第二章第四節隱函數和參數方程求導第1頁，課件共16頁，創作于2023年2月一、隱函數的導數顯函數與隱函數

形如y

f(x)的函數稱為顯函數

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是顯函數

由方程F(x

y)

0所確的函數稱為隱函數

把一個隱函數化成顯函數

叫做隱函數的顯化

例如

方程x

y3

1

0確定的隱函數為

隱函數的求導法

把方程兩邊分別對x求導數

然后從所得的新的方程中把隱函數的導數解出.第2頁，課件共16頁，創作于2023年2月

例1

求由方程ey

xy

e

0所確定的隱函數y的導數

(ey)

(xy)

(e)

(0)

即ey

y

y+xy

0

方程中每一項對x求導得解

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所確定的隱函數y

f(x)在x

0處的導數y

|x

0

因為當x

0時

從原方程得y

0

所以5y4

y

2y

1

21x6

0

方程兩邊分別對x求導數得解

第3頁，課件共16頁，創作于2023年2月例3.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導故切線方程為即第4頁，課件共16頁，創作于2023年2月解

上式兩邊再對x求導

得的二階導數

例4

方程兩邊對x求導

得第5頁，課件共16頁，創作于2023年2月y

f(x)

[lnf(x)]

對數求導法適用于求冪指函數y

[u(x)]v(x)的導數及多因子之積和商的導數

此方法是先在y

f(x)的兩邊取對數

然后用隱函數求導法求出y的導數

設y

f(x)

兩邊取對數

得lny

lnf(x)

兩邊對x求導

得對數求導法第6頁，課件共16頁，創作于2023年2月

例5

求y

xsinx

(x>0)的導數

解法二

這種冪指函數的導數也可按下面的方法求.

解法一

上式兩邊對x求導

得兩邊取對數

得lny

sinx

lnx

y

xsinx

esinx·lnx

第7頁，課件共16頁，創作于2023年2月上式兩邊對x求導

得說明

嚴格來說

本題應分x

4

x

1

2

x

3三種情況討論

但結果都是一樣的

例6

先在兩邊取對數

得

解

第8頁，課件共16頁，創作于2023年2月設x

j(t)具有反函數t

j-1(x)

且t

j-1(x)與y

y(t)構成復合函數y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可導

則二、由參數方程所確定的函數的導數

設y與x的函數關系是由參數方程?íì==)()(tytxyj確定的.

第9頁，課件共16頁，創作于2023年2月

解

例7.

求橢圓?íì==tbytaxsincos在相應于4

p=t點處的切線方程.

所求切線的斜率為abdxdyt-==4p.

第10頁，課件共16頁，創作于2023年2月再求速度的方向

設a是切線的傾角

則軌道的切線方向為于是拋射體在時刻t的運動速度的大小為

x

(t)=v1

y

(t)=v2-gt

求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向

例8

拋射體運動軌跡的參數方程為

速度的水平分量與鉛直分量分別為先求速度的大小

解

第11頁，課件共16頁，創作于2023年2月討論:

已知x

j(t),y

y(t)

如何求y對x的二階導數y

?例9.

設求例10.

設,且求解:解:第12頁，課件共16頁，創作于2023年2月的函數y

f(x)的二階導數

解

(t

2np

n為整數)

例11．計算由擺線的參數方程?íì-=-=)cos1()sin(tayttax所確定

第13頁，課件共16頁，創作于2023年2月三、相關變化率為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率第14頁，課件共16頁，創作于2023年2月例12.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設氣球上升t分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導已知

h=500m時,第15頁，課件共16頁，創作于2023年2月作業：p-110習題2-4

1(1),(4);2;3(3),(4)