基于枚舉法的水流護沙力公式系數的確定

在中國，許多河流、河口和海岸區域的泥沙運移和底板沉降變化的數值模擬引入了水流輸送的概念，通過現場數據得出了水流輸送的公式。該方法成功解決了許多技術的沉積物問題，如大壩水庫的沉積和長江口深水運河的修復工程中的沉積物回歸。水流挾沙力公式由能量平衡原理得出,與水流流速(v)、泥沙沉速(ω)和水域水深(h)等因素建立函數關系,其一般表達式為:S=k(v3ghω)m(1)S=k(v3ghω)m(1)上式即著名的張瑞瑾公式。在河口及海岸水域,由于影響泥沙沉降的因素更為復雜,故水流挾沙力公式有時更簡潔,如錢塘江口公式和劉家駒公式等,常表示為如下形式:S=k(v2gh)m(2)S=k(v2gh)m(2)由于公式(1)及(2)以指數形式給出,在確定公式系數k和m時,為了便于應用最小二乘法,常常需對公式兩邊取對數,對(1)可轉化成ln(S)=mln(v3ghω)+lnkln(S)=mln(v3ghω)+lnk的線性形式,這種方法至今仍被廣泛應用。本文通過誤差分析和實例研究發現,上述方法其實只使預測值與實測值之間相對誤差的總和達到最小,而不能使兩者絕對誤差的總和達到最小,同時兩者的相關系數也不是最佳的。為此,本文提出了一種新的方法——枚舉法。枚舉法直接應用最小二乘法,有別于上述先取對數后再進行回歸分析的傳統方法,可使所確定系數k和m更加合理,也使公式更能客觀地反映水流挾帶泥沙的實際能力。1追求目標函數的變分迭代應用最小二乘法進行回歸分析時,所確定的目標函數是預測值與實測值之間絕對誤差平方的總和,即∑i|Sci?Si|2∑i|Sic-Si|2,其中Sciic、Si分別為第i個樣本的預測值和實測值。當式(1)或(2)兩邊取對數后應用最小二乘法時,相應的目標函數為∑i|lnSci?lnSi|2∑i|lnSic-lnSi|2,由于lnSci?lnSi=ln(Sci/Si)=ln[1?(Sci?Si)/Si]≈(Sci?Si)/Si(3)lnSic-lnSi=ln(Sic/Si)=ln[1-(Sic-Si)/Si]≈(Sic-Si)/Si(3)因此,對數后的目標函數可近似為兩者相對誤差平方的總和,也可理解為兩者絕對誤差加權平方的總和,其中第i個樣本權重為1/Si。顯然,當Si<1時,該樣本在目標函數中的權重加大,反之權重減小。事實上,就泥沙問題而言,對高含沙的情況應該更加關注,因此以兩者相對誤差平方的總和作為目標函數是否合適值得商榷的。另一方面,從衡量公式精度的另一系數即相關系數來看,對數后ln(Sciic)與ln(Si)的相關性并不能代表Sciic與Si的相關性,在許多情況下,對數后相關性高并不能說明原相關性高。因此,最終應以Sciic與Si的相關性作為標準來衡量。2采用盤舉法的步驟,將其所確保的測值納入到最小二乘法的范圍,有利于確定指數m的m由公式(1)或(2)的推導過程及迄今為止的許多研究成果易知,系數k因影響因素復雜變幅較大,而指數m的范圍基本上是可以確定的,一般在0～3之間,這為枚舉法在這類公式系數確定中的應用提供了可能性。應用枚舉法的具體步驟是1)根據指數m的精度要求,確定枚舉過程中m的初始值m0、步長Δm和最大值;一般m0=0、Δm=0.01、m的最大值定為3即可。2)對m的不同取值mi=m0+iΔm,直接應用最小二乘法,目標函數是預測值與實測值之間絕對誤差平方的總和,可得到相應的ki,同時得到相應目標函數的大小。3)搜索使目標函數達到最小的i值,從而可知ki和mi的值。4)進行預測值與實測值之間的相關分析,得出相關系數。顯然,枚舉法不僅可以確定式(1)或(2)中的系數k和m,而且還可以確定類似y=kxm+b中的k、b和m,而此類公式此前尚無理想的確定方法。3半潮平均泥沙濃度為了檢驗枚舉法的有效性,并與傳統方法進行比較,我們結合浙江省嵊泗海域的實測水沙資料進行分析,該海域基本處于沖淤平衡狀態,據多年實測資料泥沙沉速在0.0004～0.001m/s之間,采用半潮平均泥沙濃度。3.1不同漲、落潮條件下絕對誤差m值的計算圖1為公式(1)計算值與實測值絕對誤差的平方和隨指數m的變化曲線,在不同漲、落潮條件下,絕對誤差平方和均存在最小值,該值對應的m值即為本文推薦方法所確定的公式系數,而由傳統方法所確定系數m也在圖中標注,顯然本文所確定的m值能使總的絕對誤差達到最小,因此更符合實際情況。3.2含沙量執行情況由本文方法和傳統方法確定的系數m、k值見表1,同時不同公式的計算值與實測值的比較見圖2,從圖中可以發現,當含沙量超過某一值后,傳統方法得到的含沙量值明顯偏低,含沙量越高,偏差越大,如上分析這是方法本身的局限所造成的,而本文方法則有明顯改進。另一方面,通過含沙量變幅的比較(見表2),可知由本文方法得出的計算含沙量的變幅更接近于實際情況,而傳統方法則明顯偏窄。3.3含沙量與實測值的相關分析對數后的相關系數并不能真正反映含沙量計算值與實測值的相關性,以公式(1)為例,對數相關僅是ln(S)與ln(v3ghω)ln(v3ghω)之間的相關,因此不同的k、m值并不影響兩者的相關系數,通過含沙量計算值與實測值的相關分析(見圖3～6),可得出相應的相關系數r(見表3),從中可以看出,本文方法可使含沙量計算值與實測值的相關系數得到提高。4發揮好的作用隨著計算機的高速發展,以前難以被應用的枚舉法,可以在許多科學及工程問題的研究中發揮更好的作用。為此,