第4節隨機事件、頻率與概率考試要求1.了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.1.概率與頻率一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).2.事件的運算定義表示法圖示并事件事件A與事件B至少有一個發生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A與事件B同時發生，稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)3.事件的關系定義表示法圖示包含關系若事件A發生，事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)互斥事件如果事件A與事件B不能同時發生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝?，則A與B互斥對立事件如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，則A與B對立1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集.(2)事件A的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.2.概率加法公式的推廣當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)事件發生的頻率與概率是相同的.()(2)在大量的重復實驗中，概率是頻率的穩定值.()(3)若隨機事件A發生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.()(4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析隨機事件的概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值，故(1)錯.(4)中，甲中獎的概率與乙中獎概率相同.2.(2021·珠海期末)一個人打靶時連續射擊兩次，與事件“至少有一次中靶”互斥的事件是()A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶答案D解析“兩次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同時發生，故D正確.3.已知隨機事件A，B發生的概率滿足條件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜測事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))發生，則此人猜測正確的概率為()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,4) D.0答案C解析∵事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))與事件A∪B是對立事件，∴事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))發生的概率P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，則此人猜測正確的概率為eq\f(1,4).4.(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者()A.10名 B.18名 C.24名 D.32名答案B解析由題意，第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，即第二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，加上積壓的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名).5.(多選)(2022·煙臺模擬)下列命題正確的是()A.對立事件一定是互斥事件B.若A∩B為不可能事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件答案AB解析由對立事件的定義可知A正確；由于A∩B為不可能事件，所以A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即B正確；事件A，B，C兩兩互斥，并不代表A∪B∪C是必然事件，故C不正確；D中，設擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現一次正面”，事件B：“3次出現正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件，故D不正確.6.一只袋子中裝有7個紅球，3個綠球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個球，若取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為________，至少取得一個紅球的概率為________.答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，則要取得兩個同顏色的球，只需兩個互斥事件中有一個事件發生即可，因而取得兩個同顏色的球的概率P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).記事件A為“至少取得一個紅球”，事件B為“取得兩個綠球”，事件A與事件B是對立事件，則至少取得一個紅球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).考點一隨機事件的關系1.(多選)若干個人站成排，其中不是互斥事件的是()A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”C.“甲站排頭”與“乙站排尾”D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”答案BCD解析排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時發生，因此它們都不互斥.故選BCD.2.在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D發生的概率分別是0.2，0.2，0.3，0.3，則下列說法正確的是()A.A∪B與C是互斥事件，也是對立事件B.B∪C與D是互斥事件，也是對立事件C.A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件D.A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件答案D解析A中，A∪B與C是互斥事件，但不對立，因為P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A錯誤；B中，B∪C與D是互斥事件，但不對立，因為P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B錯誤；C中，A∪B與C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C錯誤；D中，A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正確.3.(多選)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個除顏色外完全相同的小球，從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷正確的是()A.A與D為對立事件B.B與C是互斥事件C.C與E是對立事件D.P(C∪E)＝1答案AD解析當取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發生，B不正確；當取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發生，C不正確；顯然A與D是對立事件，A正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，D正確.感悟提升1.準確把握互斥事件與對立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生；(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發生，即有且僅有一個發生.2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.考點二隨機事件的頻率與概率例1某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表中數據可知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，所以，利潤Y的所有可能值為－100，300，900.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.感悟提升1.頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.利用概率的統計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發生的頻率會逐步趨近于某一個常數，這個常數就是概率.訓練1(2020·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元、50元、20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數40202020乙分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業務？解(1)由試加工產品等級的頻數分布表知，甲分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為eq\f(40,100)＝0.4；乙分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為eq\f(28,100)＝0.28.(2)由數據知甲分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為利潤6525－5－75頻數40202020因此甲分廠加工出來的100件產品的平均利潤為eq\f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15.由數據知乙分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為利潤70300－70頻數28173421因此乙分廠加工出來的100件產品的平均利潤為eq\f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10.比較甲、乙兩分廠加工的產品的平均利潤，廠家應選甲分廠承接加工業務.考點三互斥事件與對立事件的概率例2某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)1張獎券的中獎概率；(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.解(1)設“1張獎券中獎”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券中獎的概率為eq\f(61,1000).(2)設“1張獎券既不中特等獎也不中一等獎”為事件N，則事件N與事件“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券既不中特等獎也不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).感悟提升1.求解本題的關鍵是正確判斷各事件之間的關系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.2.求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡便.訓練2經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率.解記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.1.下列說法正確的是()A.甲、乙二人比賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則比賽5場，甲勝3場B.某醫院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈C.隨機試驗的頻率與概率相等D.天氣預報中，預報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%答案D解析由概率的意義知D正確.2.在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡答案A解析由題意知“2張全是移動卡”的對立事件是“至多有一張移動卡”，又1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，故“至多有一張移動卡”的概率是eq\f(7,10).3.(2022·太原模擬)已知隨機事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，則P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝()A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8答案A解析∵隨機事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.4.(多選)(2021·武漢調研)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,5)，下面結論正確的是()A.甲不輸的概率eq\f(7,10) B.乙不輸的概率eq\f(4,5)C.乙獲勝的概率eq\f(4,5) D.乙輸的概率eq\f(1,5)答案ABD解析因為甲、乙兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,5)，所以甲不輸的概率eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10)，故A正確；所以乙不輸的概率1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故B正確；所以乙獲勝的概率1－eq\f(1,5)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，故C錯誤；所以乙輸的概率即為甲獲勝的概率是eq\f(1,5)，故D正確，故選ABD.5.(多選)(2022·重慶診斷)將一枚骰子向上拋擲一次，設事件A＝“向上的一面出現奇數點”，事件B＝“向上的一面出現的點數不超過2”，事件C＝“向上的一面出現的點數不小于4”，則下列說法中正確的有()A.eq\o(A,\s\up6(－))B＝?B.eq\o(B,\s\up6(－))C＝“向上的一面出現的點數大于3”C.Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))C＝“向上的一面出現的點數不小于3”D.eq\o(ABC,\s\up16(——))＝“向上的一面出現的點數為2”答案BC解析由題意知事件A包含的樣本點：向上的一面出現的點數為1，3，5；事件B包含的樣本點：向上的一面出現的點數為1，2；事件C包含的樣本點：向上的一面出現的點數為4，5，6.所以eq\o(A,\s\up6(－))B＝“向上的一面出現的點數為2”，故A錯誤；eq\o(B,\s\up6(－))C＝“向上的一面出現的點數為4或5或6”，故B正確；Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))C＝“向上的一面出現的點數為3或4或5或6”，故C正確；eq\o(ABC,\s\up16(——))＝Ω，故D錯誤，故選BC.6.(多選)下列說法正確的是()A.若事件A與B互斥，則A∪B是必然事件B.《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國四大名著.若在這四大名著中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進行閱讀，設事件E＝“甲取到《紅樓夢》”，事件F＝“乙取到《紅樓夢》”，則E與F是互斥但不對立事件C.擲一枚骰子，記錄其向上的點數，記事件A＝“向上的點數不大于5”，事件B＝“向上的點數為質數”，則B?AD.10個產品中有2個次品，從中抽取一個產品檢查其質量，則樣本空間含有2個樣本點答案BCD解析對于A，事件A與B互斥時，A∪B不一定是必然事件，故A錯誤；對于B，事件E與F不會同時發生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E與F之外還有“丙取到紅樓夢”“丁取到紅樓夢”，所以E與F不是對立事件，故E與F是互斥但不對立事件，故B正確；對于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故C正確；對于D，樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個樣本點，故D正確.7.我國西部一個地區的年降水量在下列區間內的概率如下表所示：年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(250，300)概率0.210.160.130.12則年降水量在(200，300)(mm)范圍內的概率是________.答案0.25解析設年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分別為A，B，C，則A＝B∪C，且B，C為互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.8.若事件A與B是互斥事件，且事件A∪B發生的概率是0.64，事件B發生的概率是事件A發生的概率的3倍，則事件A發生的概率為________.答案0.16解析設P(A)＝x，則P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以P(A)＝x＝0.16.9.某城市2022年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數T≤50時，空氣質量為優；50＜T≤100時，空氣質量為良；100＜T≤150時，空氣質量為輕微污染，則該城市2022年空氣質量達到良或優的概率為________.答案eq\f(3,5)解析由題意可知2022年空氣質量達到良或優的概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).10.盒子里有6個紅球、4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球、2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球、1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？(2)事件C與A的積事件是什么事件？解(1)對于事件D，可能的結果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球，故D＝A＋B.(2)對于事件C，可能的結果為1個紅球、2個白球或2個紅球，1個白球或3個紅球，故CA＝A.11.電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大(只需寫出結論)?解(1)由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25＝50.故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估計為1－eq\f(372,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率.12.(多選)(2022·海口模擬)小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間(分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：所需時間(分鐘)30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是()A.任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件B.從所需的平均時間看，線路一比線路二更節省時間C.如果要求在45分鐘以內從家趕到公司，小張應該走線路一D.若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04答案BD解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件，A錯誤；線路一所需的平均時間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝