線性代數(shù)中的若干個充要條件—、n階方陣可逆的充要條件A是n階可逆方陣oAB(=BA)=EodetA工0（非奇異）orankA=n（滿秩）oA的最高階非零子式的階數(shù)等于noA~E（等價）oA的伴隨矩陣A*可逆orank（AB）=rank（B）o存在n階可逆矩陣P，使AP=Eo存在n階可逆矩陣Q，使QA=Eo存在有限個初等方陣P,,1</<S，使A=P\P2oAx=0只有零解oAx=0解空間的維數(shù)是零oVPeRn,Ax=P總有唯一解oA的行（列）向量組線性無關(guān)o0卩wRn,卩總可以由件叫,…,唯一的線性表示oA的特征值均不為零A實對稱oA的正、負慣性指數(shù)的和P+q=noATA是正定矩陣OA的行（列）向量組是R的一組基oA的列向量組與單位向量組oA的列向量組與單位向量組￡]=0?■?應(yīng)2=0、1?■????Pn(0、0?■?<0><0><1>等價oA是Rn的某兩組基之間的過渡矩陣二、Ax=卩有（無）解的充要條件mxnAx=卩有（無）解mxnorankA=rank（A,卩）（rankAvrank（A,卩））o向量卩可以（不能）被A的列向量組％叫,…,戈線性表示三、Ax=P有唯一（無窮多）解的充要條件mxnAx=p有唯一（無窮多）解mxnorankA=rank(A,卩)=n(vn)oa的列向量組戈線性無關(guān)，且卩可以被…,唄唯一線性表示（％叫，…,a線性相關(guān)，卩的表示法不唯一）12n四、Ax=0只有零（有非零）解的充要條件mnAx=0只有零（有非零）解mn

orankA=n（vn）Oa列滿秩（列虧秩）oATA可逆（atA不可逆）oATA正定（ATA非負定）o存在矩陣Qnxm，使qA=En^im nxnOA的列向量組aa…,a線性無關(guān)（線性相關(guān)）12noa],a2,…,an中每一個（至少有-個）都不能（可以）由其余n-1個線性表出o向量組吟叫9…,a與n維單位向量組％￡29…,￡（不）等價1 2n 1 2no解空間維數(shù)s=0（s=n-rankA）o沒有基礎(chǔ)解向量（基礎(chǔ)解系中有n-rankA個基礎(chǔ)解向量）五、0卩wRm,Ax=卩總有解的充要條件mxn0卩WRm,A x=卩總有解mxnorankA=m(行滿秩)odet(AAT)豐0(det(AAT)=0)oAAT可逆（AAT不可逆）o存在矩陣Po存在矩陣Pnxmnxmmxmoa的行向量組PT,卩T，…,片線性無關(guān)12morank（a],a2,…,an）=m（若mvn,A的列向量組線性相關(guān)）oA的列向量組咎叫,…,an可線性表示任意一m維列向量=poVpeRm,存在常數(shù)氣,k2，…,k使…,aJ=p1 2n1 2nIk丿o向量組S，a2，…,a與加維單位向量組”??,￡等價12n12m六、A可以相似對角化的充要條件nxnAnxn可以相似對角化nxno存在可逆矩陣P，使P-1AP=A（對角矩陣）oA有n個線性無關(guān)的特征向量oA的任一特征值的重數(shù)與該特征值線性無關(guān)特征向量的個數(shù)相等o對A的任一k重特征值九0,（入0E一A）x=°有氐個基礎(chǔ)解向量o對A的任一k重特征值九°,rank（x°E-A）=n一k附1：A可以相似對角化的充分條件nxnAnxn有n個不同的特征值nA可以相似對角化nxnAnxn是實對稱矩陣nA可以相似對角化nxn附2：兩個n方陣A與B相似的必要條件A~B（相似）ndet@E-A）=det@E-B）（特征值相同）ntrA=trB=T入.（等跡且等于特征值的和，trA=阻）i=1 i=1nrankA=rankB（等秩）ndetA=detB（行列式相等）七、n元二次型xTAx正定的充要條件n元二次型xTAx正定OPxGRn,x工0,xTAx>0oA是正定矩陣oA的正慣性指數(shù)p=noA~E（合同）o存在可逆矩陣D，使A=DtDoA的特征值均為正數(shù)oA的順序主子式均大于零附：n元二次型xTAx正定的必要條件A是正定矩陣nA的主對角元a..>0,i=1,2， ,niindet