間§6子空間的交與和(2課時)子空間的交與和定義維數公式子空間交與和的求法§7子空間的直和(2課時)§8線性空間的同構(2課時)(一)同構的概念(二)同構的性質習題課（4課時）第七章線性變換（27課時）1、教學目的及規定：通過研究線性變換，規定學生在理解概念的基礎上純熟掌握線性變換在某組基下的矩陣的求解措施。2、教學重點：以線性變換在不一樣基下矩陣的關系，矩陣的對角化及不變子空間為重點。3、教學難點：線性變換在不一樣基下對應不一樣的矩陣，線性變換的值域與核，線性空間按特性值分解成不變子空間的直和，為本章難點。4、重要內容教學規定：知識目的：（1）掌握線性映射，線性變換的定義與運算規則；（2）會求線性變換在基下的矩陣，掌握線性變換與矩陣對應關系。（3）掌握矩陣特性值和特性向量的概念及求法；（4）掌握矩陣相似于對角陣的條件及特性向量是線性無關的，用其證明問題。（5）掌握不變子空間的概念和性質。（6）運用線性變換進行有關論證。能力目的：（1）會求線性變換在基下的矩陣、矩陣的特性值和特性向量、能應用線性變換與矩陣相似理論論證問題。（2）會判斷一種子空間與否為線性變換的不變子空間。5、各章節重要知識點及教課時間分派:§1線性變換定義(2課時)§2線性變換的運算(2課時)運算及運算規律線性變換多項式§3線性變換矩陣(3課時)線性變換在一組基下的矩陣1)線性變換在一組基下的矩陣2)坐標變換公式(二)線性變換在不一樣基下的矩陣線性變換在不一樣基下的矩陣的關系相似矩陣的性質§4特性值、特性向量的定義(3課時)特性值、特性向量的求法特性多項式的性質§5對角矩陣(2課時)某組基下的矩陣為對角陣的線性變換相似對角陣及所對應基的求法§6線性變換的值域與核(2課時)值域與核的定義及其性質值域與核的求法§7不變子空間(2課時)不變子空間舉例不變子空間與線性變換矩陣化簡的關系V的分解§8Jordan原則形簡介(2課時)§9最小多項式(2課時)(一)最小多項式及其基本性質(二)最小多項式的求法(三)運用最小多項式鑒別一種矩陣與否可對角化習題課（6課時）第八章λ－矩陣（17課時）1、教學目的及規定：掌握λ-矩陣的原則形唯一性和矩陣相似的條件。2、教學重點：化λ-矩陣成原則形及求不變因子。3、教