第三章矩陣的初等變換與用消元法解線性方程組，§1矩陣的初等變換1.互換兩個方程；2.以非零數乘某個方程；

3.一個方程的倍數加到另一個方程.例1解線性方程組①←→②,×③對方程組用到三種變換：線性方程組②?2①,×②，③+5②③?2①定義1下述三種變換稱為矩陣的初等行變換:1.對調兩行;2.以非零數乘某行的所有元素;3.把矩陣某行的所有元素的k倍加到另一行的對應元素上去.初等列變換.初等變換.如果矩陣A經初等變換得到矩陣B,下述形狀的矩陣叫做行階梯形矩陣任何矩陣總可以經過有限次初等行變換把它變成行階梯形矩陣.那么稱矩陣A與

B

等價.記為A～B.B1是矩陣A經初等行變換得到的階梯形矩陣.例2用初等行變換把矩陣～～～解A變成行階梯形矩陣.稱B2為行最簡形矩陣.～再作初等行變換B1又可以變為任何矩陣總可以經過有限次初等行變換把它變成行最簡形矩陣.對B2再作初等列變換又可得任何m×n矩陣A

都可經過初等變換化為形如的矩陣．稱矩陣F為A的標準形.例3用初等行變換將矩陣變成行最簡形矩陣.解A～～～～§2矩陣的秩

定義2在m×n矩陣A中任取

k個行與

k

個列,

定義3如果矩陣A中有一個k

階子式D≠0，零矩陣的秩規定為0.數k

稱解在A中有一個2階子式且A的所有的所以R(A)=2.3階子式都等于零，稱為矩陣A的一個

位于這且所有的k+1

則稱D為A的一個最高階非零子式.階子式都等于0,

為矩陣A的秩，矩陣A的秩記成R(A).些行與列交叉處的元素而得的

k

階行列式,

k

階子式.據定義3可知，

解在A中有一個3階子式且A中所有的4階子式都等零，所以R(A)=3.行階梯形矩陣的秩=其非零行的行數.Dr相應的一個r階子式Mr

,因而若把矩陣A的第i行乘數k≠0得矩陣B，且Mr=Dr

,或Mr=?Dr,那么B中存在一個且Mr=Dr

或Mr=kDr

.與Dr相應的一個r階子式Mr,設R(A)=r，且A的某個r階子式Dr≠0.當A對調第i行,第j行得矩陣B時.在矩陣B中存在一個與定理1若A～B，則R(A)=R(B).證明先證明,如果矩陣A經一次初等行變換得矩陣B，那么

R(A)≤R(B).我們也可以證明，如果把矩陣A的第j行的k倍加到第i行得到矩陣B,

那么矩陣B中必有一個r階子式Mr≠0.因而因而這樣，我們就證明了，如果矩陣A經一次初等行變換得矩陣B,

則有R(B)=R(A).由矩陣經一次初等行變換秩不變，類似的可以證明，經有限次初等列變換總之，若A～B，則R(A)=R(B).則R(A)≤R(B)成立.所以也應有R(B)≤R(A).

若矩陣A經一次初等行變換得矩B，那么矩陣B也可以這樣，我們就證明了，若矩陣A經一次初等行變換得矩陣B,

變換矩陣的秩也不變.經一次初等行變換得矩陣A,即可知經有限次初等行矩陣的秩也不變.

例3

求下列矩陣的秩求矩陣A的秩1.根據矩陣秩的定義.2.根據定理1.用初等變換把矩陣A化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣的秩=其非零行的行數（定義3）.解用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣.Ar1←→r2～r2-2r1r2←→r3～r3+4r2因此，R(A)=3.矩陣A的秩=此行階梯形矩陣的秩（據定理1

）．例4求下述矩陣的秩解用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣.Ar1←→r3r2-2r1r3-2r1～～因此，R(A)=2.線性方程組稱為n元齊次線性方程組.A稱為方程組的系數矩陣．于是，這個齊次方程組可以記為§3線性方程組的解記

定理2

n

元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要

證必要性設方程組Ax=0有非零解.假設R(A)=n，根據Cramer法則，D所對應的n個方程構成的齊次線性方程組從而原方程組Ax=0也只有零解，矛盾.充分性設R(A)=r＜n,那么A1

只含r個非零行，用反證法來證明條件是系數矩陣A的秩R(A)<

n

.R(A)<n.故R(A)<n.對A施行初等行變換得到行階梯形矩陣A1.那么在A中應有一個n階子式|D|≠0.只有零解，不妨設為于是齊次線性方程組Ax=0與這個方程組有n-r>0個自由未知量,也有非零解.同解.把它改寫成因此有非零解.故Ax=0例1

3元齊次線性方程組是否有非零解？解由r2-r1r3-3r1

r4-r1r3-r2

r4-2r2因為R(A)=2＜3所以此齊次線性方程組有非可知R(A)=2.～～零解.解用初等行變換化系數矩陣可知，有非零解.R(A)=2<3.性方程組有非零解.～～

n元非齊次線性方程組A稱為非齊次線性方程組的系數矩陣,B稱為增廣矩陣.記于是，Ax=b這個非齊次方程組可以記為其中

定理3

n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條證明必要性則B可化成行階梯形矩陣件是R(A)=R(B),假設R(A)<R(B)，其中B=(Ab)為非齊次線性方程組用反證法,設非齊次線性方程組Ax=b有解，要證R(A)

=R(B).Ax=b的增廣矩陣.于是得到與原方程組Ax=b同解的方程組：因為它含有矛盾方程0=1，所以這個方程組無解，這與原方程充分性設R(A)=R(B)=r.則B1中含r個非零行.用初等行變換化增廣矩陣B為組有解矛盾.故R(A)=R(B).

行階梯形矩陣B1，不妨設B1為B1對應的方程組為這個方程組有解.它與原方程組Ax=b同解，所以非齊次線性方程組Ax=b有解.由上述證明還可以知道，

n

元非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是

R(A)=R(B)=n.

例3判斷下列非齊次線性方程組是否有解解用初等行變換化其增廣矩陣～～由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即R(A)≠R(B)，因此方程組例4a,b取何值時，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？無解.解用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形矩陣，～（1）當a≠?1時，R(A)=R(B)=4,（2）當a=?1，b≠0時，R(A)=2,而R(B)=3,（3）當