,.習(xí)題課：多元函數(shù)求偏導(dǎo)，多元函數(shù)微分的應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)設(shè)二元函數(shù)zf(u,v)在點(diǎn)(u,v)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二元函數(shù)uu(x,y),vv(x,y)在點(diǎn)謝謝閱讀0 0(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),并且uu(x,y),vv(x,y),則復(fù)合函數(shù)00000000f(u(x,y),v(x,y))在點(diǎn)(x0,y0)處可微，且謝謝閱讀zfu,vux,yfu,vvx,yx00000000(x0,y0)uxvxzfu,vux,yfu,vvx,yy00000000(x0,y0)uyvy多元函數(shù)微分形式的不變性：設(shè)zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，均為連續(xù)可微，感謝閱讀則將z看成x,y的函數(shù)，有dzzdxzdyxy計(jì)算zfufv,zfufvxuxvxyuyvy，代人，dzzdxzdyfufvfufvdxdyxyuyuxvxvyfudxufvdxvdydyuxyvxyfdufdvuv我們將dzzdxzdyfdufdv叫做微分形式不變性。感謝閱讀x y u vyz,z。例1設(shè)zx3fxy,，求yxx,.解：dzf3x2dxx3dfd(xy)fy3x2fdxx3fd12x3x2fdxx3(xdyydxfxdyydxf12x23x2fx3yfxyffx2fdyx41212由微分形式不變性，dzzdxzdy3x2fx3yfxyffx2fxyx41212故z23z42。3xfxyfxyf,xfxfxy212111dy例2已知y(x)x，求dx.解考慮二元函數(shù)yuv,u1,v1，應(yīng)用推論得xxdyyduydv11121x(1lnx)..vuv1(lnu)uvdxudxvdxx2x2x(2)隱函數(shù)若函數(shù)yyx,由方程Fx,y0確定，求導(dǎo)之函數(shù)？按隱函數(shù)定義有恒等式：Fx,yx0dFx,yx0，dxFx,yxFx,yxyx0yxFxx,yx。感謝閱讀xyFx,yxy從這是可見：函數(shù)yyx可導(dǎo)有一個(gè)必要條件是，F(xiàn)x,y0.感謝閱讀y已知函數(shù)yf(x)例3由方程axbyfx2y2,a,b是常數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)。解：方程axbyfx2y2兩邊對(duì)x求導(dǎo)，abdyf(x2x2ydyy)dx22dx2xf(xy)a22dx(xb2yfy)22 一般來(lái)說(shuō)，若函數(shù)yyx,由方程Fx,y0確定，求導(dǎo)之函數(shù)？謝謝閱讀,.將y看作是的函數(shù)y(x,...,x),對(duì)于方程1n1nF(x,...,x,y(x,...,x))0Fx,y1n1n兩端分別關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)得到，并解f,可得到公式:yxiixixiFyx,y例4x2y2z210確定，求設(shè)函數(shù)xx(z),yy(z)由方程組x22y2z210dx,dydzdz.dzdzxyz12xdx2y2z222解解方程得：21dzdzx22y2z2x4ydx2zdydx14y2y2z112yzdz=dy4xy2x2x2z4xy8xzdz由此得到dx3zdy2zdzx,dzy.xucosv例5已知函數(shù)zzx,y由參數(shù)方程:yusinv,給定，試求z,z.xyzuv解這個(gè)問(wèn)題涉及到復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法.x,y是自變量,u,v是中間變量(u,v是x,y的函數(shù)),先由zuv得到zzuzvvuuv感謝閱讀xuxvxxx精品文檔放心下載zzuzvvuuv感謝閱讀y uy vy y y精品文檔放心下載u,v得到

uu(x,y)是由方程的x,y的隱函數(shù)，在這兩個(gè)等式兩端分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得vv(x,y)uvuv1cosvxusinvx，0cosvyusinvy0sinvuucosvv1sinvuucosvvxxyyucosv,vsinu,usinv,vcosvxxuyxu將這個(gè)結(jié)果代入前面的式子,得到zvuuvvcosvsinv謝謝閱讀xxx,.與zuvvvvyvyuysincosuf(x,y,z,t)確定，求u,u(3)隱函數(shù)函數(shù)uu(x,y)由方程g(y,z,t)0yxh(z,t)0解：函數(shù)關(guān)系分析: 5(變量)3(方程)=2(自變量);精品文檔放心下載一函(u),二自(x,y),二中(z,t)感謝閱讀uf,uffzftxxyyzytyzy(g,h)(z,t)ty

h1thz

gfhfhggufytzzttt,y.gyghghz0zttz二階偏導(dǎo)數(shù)： 一階導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例6zz(x,y)由x2y22z．z2a2決定，求xy解：2x2zz0，2y2zz0xyzx,zyxzyz2zyzxyxyz2xz3例7設(shè)gxd2gxfx,x2,x2，其中函數(shù)f于的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求dx2例8設(shè)zf(xy,x)，f2z.y二階連續(xù)可微，求x2解記uxy,vx;ff,ff,y1u2vf2f,f2f2f,f2f,f11u222v212uv21vu,.zfufvyf11f2則xxy,2zzyf1f12x2xxyxx因?yàn)閒fu,v為中間變量，以x,y為自變量的函數(shù)，所以vf1u,f2都是以fuv11yfyfxf11xf12x1112fuvyf12xf21xf22x21yf22將以上兩式代入前式得:2zy2f2f1f.x2y2111222例9設(shè)zz(x,y)二階連續(xù)可微，并且滿足方程A2z2B2zC2z0x2xyy2uxy,試確定,為何值時(shí)能變?cè)匠虨?z0.若令vxyuv解將x,y看成自變量，u,v看成中間變量，利用鏈?zhǔn)椒▌t得zzuzvzzzxuxvxuvuvzzuzvzzyuvzuyvyuv2zzz2z2z2z2x2u2uzxvu2uvv2v2zzz22z22z22z2uvu2zy2yuvv2uv2zzz2z2z2zxyuvuv2x2uv=vuvzu由此可得,0A2z2B2zC2z=x2xyy22zC2zA2z=A2BC22AB2BC2=0u2uvv2A2BC202z只要選取,使得,可得0.A2BC20uv問(wèn)題成為方程A2BtCt20有兩不同實(shí)根，即要求：B2AC0.令BB2AC,BB2AC,即可。,.此時(shí)，2z02z0z0zuvuvvzvdvfu.uvvzfugvfxygxy.謝謝閱讀例10設(shè)u(x,y)C2,又2u2u0,u(x,2x)x,u(x,2x)x2,求u(x,2x),x2y2xxxu(x,2x)u(x,2x)xyyy解:u(x,2x)x2,x兩邊對(duì)x求導(dǎo),2u(x,2x)2u(x,2x)22x.(1)x2xyu(x,2x)x,兩邊對(duì)x求導(dǎo),ux,2xux,2x21,ux,2x1x2.xyy2兩再邊對(duì)x求導(dǎo),2u(x,2x)2u(x,2x)2x.(2)xyy2由已知2ux,2x2ux,2x0,(3)x2y2(1),(2),(3)聯(lián)立可解得:2u2u4x,2u5xx,2xx,2x3x,2x3x2y2xy多元微分的應(yīng)用:幾何應(yīng)用，物理應(yīng)用,.極值與條件極值問(wèn)題切線曲線法平面幾何法線多元微分的應(yīng)用曲面切平面無(wú)條件極值極值條件極值空間曲面(1)空間曲面的表達(dá)式顯函數(shù)表示：隱函數(shù)表示:

zfx,y xx(u,v)參數(shù)表示：yy(u,v)(u,v)DR2uvzz(u,v)(2)空間曲面的切平面與法線空間曲面S由顯函數(shù)表示z平面方程為fx0,y0xxx

fx,y，設(shè)zfx,y，空間曲面S過(guò)Px,y切000000fx0,y00y00法線方程是xxyyzz000fx,y0fx,y1000xy法向量為fx,yfx,yn00,00,1xy空間曲面S存在切平面的條件：若曲面S由顯函數(shù)表示zfx,y在點(diǎn)px,y可微,則00曲面S在點(diǎn)px,y有不平行z軸的切平面.0若曲面S由隱函數(shù)Fx,y,z0表示,曲面S過(guò)x,yz切平面方程為精品文檔放心下載0 0, 0,.Fx,y,zFx,y,zFx,y,z0000xx000yy000zzx0y0z0法線方程為法向量若曲面S

xxyy0,z0Fx,yFx,y,z000000xyFx,y,zFx,y,nxyxx(u,v)由參數(shù)表示：yy(u,v) (u,v)謝謝閱讀zz(u,v)

zzFx,y0,z000zzFx,y,zzDR2，其切平面為uvxyz

x(u,v)0 0y(u,v)0 0z(u,v)0 0

ux(u,v)(uu)000感謝閱讀uy(u,v)(uu)000感謝閱讀uz(u,v)(uu)000感謝閱讀

x(uv0y(uv0z(uv0

v)(vv)0v)(vv)0v)(vv)0 0或yuzu法線方程為法向量

yvzv

xx(u,v0 0(u0,v0)xx(u,v)y00yuvzzuv(u0,v0)yyuvnzz

)zzyy(u0,v0)uvxxuvx(u0,v0)xzz(u0,v0)0uvyyuv,v(u)yy(u,v)00zz(u,v)z00x00zxuvuvxxyyuvuv(u0,v0)(u0,v0)zzxx,uv,uvxxyyuv(uuv(uuv(u,v),v),v)0000003x2yz5例11求曲面S:2x22y22z1上切平面與直線L:平行的切點(diǎn)的xyz0軌跡。,.xxijk解:(1)321直線L:y4x5的方向：i4j5k.111z5x5切點(diǎn)為Px,y,z處曲面S的法向：n4xi4yj2k.(2)所求軌跡：nn4x16y100,2x8y5xx軌跡為空間曲線：y2x582x22y22z164z60x260x57例12證明球面S:x2y2z2R2與錐面S:x2y2a2z2正交.12證明所謂兩曲面正交是指它們?cè)诮稽c(diǎn)處的法向量互相垂直.記F(x,y,z)x2y2z2R2,G(x,y,z)x2y2a2z2曲面S1上任一點(diǎn)M(x,y,z)處的法向量是(x,y,z)TgradF(x,y,z)(2x,2y,2z)T或者v1曲面S上任一點(diǎn)M(x,y,z)處的法向量為v(x,y,a2z)T.22設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是兩曲面的公共點(diǎn)，則在該點(diǎn)有vv(x,y,z)T(x,y,a2z)x2y2a2z2012即在公共點(diǎn)處兩曲面的法向量相互垂直，因此兩曲面正交.例13過(guò)直線10x2y2z27,xyz0作曲面3x2y2z227的切平面，求該切平面的方程．解：設(shè)切平面過(guò)曲面3x2y2z227上的(x,y,z)點(diǎn)，則切平面的法向量為000(6x,2y,2z)過(guò)直線10x2y2z27,000xyz0的平面可以表示為10x2y2z27xyz0其法向量為(10,2,2)1022（１）6x2y2z000(x,y,z)是曲面3x2y2z227上的點(diǎn)，0003x2y2z227（２）00010x2y2z27xyz0（３）000000聯(lián)立（１），（２），（３），解得(x,y,z)(3,1,1)，或(x,y,z)(3,17,17)，000000切平面方程為,.9xyz270，或9x17y17z270謝謝閱讀例14通過(guò)曲面S:exyzxyz3上點(diǎn)(1,0,1)的切平面（B）（A）通過(guò)y軸；（B）平行于y軸；（C）垂直于y軸；（D）A，B，C都不對(duì).解題思路令F(x,y,z)exyzxyz3.則S在其上任一點(diǎn)M的法向量為感謝閱讀gradF(M)(F,F,F)xyzM于是S在點(diǎn)M(1,0,1)的法向量為(yzexyz1,xzexyz1,xyexyz1)(1,0,1)(1,0,1)因此,切平面的方程為(x1)(z1)0. S在(1,0,1)的法向量垂直于y軸，從而切平面謝謝閱讀平行于y軸．但是由于原點(diǎn)不在切平面，故切平面不含y軸.謝謝閱讀例15xa,yb0上任意一點(diǎn)處的切平面通過(guò)一定點(diǎn)，已知f可微，證明曲面fzczc并求此點(diǎn)位置．證明：設(shè)f'f,f1 x

f2'y，于是有：f1f1,faxby.f,yfzffx1zc2zc1(zc)22(zc)2則曲面在P(x,y0 0f(P)xx01 0 zc0可以得到：

z)處的切平面是：0 0f(P)yyaxf(P)by0f(P)00(zz)020zc10(zc)220(zc)20000f'(P)(zc)(xx)f'(P)(zc)(yy)謝謝閱讀1 0 0 0 2 0 0 0f'(P)(ax)(zz)f'(P)(by)(zz)0.感謝閱讀1 0 0 0 2 0 0 0,.xa,yb0上任意一點(diǎn)易見當(dāng)xa,zc,yb時(shí)上式恒等于零。于是知道曲面fzczc處的切平面通過(guò)一定點(diǎn)，此定點(diǎn)為(a,c,b)．謝謝閱讀例16S由方程axbyczGx2y2z2確定,試證明：曲面S上任一點(diǎn)的法線與某定直線相交。證明:曲面上任意一點(diǎn)P(x,y,z)的法線為謝謝閱讀0 0 0xxyyzz000222222222000000000000設(shè)相交的定直線為xxyyzz,與法線向交:1112(x2y2z2),b2yG(x2y2z2),c2zG(x2y2z2)000000000000行于,,2y2z2),b2yG(x2y2z2),c2zG(x2y2z2000000000000xx,yy,zz0101010a2xG(xyz)b2yG(xyz)c2zG(xyz)2222222220000000000000xxyyzz101010abcxyz0002G(x2y2z2)0xxyyzz000xyz101010111只要取,,(a,b,c),(x,y,z)(0,0,0)即可.111例173x2yz52y22z5相切的平面的方程.求過(guò)直線L:且與曲面2x2xyz08解：直線L平面F可表示為3x2yz5(xyz)0，設(shè)曲面為G則相切處有g(shù)radF(3,2,1)kgradGk(4x,4y,2),.解得3,x3/2,y1/4,z15/8or5/6,y5/12,z5/247,x因此切平面方程為6(x3/2)(y1/4)2(z15/8)0或10(x5/6)5(y5/12)6(z5/24)0例18在橢球面x2y2z21a2a2c2上求一點(diǎn)，使橢球面在此點(diǎn)的法線與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向成等角。解：橢球面在此點(diǎn)的法線矢量為(1,1,1)，設(shè)該點(diǎn)為(x,y,z)，則有000gradF(2x0,2y0,2z0)k(1,1,1)(x0,y0,z0)a2b2c2該點(diǎn)坐標(biāo)為1(a2,b2,c2)a2b2c2空間曲線的切線和法平面(1)空間曲面的表達(dá)式xx(t)空間曲面的參數(shù)方程:(t)yy(t)參數(shù)方程又可以寫作rzz(t)ytztT;(t) 空間曲線的交面式：一條空間曲線L，可以看作通過(guò)它的兩個(gè)曲面S 與S 的交線，若謝謝閱讀1 2設(shè)S的方程為F(x,y,z)0，S的方程為G(x,y,z)0，則L的方程是謝謝閱讀1 2F(x,y,z)0G(x,y,z)0(2)空間曲線的切線與法平面,.xxx(t)(tt)000空間曲面的參數(shù)方程表示，其切線為y(t)(tt)xy000z(t)(tt)zz000切向量為：(t),(t),()xyzt000法平面為：x(t)(xx)y(t)(yy)z(t)(zz)0000000空間曲線