1.5概率的乘法公式1.5.1條件概率【問題1】3張獎券中只有一張能抽獎，現分別由3名同學無放回的抽取，問最后一名同學抽到獎券的概率是否比其他同學小？若抽到中獎券的概率用“Y”表示，沒有抽到的用“Y”表示，用n(A)表示事件A中基本事件的個數，那么所有可能抽取情況為0={YYY,YYY,YYY},用B表示最后一名同學抽到中獎獎券的事件，則B={YYY}，由古典概型可知，最后一名同學抽到中獎獎券的概率為p(B)=【問題2】如果已經知道第一名同學沒有抽到中獎獎券，那么最后一名同學抽到中獎獎券的概率又是多少？因為已經知道第一名同學沒有抽到中獎獎券，那么所有可能的抽取情況變為A_耐'YYy}，由古典概型可知，最后一名同學抽到中獎獎券的概率為豔_2，不妨記為P(B|A).顯然，知道第一名同學的抽取結果，即知道了事件A的發生，會影響事件B發生的概率，從而導致了P(B)豐P(BIA).【問題3】對于上面的事件A和B，計算P(BIA)的一般想法是什么？既然已經知道了事件A的必然發生，所以只需局限在A發生的范圍內考慮問題，在事件A發生的情況下事件B發生，等價于事件A和事件B同時發生，即AB發生，對于古典概型，由于組成事件A的各個基本事件發生的概率相等，因此其條件概率為P(BIA)_n(AB).①為了把條件概率推廣到一般情形，我們對上述公式作如下變形：

P(B1A)-n(AB)_m(AB)/n(⑵—P(AB)n(A)m(A)/n(Q)P(A)P(BP(BIA)=P(AB)P(A)這一式子已經不涉及古典概型，可以將它作為條件概率的推廣定義.一般地，設A,B為兩個事件，且p(A)>0，稱P(BIA)=P(AB)②P(A)為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率(conditionalprobability).一般地，把P(BIA)讀作A發生的條件下B的概率。條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0<P(BIA)<1.如果B和C是兩個互斥事件，則P(BuCIA)=P(BIA)+P(CIA).例1．在5道題中有3道理課題和2道文科題，如果不放回的依次抽取2道題，求：第1次抽到理科題的概率；第1次和第2次都抽到理科題的概率；在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率。【答案】設第1次抽到理科題為事件A,第2次抽到理科題為事件B,則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.從5道題中不放回的依次抽取2道的事件數為n(Q)=A2=20.5根據分步乘法計數原理,n根據分步乘法計數原理,n(A)=AixAi=12，于是34P(A)P(A)=n(A)n(Q)i220(2)因為n(AB)=A2=6，所以344P(AB)二籍=20=10-（3）解法1由（1）（2）可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為3P(P(B|A)=P(A)P(AB)_I^_1解法2因為n(AB)=6,n(A)=12，所以P(P(BIA)=n(AB)n(A)—122提升：在實際應用中，解法2是一種重要的求條件概率的方法。例2.一個家庭有兩個小孩，假定生男、生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩，問這時另一個小孩是男孩的概率是多少？【答案】一個家庭的兩個小孩只有4中可能：｛兩個都是男孩｝,｛第一個是男孩，第二個是女孩｝,｛第一個是女孩，第二個是男孩｝｛兩個都是女孩｝由題目假定可知這4個基本事件發生是等可能的，根據題意，設基本事件空間為Q,A=“其中一個是女孩”，B=“其中一個是男孩”。則Q=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝A=｛（男，女），（女，男），（女，女）｝B=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝問題是求在A發生的情況下，事件B發生的概率，即求P（BIA）?法一：由上面分析可知n（A）二3，n（AnB）二2.由公式①可得2P（BIA）二3因此所求的條件概率為2。332法二：由上面分析可知P（A）二，P（AnB）=.44由公式②可得2p（B1A）=3=3.因此所求的條件概率為2。3例3.已知有10只產品，其中6只只正品，4只次品，不放回的抽取兩次已知第一次抽到的是次品，問第二次抽到正品的概率；已知第一次抽到的是正品，問第二次仍然抽到正品的概率；二次都抽到正品的概率;已知其中一次抽到的是正品，問另一次也抽到正品的概率；【答案】根據題意得：設正品編號為Z,Z,Z,Z,Z,Z，次品編號為C,C,C,C，基本事件空間是TOC\o"1-5"\h\z234561234ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,121314151611121314ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,12324252621222324ZZ,ZZ，…,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,5152565151525354ZZ,,ZC,ZC,ZC,ZC,6161626364CZ,CZ,CZ,CC,CC,CC,111216121314CZ,CZ,CZ,CC,CC,CC,12226212324CZ,CZ,CZ,CC,CC,CCZ,CZ,CZ,CC,CC,CC，其中共有90個基本事件，設事件A(i=1,2)表示第i次抽到正品，事件B(i=1,2)表示第iii次抽到次品，則(1)p(1)p(7B)=罟=鵲=34=31(2)(3)P(A|A)=P(A1cA2)=摯0=30=5；(2)(3)21P(A)54/905491P(AcA)=30=-;1/903(4)P((AcA)1(AuA))=P(A1CA2)=30/90=30=A.(4)1/12p(AuA)78/90781312例4.一張儲蓄卡的密碼共有6為數字，每位數字都可以從0~9中任選一個。某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字。求任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率；如果他記得密碼的最后一位數字是偶數，不超過2次就按對的概率；【答案】設第i次按對密碼為事件A(i=1,2)，則A=Au(AA)表示不超過2次就按i112

對密碼.(1)因為事件A與事件AA互斥，由概率的加法公式得112P(A)=P(A)+P(AA)TOC\o"1-5"\h\z11219x11—+——1010x95(2)用B表示最后一位按偶數的事件，則P(A|B)—P(A|B)+P(AA|B)11214x12——+—?55x45習題1.5.1(A)】下列式子成立的是(B.0<P(B|A)<1A.P(AB.0<P(B|A)<1C.PC.P(AB)二P(A)?P(B|A)D.P(AcB|A)二P(B)【答案】C2.在10個形狀大小均相同的球中有6個紅球和4個白球，不放回地依次摸出2個球，在【答案】C2.在10個形狀大小均相同的球中有6個紅球和4個白球，不放回地依次摸出2個球，在第1次摸出紅球的條件下，第2次也摸出紅球的概率為()【答案】59123.已知P(B|A)—3，P(A)—5，則P(AB)等于(B.—10A.56【答案】AC-124.拋擲紅、黃兩顆骰子，當紅色骰子的點數為4或6時，兩顆骰子的點數之和大于20的概率是(A.14d.5【答案】5.一個盒子里有20個大小形狀相同的小球，其中5個紅的，5個黃的，10個綠的，從盒子中任取一球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是()5321A.-B.3C.2D.-6433【答案】C根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為？，下雨的概率為11，既吹東風3030又下雨的概率為38-，則在吹東風的條件下下雨的概率為()A.911B.-11A.911B.-11c.2D.【答案】D某人提出一個問題，甲先答，答對的概率為0.4，如果甲打錯，由乙答，答對的概率為TOC\o"1-5"\h\z0.5,則問題由乙答對的概率為.【答案】Aio&100件產品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為.【答案】9599從1?100這100個整數中，任取一數，已知取出的一數是不大于50的數，則它是2或3的倍數的概率為.【答案】3350把一枚硬幣任意擲兩次，事件A=“第一次出現正面”，事件B=“第二次出現正面”，求P(B|A).【答案】12盒中有25個球，其中10個白的、5個黃的、10個黑的，從盒子中任意取出一個球，已知它不是黑球，試求它是黃球的概率.【答案】131號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從二號箱隨機取出一球，問：從1號箱取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？從2號箱取出紅球的概率是多少？【答案】⑴4⑵499某校高三(1)班有學生40人，其中共青團員15人，全班分成4個小組，第一組有學生10人，共青團員4人。從該班任選一個作學生代表.

(1)求選到的是第一組的學生的概率；(2)已知選到的是共青團員，求他是第一組學生的概率.【答案】⑴丄⑵亙430【習題1.5.1(B)】P(A)二5P(A)二5，貝yP(AB)=(1.已知P(BIA)=-，10A.12【答案】A.12【答案】DB.D.350由“0”、“1”組成的三維數碼組中，若用A表示“第二位數字為0”的事件，用B表示“第一位數字為0”的事件，貝P(A|B)=()A.B.C.1A.B.C.1D.【答案】A3-【答案】A3-某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率是￡2刮三級風的概率為-，即刮風又下雨的151概率為1o，則在下雨天里，刮風的概率為(A.8225B.-A.8225B.-C.D.【答案】C一個口袋中裝有2個白球和3個黑球，貝先摸出一個白球后放回，在摸出一個白球的概率是()A.B.1C.A.B.1C.D.【答案】C把一枚骰子連續擲兩次，已知在第一次拋出是偶數點的情況下，第二次拋出的也是偶數TOC\o"1-5"\h\z點的概率為()111A.1B.C.D.-234【答案】B設某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。現有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是.【答案】12—個口袋內裝有2個白球，3個黑球，貝V：先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率?先摸出1個白球后不放回，再摸出1個白球的概率？TOC\o"1-5"\h\z【答案】⑴2⑵丄54&某種元件用滿6000小時未壞的概率是3，用滿10000小時未壞的概率是1，現有一個42此種元件，已經用過6000小時未壞，求它能用到10000小時的概率.【答案】23某個班級共有學生40人，其中團員15人，全班分成四個小組，第一組有學生10人，其中團員4人。如果要在班內任選一人當學生代表.求這個代表恰好在第一小組內的概率求這個代表恰好是團員代表的概率求這個代表恰好是第一小組內團員的概率現在要在班內任選一個團員代表，問這個代表恰好在第一小組內的概率【答案】⑴丄⑵3(3)2⑷±48515市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品合格率是95%，乙廠合格率是80%，求市場上燈泡的合格率是多少？市場上合格品中甲廠站百分之幾？(保留兩位有