2022-2023學(xué)年河北省保定市定州市高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解對數(shù)不等式化簡集合，再利用集合補(bǔ)集的定義求解.【詳解】由題意可得，則．故選：B2．已知函數(shù)，則（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】求導(dǎo)函數(shù)，由此可求，再結(jié)合函數(shù)解析式求.【詳解】因?yàn)椋裕裕剩运裕蔬x：A.3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先解分式不等式，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得或；由，得，則“”是“”的必要不充分條件．故選：C4．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求了切線方程，再求出切線在坐標(biāo)軸上的橫、縱截距，然后用三角形面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，故所求切線方程為．設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，令，得，令，得，則，故切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．故選：B5．已知某登山者爬山的路程（單位：米）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是，若該登山者在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是360米/小時(shí)，則該登山者在時(shí)的瞬時(shí)速度是（

）A．180米/小時(shí) B．240米/小時(shí)C．360米/小時(shí) D．480米/小時(shí)【答案】B【分析】根據(jù)這段時(shí)間內(nèi)的平均速度求出值，在時(shí)的瞬時(shí)速度即為.【詳解】，，所以該登山者在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是，所以，所以，故在時(shí)的瞬時(shí)速度米/小時(shí).故選：B6．某質(zhì)檢員從某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取了一部分零件進(jìn)行質(zhì)量檢測，根據(jù)檢測結(jié)果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質(zhì)量指數(shù)服從正態(tài)分布，且落在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為81860，則可估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個(gè)數(shù)為（

）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）A．270 B．2275 C．2410 D．4550【答案】B【分析】根據(jù)題意，由原則可得，即可得到所抽取零件總數(shù)，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則所抽取的零件總數(shù)為，故估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個(gè)數(shù)為．故選：B7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】不等式含有與，且中間為負(fù)號連接，則為函數(shù)除法的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性和奇偶性即可求解.【詳解】設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，即，則，故在上單調(diào)遞增．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，則是奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋裕瑒t．不等式等價(jià)于或即或解得或．故選：A.8．甲、乙兩人進(jìn)行了羽毛球比賽，雙方約定：先勝2局者獲得比賽的勝利．若某局比賽甲先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是；若某局比賽乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知每局比賽都分出勝負(fù)，且各局比賽結(jié)果互不影響，若第一局是甲先發(fā)球，從第二局開始，每局由上一局的獲勝者發(fā)球，則這次羽毛球比賽甲獲勝的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出甲獲勝的情況：①甲先連勝兩局，②甲第一局和第三局勝利，③甲第二局和第三局勝利，再由互斥事件概率公式求解.【詳解】這次羽毛球比賽甲獲勝的情況有三種：①甲連續(xù)獲得2局比賽的勝利，其概率；②甲第一局和第三局比賽獲勝，乙第二局比賽獲勝，其概率；③乙第一局比賽獲勝，甲第二局和第三局比賽獲勝，其概率．故所求概率．故選：C.二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．展開式中各項(xiàng)的系數(shù)最大的是C． D．【答案】AC【分析】利用二項(xiàng)式定理的計(jì)算及性質(zhì)求解.【詳解】令，得，則A正確．展開式的通項(xiàng)為，則，故B錯(cuò)誤．令，得，令，得，則，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.10．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由期望與方差的定義分別得到，再由期望與方差的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，則，故．故選：ABD11．歷史上著名的“伯努利錯(cuò)排問題”指的是：一個(gè)人有封不同的信，投入個(gè)對應(yīng)的不同的信箱，他把每封信都投錯(cuò)了信箱，投錯(cuò)的方法數(shù)為．例如：2封信都投錯(cuò)有種方法，3封信都投錯(cuò)有種方法，通過推理可得．假設(shè)每個(gè)信箱只投入一封信，則下列結(jié)論正確的是（

）A．某人投6封信，則恰有3封信投對的概率為B．某人投6封信，則6封信都投錯(cuò)的概率為C．某人依次投6封信，則前2封信全部投對的情況下恰有4封信投對的概率為D．某人投6封信，則至少有3封信投對的概率為【答案】ACD【分析】對于A、B、D：根據(jù)題意結(jié)合古典概型分析運(yùn)算；根據(jù)題意結(jié)合條件概率分析運(yùn)算.【詳解】對于選項(xiàng)A：由題意可得某人投6封信，則恰有3封信投對的概率為，故A正確；對于選項(xiàng)B：由題意可得：，，，則6封信都投錯(cuò)的概率為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：記事件A表示“前2封信都投對”，事件表示“恰有4封信投對”，則，，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：投6封信至少有3封信投對的概率為，故D正確．故選：ACD.12．若不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】將不等式變形為，然后由指數(shù)切線不等式得，再構(gòu)造函數(shù)求出其最小值即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．又，所以，則，所以．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，且當(dāng)時(shí)，.故選：ABD．三、填空題13．某班有學(xué)生45人，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，喜歡打籃球的學(xué)生有20人，喜歡打羽毛球的學(xué)生有32人，其中既喜歡打籃球，又喜歡打羽毛球的學(xué)生有15人，則該班學(xué)生中既不喜歡打籃球，也不喜歡打羽毛球的學(xué)生有人．【答案】8【分析】畫出Venn幫助分析求解.【詳解】設(shè)全集為，集合表示喜歡打籃球的學(xué)生，集合表示喜歡打羽毛球的學(xué)生，如圖所示，由圖可得該班學(xué)生中既不喜歡打籃球，也不喜歡打羽毛球的學(xué)生有人．故答案為：8

14．已知，則使得命題“若，則”為假命題的一組有序數(shù)對可以是．【答案】（答案不唯一，滿足，且即可）【分析】分析得出命題為假命題時(shí)，滿足的不等式關(guān)系即可得出答案．【詳解】，，因?yàn)槊}“若，則”為假命題，所以只要滿足，且即可，所以可以取，故答案為：（答案不唯一，滿足，且即可）．15．已知多項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【分析】先用展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32求出，再將化為進(jìn)行求解.【詳解】由題意可得，解得，則，故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：16．甲、乙等5人計(jì)劃暑假去四個(gè)景點(diǎn)旅游，若每人只去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)都有人去，甲不去景點(diǎn)，且甲、乙不去同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的旅游方案有種.【答案】【分析】先將5人按2：1：1：1分成四組，分以下三類討論：第一類：甲、乙分別分配到只有一人的小組中去；第二類：甲與某人（非乙）組成一組，另外三人各一組；第三類：乙與某人（非甲）組成一組，另外三人各一組，分別計(jì)算各有多少種方案即可.【詳解】先將5人按2:1:1:1分成四組，分以下三類討論：第一類：甲、乙分別分配到只有一人的小組中去，有種小組分配方式，先讓甲從三個(gè)景點(diǎn)中選一個(gè)，有種選法，再把剩余的三組全排列，有種，因此，共有種.第二類：甲與某人（非乙）組成一組，另外三人各一組，有種小組分配方式，先讓含甲的小組從三個(gè)景點(diǎn)中選一個(gè)，有種選法，再把剩余的三組全排列，有種，因此，共有種.第三類：乙與某人（非甲）組成一組，另外三人各一組，有種小組分配方式，先讓甲從三個(gè)景點(diǎn)中選一個(gè)，有種選法，再把剩余的三組全排列，有種，因此，共有種.因此，共有種.故答案為：四、解答題17．某購物網(wǎng)站為了了解人們網(wǎng)購的頻率，從年齡在18～65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常網(wǎng)購不經(jīng)常網(wǎng)購合計(jì)歲以下（含歲）歲以上合計(jì)(1)補(bǔ)充完整題中列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析以45歲為分界點(diǎn)對網(wǎng)購的頻率是否有差異；(2)從參與調(diào)查的人中隨機(jī)抽取2人，已知這2人的年齡都在45歲以上，求這2人都經(jīng)常網(wǎng)購的概率．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算卡方，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)；（2）由條件概率公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，題中列聯(lián)表如下：經(jīng)常網(wǎng)購不經(jīng)常網(wǎng)購合計(jì)歲以下（含歲）歲以上合計(jì)零假設(shè)為：以歲為分界點(diǎn)對網(wǎng)購的頻率沒有差異．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對網(wǎng)購的頻率有差異，此推斷犯錯(cuò)的概率不大于0.05．（2）記事件表示“這2人的年齡都在45歲以上”，事件表示“這2人都經(jīng)常網(wǎng)購”，則，，故所求概率為．18．某校為了了解學(xué)生的課后作業(yè)完成情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，得到他們在某天各自完成課后作業(yè)所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，按，，，，，，分成7組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計(jì)該校學(xué)生這天完成課后作業(yè)所用時(shí)間的中位數(shù)；(2)從參與調(diào)查且完成課后作業(yè)所用時(shí)間在和內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取到完成課后作業(yè)所用時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義以及計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由超幾何分布的概率計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋栽撔W(xué)生這天完成課后作業(yè)所用時(shí)間的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該校學(xué)生這天完成課后作業(yè)所用時(shí)間的中位數(shù)為，則，解得，即該校學(xué)生這天完成課后作業(yè)所用時(shí)間的中位數(shù)為．（2）由頻率分布直方圖可知完成課后作業(yè)所用時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為，完成課后作業(yè)所用時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．的分布列為故．19．某蛋糕店對某新品種蛋糕進(jìn)行試銷，根據(jù)試銷情況，得到銷售單價(jià)（單位：元/個(gè)）與每天的銷量（單位：個(gè)）的數(shù)據(jù)如下表：單價(jià)（元/個(gè)）56789銷量/個(gè)10080705030(1)求該新品種蛋糕的銷量關(guān)于銷售單價(jià)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若該新品種蛋糕的生產(chǎn)成本是每個(gè)3元，且除生產(chǎn)成本外，每天的固定成本是57元，根據(jù)（1）中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，求該蛋糕店這種新品種蛋糕一天利潤與銷售單價(jià)的比值的最大值.參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)參數(shù)分別為.【答案】(1)(2)32【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合題中公式運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果整理得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可知：，可得，所以該新品種蛋糕的銷量關(guān)于銷售單價(jià)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.（2）由（1）可知：利潤與銷售單價(jià)的比值，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，即該蛋糕店這種新品種蛋糕一天利潤與銷售單價(jià)的比值的最大值為32.20．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若函數(shù)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)極大值，極小值(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；（2）由函數(shù)的單調(diào)性研究圖象，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)椋裕桑没颍桑茫瑒t在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故，．（2）因?yàn)椋缘膯握{(diào)性與的單調(diào)性一致，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸沒有交點(diǎn)，即沒有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．21．2023年2月2日，第27個(gè)世界濕地日中國主場宣傳活動(dòng)在杭州西溪國家濕地公園舉行，2023年世界濕地日將主題定為“濕地修復(fù)”．某校為增強(qiáng)學(xué)生保護(hù)生態(tài)環(huán)境的意識，舉行了以“要像保護(hù)眼睛一樣保護(hù)自然和生態(tài)環(huán)境”為主題的知識競賽，比賽分為三輪，每輪先朗誦一段愛護(hù)環(huán)境知識，再答3道試題，每答錯(cuò)一道題，用時(shí)額外加20秒，最終規(guī)定用時(shí)最少者獲勝，已知甲、乙兩人參加比賽，甲每道試題答對的概率均為，乙每道試題答對的概率均為，甲每輪明誦的時(shí)間均比乙少10秒，假設(shè)甲、乙兩人答題用時(shí)相同，且每道試題是誰答對互不影響．(1)若甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對的試題的總數(shù)量相同，求乙最終獲勝的概率；(2)請用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識解釋甲和乙誰獲勝的可能性更大．【答案】(1)(2)甲獲勝的可能性更大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，第三輪答題中乙要比甲多答對2道題以上才能獲勝，然后分情況計(jì)算概率；（2）算出甲、乙兩人因答錯(cuò)試題額外增加的時(shí)間的期望值結(jié)合題意進(jìn)行比較.【詳解】（1）因?yàn)榧住⒁覂扇嗽诘谝惠喓偷诙喆饘Φ脑囶}的總數(shù)量相同，且甲每輪朗誦的時(shí)間均比乙少10秒，所以第三輪答題中乙要比甲多答對2道題以上才能獲勝．若乙答對2道試題，甲答對0道試題，則，若乙答對3道試題，