二、無界函數(shù)廣義積分收斂判別法廣義積分無窮限廣義積分無界函數(shù)廣義積分一、無窮限廣義積分收斂判別法§2廣義積分收斂判別法第1頁9/16/20231寧波大學(xué)教師教育學(xué)院一、無窮限廣義積分收斂判別法定理1.若函數(shù)證:依據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知存在,第2頁9/16/20232寧波大學(xué)教師教育學(xué)院（Cauchy收斂原理）定理2.證：利用無窮限廣義積分收斂定義以及極限存在Cauchy準(zhǔn)則即得。第3頁9/16/20233寧波大學(xué)教師教育學(xué)院

柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），十九世紀(jì)前半世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家。1789年8月21日生于巴黎。在大學(xué)畢業(yè)后當(dāng)土木工程師，因數(shù)學(xué)上成就被推薦為科學(xué)院院士，同時任工科大學(xué)教授。以后在巴黎大學(xué)任教授，一直到逝世。在代數(shù)學(xué)上，他有行列式論和群論創(chuàng)始性功勞；在理論物理學(xué)、光學(xué)彈性理論等方面，也有顯著貢獻(xiàn)。他專長是在分析學(xué)方面，他對微積分給出了嚴(yán)密基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)情況下微分方程解存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松勉勵下，柯西出版了《分析教程》、《無窮小計(jì)算講義》、《無窮小計(jì)算在幾何中應(yīng)用》這幾部劃時代著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念嚴(yán)格定義。柯西極限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上。第4頁9/16/20234寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理3.

(比較原理)且對充,則證:不失普通性,所以單調(diào)遞增有上界函數(shù),第5頁9/16/20235寧波大學(xué)教師教育學(xué)院說明:已知得以下比較判別法.極限存在,第6頁9/16/20236寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理4.(比較判別法1)第7頁9/16/20237寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例1.

判別廣義積分解:收斂性.由比較判別法1可知原積分收斂.思索題:討論廣義積分收斂性.提醒:當(dāng)x≥1時,利用可知原積分發(fā)散.第8頁9/16/20238寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理5.(極限判別法1)則有:1)當(dāng)2)當(dāng)證:1)依據(jù)極限定義,對取定當(dāng)x充分大時,必有,即滿足第9頁9/16/20239寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2)當(dāng)可取必有即注意:此極限大小刻畫了第10頁9/16/202310寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例2.

判別廣義積分收斂性.解:依據(jù)極限判別法1,該積分收斂.例3.判別廣義積分收斂性.

解:依據(jù)極限判別法1,該積分發(fā)散.第11頁9/16/202311寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理6.證：則而第12頁9/16/202312寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定義.設(shè)廣義積分則稱絕對收斂;則稱條件收斂.例4.判斷廣義積分收斂性.解:依據(jù)比較判別法知，故由定理6知所給積分收斂(絕對收斂).第13頁9/16/202313寧波大學(xué)教師教育學(xué)院無界函數(shù)廣義積分可轉(zhuǎn)化為無窮限廣義積分.二、無界函數(shù)廣義積分收斂判別法由定義比如所以無窮限廣義積分收斂判別法完全可平移到無界函數(shù)廣義積分中來.第14頁9/16/202314寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理7.(比較判別法2)定理3瑕點(diǎn),有有利用類似定理4與定理5，有以下收斂判別法.使對一切充分靠近ax(x>a).第15頁9/16/202315寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理8.(極限判別法2)則有:1)當(dāng)2)當(dāng)例5.判別廣義積分解:利用洛必達(dá)法則得依據(jù)極限判別法2,所給積分發(fā)散.第16頁9/16/202316寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例6.判定橢圓積分定理4斂性.解:因?yàn)槭找罁?jù)極限判別法2,橢圓積分收斂.第17頁9/16/202317寧波大學(xué)教師教育學(xué)院類似定理6,有以下結(jié)論:例7.

判別廣義積分收斂性.解:稱為絕對收斂.故對充分小從而據(jù)比較判別法2,所給積分絕對收斂.則廣義積分第18頁9/16/202318寧波大學(xué)教師教育學(xué)院三、函數(shù)1.定義下面證實(shí)這個特殊函數(shù)在內(nèi)收斂.令第19頁9/16/202319寧波大學(xué)教師教育學(xué)院總而言之,第20頁9/16/202320寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2.性質(zhì)(1)遞推公式證:(分部積分)注意到:第21頁9/16/202321寧波大學(xué)教師教育學(xué)院(2)證:(3)余元公式:(證實(shí)略)第22頁9/16/202322寧波大學(xué)教師教育學(xué)院(4)得應(yīng)用中常見積分這表明左端積分可用函數(shù)來計(jì)算.比如,第23頁9/16/202323寧波大學(xué)教師教育學(xué)院四、*A-D判別法定理9(1)(Abel判別法)(2)(Dirichlet判別法)第24頁9/16/202324寧波大學(xué)教師教育學(xué)院阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）

挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在奧斯陸）教區(qū)窮牧師六個孩子之一。阿貝爾在他全部著作中都打下了天才烙印和表現(xiàn)出了不起思維能力。我們能夠說他能夠穿透一切障礙深入問題根底，含有似乎無堅(jiān)不摧氣勢...。他又以品格純樸高尚以及罕見謙遜精神出眾，使他人品也像他天才那樣受到人們不一樣尋常愛戴。”數(shù)學(xué)家們有法紀(jì)念他們中偉人，我們常說阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法、阿貝爾可和性。極少有幾個數(shù)學(xué)家能使他名字同數(shù)學(xué)中這么多概念和定理聯(lián)絡(luò)在一起。第25頁9/16/202325寧波大學(xué)教師教育學(xué)院狄利克萊（Dirichlet）（1805-1859）

德國數(shù)學(xué)家。解析數(shù)論創(chuàng)始人之一。在數(shù)論方面關(guān)于Fermat方程，先后給出了n=5,n=14時無整數(shù)解證實(shí)。他著有《數(shù)論講義》（1863，遺著），對Gauss《算術(shù)研究》作出了清楚解釋并有自己獨(dú)創(chuàng)。他證實(shí)了在任何算術(shù)序列{a+nb}(其中a與b互素)中，必存在無窮多個素?cái)?shù)，這就是著名Dirichlet定理。他在分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也有很多重大貢獻(xiàn)。在1892年論文“關(guān)于三角級數(shù)收斂性”中得到給定函數(shù)f(x)Fourier級數(shù)收斂第一充分條件.這一研究還促使他將函數(shù)作了普通化推廣。1829，他給出了含有經(jīng)典意義函數(shù)：稱為Dirichlet函數(shù)。這一工作使得數(shù)學(xué)從研究函數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)變到研究函數(shù)概念，性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。他在1837年證實(shí)了：對一個絕對收斂級數(shù)，能夠把它項(xiàng)加以組合重新排列，而不改變原級數(shù)和，并舉例說明對一個條件收斂級數(shù)則不然。他修改了Gauss關(guān)于位函數(shù)論一個原理，引入了所謂Dirichlet原理。還敘述了著名第一邊值問題（現(xiàn)稱為Dirichlet問題）。Dirichlet是Gauss學(xué)生和繼承人。他一生敬仰Gauss.他說Gauss講課是“一生所聽過最好，最難忘課。”1855年，Gauss逝世后，他作為Gauss繼承者被哥丁根大學(xué)聘為教授，接替Gauss原任職務(wù)，直到逝世。

第26頁9/16/202326寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例8解第27頁9/16/202327寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例9解第28頁9/16/202328寧波大學(xué)教師教育學(xué)院與定理9類似，我們有(1)(Abel判別法)(2)(Dirichlet判別法)第29頁9/16/202329寧波大學(xué)教師教育學(xué)院內(nèi)容小結(jié)1.兩類廣義積分比較判別法和極限判別法.2.若在同一積分式中出現(xiàn)兩類廣義積分,習(xí)題課可經(jīng)過分項(xiàng)使每