2022年江西省宜春市高考理科數學押題試卷

本試卷滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的市(縣、區)、學校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區域內相應位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.已知R是實數集，集合4={xeZ||x|<3},B={x|2?-x-3>0},則AH(CRB)=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知復數2=(a-2i)(l+3z)(aGR)的實部與虛部的和為12,則|z-5|=()

A.3B.4C.5D.6

3.已知向量之=(1,-V7),\b\=3,a'b=3^6,貝丘與Z的夾角為()

TT71TC27T

A?-B?一C?-D.—

6433

4.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇

環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為0,及，43,--“9,設數列{"”)為等差數列，

它的前〃項和為S”,且42=18,44+46=90,則S8=()

A.189B.252C.324D.405

5.已知M為拋物線C：(p>0)上一點，點例到C的焦點的距離為7,到x軸的

距離為5,貝i]p=()

A.3B.4C.5D.6

?,cos3a-cosa

6.己知tana=2,則------=()

cos(a+-)

第1頁共24頁

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

A.18B.36C.54D.108

8.某保險公司銷售某種保險產品，根據2021年全年該產品的銷售額（單位：萬元）和該產

品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據雙層餅圖，下列說

法正確的是（）

12月西口

&月：5%

11)1:10%.7ss月：6%

'第四季度

28%）

10月：12%|5月:9%

9月：12%6月：“%

8月：10%7月:8%

A.2021年第四季度的銷售額為380萬元

B.2021年上半年的總銷售額為500萬元

C.2021年2月份的銷售額為60萬元

D.2021年12個月的月銷售額的眾數為60萬元

9.第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市

舉行.現要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪

大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和

乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數為（）

A.12B.14C.16D.18

10.在四邊形A8c。中（如圖1所示），AB=AD,ZABD=45°,BC=BD=CD=2,將四

邊形A8CD沿對角線8。折成四面體48CD（如圖2所示），使得NA,BC=90°,則四面

體HBCZ）外接球的表面積為（）

第2頁共24頁

A

DD

BB

圖2

A.9nB.8nC.7nD.6TT

11.已知雙曲線c；l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2,左，右頂點分別

為Ai，4，P為雙曲線的左支上一點，且直線出1與必2的斜率之積等于3,則下列說法

正確的是()

A.雙曲線C的離心率為百

B.若且又「&尸2=3,則。=2

C.以線段PF”Ai4為直徑的兩個圓外切

D.若點用到C的一條漸近線的距離為8，則C的實軸長為4

12.己知i€N*,數列1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,1,1,2,4,

21,2廣1,…,2,1,…的前〃項和為S,”若SQ2022,則〃的最小值為()

A.81B.90C.100D.2021

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分。

13.己知/(x)是奇函數，且當JC>0時，/(x)=-In(ax').若，(-e2)=2,則a—.

y之一1

14.若x,y滿足約束條件卜x+y—5WO,則z=x+y的最大值為.

.3%—2y+1N0

15.函數f(x)=-/+1的圖象在點(1,/(I))處的切線的斜率為.

16.函數/(x)=2sin(3x+(p)(3>0,0<<p<7T)的部分圖象如圖所示，其中/(0)=/得)，

e

f(-引=0,若對于任意的刀1€[-§,親),x2(f?:),f(xi)-A>COS2X2-sin3xi

恒成立，則實數人的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(一)必考題：

第3頁共24頁

共60分。

17.（12分）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,△ABC的面積為S,已

知tzcosC+ccosA=V3,a=\[2b.

（1）求a；

（2）若S=瞪（。2+—匕2）,求4.

18.（12分）某中學組織一支“雛鷹”志愿者服務隊，帶領同學們利用周末的時間深入居民

第4頁共24頁

小區開展一些社會公益活動.現從參加了環境保護和社會援助這兩項社會公益活動的志

愿者中，隨機抽取男生80人，女生120人進行問卷調查（假設每人只參加環境保護和社

會援助中的一項），整理數據后得到如下統計表:

女生男生合計

環境保護8040120

社會援助404080

合計12080200

（1）能否有99%的把握認為學生參加社會公益活動所選取的項目與學生性別有關？

（2）以樣本的頻率作為總體的概率，若從本校所有參加社會公益活動的女生中隨機抽取

4人，記這4人中參加環境保護的人數為X,求X的分布列和期望.

2

n(ad—bc)

附：K2其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P（心心）0.0250.0100.0050.001

ko5.0246.6357.87910.828

19.（12分）如圖，AB是圓。的直徑，％J_圓。所在的平面，C為圓周上一點，。為線段

第5頁共24頁

PC的中點.NC8A=30°,AB=2PA.

(1)證明：平面AB￡>_L平面尸BC.

(2)若G為4。的中點，求二面角尸-3C-G的余弦值.

Xy

20.(12分)已知O為坐標原點，橢圓C：=+匕=l(a>b>0)的上頂點為A,右頂點為

第6頁共24頁

\FzA/6

B,△AOB的面積為一，原點O到直線AB的距離為一.

23

(I)求橢圓C的方程；

(2)過C的左焦點尸作弦。E,MN,這兩條弦的中點分別為P,Q,若而??疝V=0,

求△”Q面積的最大值.

21.(12分)已知函數/'(x)―^-ax-1+sinx.

第7頁共24頁

(1)當a=2時，證明：/(x)20；

(2)當。21時，討論函數/(x)的零點個數.

(二)選考題：共10分。［選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)

第8頁共24頁

(x=4-彖，

22.(10分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為｛：為參數).以坐

(y=2+>

標原點。為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為p2-2pcos6

-4psinO-1=0.

(1)求圓C的直角坐標方程；

(2)設圓C與直線/交于點A,B,若點尸的坐標為(4,2),求|例+|尸8|.

第9頁共24頁

2022年江西省宜春市高考理科數學押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.己知R是實數集，集合A={xeZ||x|V3},8={x|2/-X-3>0},則AC(CRB)=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【解答】解：是實數集，集合A={xez|因V3}={XCZ|-3Vx<3}={-2,-1,0,

1,2},

8={川2?-x-3>0}={4<-1或x>|},

3

：.CRB={X\-1<X<^},

AD(CR8)={-1,0,1}.

故選：B.

2.已知復數2=(a-2i)(l+3i)(a€R)的實部與虛部的和為12,貝lj|z-5|=()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：z=(a-2z)(l+3?)=a+3ai-2i-6i2=a+6+(3a-2)i,

所以復數z的實部與虛部分別為a+6,3a-2,

貝iJa+6+3a-2=12,得4=2,

：.\z-5|=|3+4i|=V32+42=5,

故選：C.

3.已知向量之=(1,-V7),而=3,a-b=3^6,貝丘與7的夾角為()

7T71TC27r

A.-B?一C?-D.—

6433

【解答】解：因為；=(1.一夕)，|a|=VT+7=2V2,

T—

又因為向1=3,a^b=3V6,所以COS/,b>=-^-=-^=^,<a,h>6[0,n],

\a\-\b\2J2,3/

TT77

所以VQ,b>=工.

6

故選：A.

4.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇

第10頁共24頁

環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為m，42,“3,…，”9,設數列｛““｝為等差數列,

它的前〃項和為％,且42=18,。4+〃6=90,則S8=（）

A.189B.252C.324D.405

【解答】解：因為數列｛““｝為等差數列，42=18,?4+46=為5=90,

所以“5=45,

所匕匚以|“dJ二0一g5二一°子2=-45—--18=9八,0=9八,

貝I]S8=8AI+28d=8X9+28X9=324.

故選：C.

5.已知M為拋物線C：/=2py（p>0）上一點，點M到C的焦點的距離為7,到x軸的

距離為5,貝Up=（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：設M的縱坐標為和，由拋物線的方程可得準線方程為：）=-多

由題意可得[為+0=7,兩式相減可得§=2,即p=4,

ly0=52

故選：B.

cos3^a-cosa

6.己知tana=2,則

cos(a+])

221

C.D.

32

cos3^a-cosacos3a-cosa

【解答】解：

cos(a+-7T)=-sina

1sin2a

_1—cos2a_____.

-tana-tanasin2a+cos2a

1tan2a142

s九Qtan2a+l-24+1-5’

故選：A.

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

第11頁共24頁

r*—6—>1

A.18B.36C.54D.108

【解答】解：根據幾何體的三視圖轉換為幾何體的直觀圖為：該幾何體為底面腰長為3立

的等腰直角三角形，高為6的三棱柱體；

如圖所示：

故V=*x3魚x3魚x6=54.

8.某保險公司銷售某種保險產品，根據2021年全年該產品的銷售額（單位：萬元）和該產

品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據雙層餅圖，下列說

法正確的是（）

12月嶼5%

1UJ:：6%

仁季度群XX"%

10月:9%

9月:12A月

8月:10%7月：8%

A.2021年第四季度的銷售額為380萬元

B.2021年上半年的總銷售額為500萬元

C.2021年2月份的銷售額為60萬元

D.2021年12個月的月銷售額的眾數為60萬元

第12頁共24頁

【解答】解：設全年總銷售額為x萬元，則XX（5%+5%+6%）=160,

故x=1000,

選項A：第四季度銷售額為1000X28%=280（萬元），故A錯誤.

選項8：上半年銷售額度為160+260=420（萬元），故8錯誤.

選項C：2月份的銷售額為1000X5%=50（萬元），故C錯誤.

選項D由圖易知銷售額占比為6%的月份最多，故月銷售額的眾數為1000X6%=60（萬

元），故。正確.

故選：D.

9.第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市

舉行.現要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪

大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和

乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數為（）

A.12B.14C.16D.18

【解答】解：若安排丙丁中的一名志愿者到首鋼滑雪大跳臺，其余3人到另外兩個場館，

則有C21c32A2?=12種，

若安排丙丁兩名志愿者到首鋼滑雪大跳臺，甲乙人到另外兩個場館，則有422=2種，

故有12+2=14種.

故選：B.

10.在四邊形ABC。中（如圖1所示），AB^AD,/A2￡>=45°,BC=BD=CD=2,將四

邊形ABC。沿對角線8。折成四面體A3CZ）（如圖2所示），使得N4BC=90°,則四面

體48CD外接球的表面積為（）

A.9冗B.8nC.7TTD.6TT

【解答】解：VAB=AD,NABD=45°,

??.A'B=AD,ZBAD=90°,

第13頁共24頁

又,：BC=BD=CD=2,

則AB2+AD2=4,

：.A'B=AD=V2,

可知△4B344OC,則/48C=/A￡>C=90°,

取AC的中點。，連接80,DO,

貝ijBO=DO=夕C,

所以點0為四面體ABCD外接球的球心，

則外接球的半徑為R=%C=^AB2+BC2=1J(V2)2+22=苧,

V6

所以四面體A5c。外接球的表面積s=4n/?2二軌義(一)2=6n,

2

11.己知雙曲線C；=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為尸”尸2,左，右頂點分別

為4,42,P為雙曲線的左支上一點，且直線陽與陽2的斜率之積等于3,則下列說法

正確的是()

A.雙曲線C的離心率為百

B.若PF1LPF2，且SAP&FZ=3，則。=2

C.以線段PQ,4A2為直徑的兩個圓外切

D.若點尸2到C的一條漸近線的距離為遮，則C的實軸長為4

x2

【解答】解：對于A,設PG,y),則)?=必(―-1),

*az

因為Ai(-a,0),A2(a，0),直線出i與南2的斜率率之積等于3,

22

vyyb1+，?=2,故A錯誤;

所以須4-七公=有?有=百工=我=3,得由

第14頁共24頁

對于8：因為e=2,所以c=2a,

而P為雙曲線的左支上一點，根據雙曲線的定義可得IPF2ITPFil=2a,

又「F1LPF2,且540斤七=3，貝|J|P&「|PF1I=6,

由IP尸2『+尸產自=(2c)2,可得(尸乃|-仍尸||)2+2\PF2\'\PF\\=4C2,

即4〃2+12=1642,解得a=i,故B錯誤；

對于C：設PFi的中點為01，0為坐標原點，則0。1為△PQF2的中位線,

所以|。01|=32/2|=/(仍尸11+2.)=^\PFi\+a,

則以線段PFi為直徑的圓，圓心為01,半徑

以線段PF2為直徑的圓，圓心為O,半徑口=a,

對于。：因為點放到C的一條漸近線的距離為舊，所以6=百，

又由前面的推理可知2=W，所以。=1,故C的實軸長為24=2,故力錯誤.

a

故選：C.

12.已知記N*,數列1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,1,1,2,4,…，

2。2…，…,2,1,…的前〃項和為S”，若SQ2022,則〃的最小值為()

A.81B.90C.100D.2021

【解答】解：觀察數列，第1項為1,第2?4項為1,2,1,第5?9項為1,2,4,2,

1,

則第(k-1)2+1?必項為1,2,4,2卜1,…4,2,1,在N+,

貝I］第(A-1)2+1?2項，這兼-1項之和為2X(1+2+4+…+2k2)+2卜1

第15頁共24頁

k-1

其中&-1項等比數列求和1+2+4+…+2kT=1義(：一；)=2"，1,

1—z

klkikk

則2X(1+2+4+…+2卜2)+2'=2X(2'-1)+2''=3X2''-2

所以從第1項加到第P項之和又2=(3x2°-2)+(3x21-2)+(3x22-2)+???+

(3x2*1-2)=3x(20+21+22+???+2k-1)-2k=3x巧早上)-=3X2k-

3-2k,

要使Skz>2022,

則3X2*-3-2k>2022,kEN+,

9

因為當k=9時，S81=3X2-3-2x9=1515<2020；

當k=10時，Si。。=3x210-3-2xl0=3049>2022,

則所求最小〃必在第81項和第100項之間，

而第82項?第100項為1,2,4,2、…4,2,1,這里前面10項和,即1+2+-

+29=2i°-l=1023,

而$81+1023=1515+1023=2538>2022,這里前9項和，即1+2+-+28=29-1=511,

而$81+511=1515+511=2024>2022,這里前面8項和，即1+2+…+27=28-1=255,

而Ss?+255=1515+255=1770<2022,

若S”>2022,則最小〃是第81項后面第9項，即第90項，

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分。

13.已知/(X)是奇函數，且當x>0時，/(X)=-/〃(ox).若/(-?2)=2,則a=1.

【解答】解：根據題意，/(x)是奇函數，且/(-e2)=2,

則/(e2)=-/(-e2)--2,

又由當x>0時，f(x)=-In(ar),則有/(e2)--In(ae2)--2,

解可得a=l,

故答案為：1.

(yn-1

14.若x,y滿足約束條件3x+y-5W0,則z=x+y的最大值為3.

(3x—2y+1>0

yN—1

【解答】解：X,y滿足約束條件3x+y—5W0,

3%―2y+1>0

則X,y滿足的可行域如圖所示:

第16頁共24頁

聯立方程I：[：：：[Jo,解得A（1,2）,

由圖可得2=》+》在點A處取得最大值，即z=1+2=3,

故答案為：3.

【解答】解：由/'（x）=-/+1,得/口）=-2%-專，

：.f'（1）=-2X1-1=-3.

即函數/（乃=一/+；的圖象在點（1,/（I））處的切線的斜率為-3.

故答案為：-3.

16.函數/（x）=2sin（3x+（p）（3>0,0<（p<n）的部分圖象如圖所示,其中/（0）=/（等）,

e

r（-簾=0,若對于任意的e[-§,強），x2（f?號），f（xi）-A>COS2%2-sin3xi

恒成立，則實數入的取值范圍為（-8,一：.

【解答】解：因為/'（（））=/'（等），所以y=f（x）的圖象關于直線對稱,

第17頁共24頁

「2n」ej3T57r27r7T

又/(一的")=0,由圖知二~=忘+"7=彳，

J勺1OrZ

所以T二條從而3=3,

由3X(—^-)+(p=0,得(p=

所以/(x)=2sin(3x+竽)，

f(xi)-入>以>5"2-sin3xi,可化為V5cos3xi>cos2x2+入，

當%iW[—5，％2€(看，令時，V3COS3XIG(0,>/3],COS2X2+AG(A-2+分，

111

所以4+240，解得入W—21即入€(-8,——].

故答案為：(-8,-i].

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)在△ABC中，內角A,B,。所對的邊分別為小b,c,ZVIBC的面積為S,己

知izcosC+ccosA=V3,a—y[2h.

(1)求4；

(2)若S=-〃)，求4.

【解答】解：(1)因為acosC+ccosA=V3,

由余弦定理得，“X丹養+”Q嘉包=日，

因為〃=V2b.

整理得，b=V3,a=y/2h=V6,

(2)若S=j|(a24-c2—h2)=第x2tzccosB=厲ac黃sB,

1y/3

所以一QCsinB=-accosB,

26

所以tanB=當,

由8為三角形內角得，B='

o

，一、一…asinAl

由正弦7E理得，7=——=，2,

bsinB

所以sinA=孝，

第18頁共24頁

因為A為三角形內角且

所以A=與或7.

18.(12分)某中學組織一支“雛鷹”志愿者服務隊，帶領同學們利用周末的時間深入居民

小區開展一些社會公益活動.現從參加了環境保護和社會援助這兩項社會公益活動的志

愿者中，隨機抽取男生80人，女生120人進行問卷調查(假設每人只參加環境保護和社

會援助中的一項)，整理數據后得到如下統計表:

女生男生合計

環境保護8040120

社會援助404080

合計12080200

(1)能否有99%的把握認為學生參加社會公益活動所選取的項目與學生性別有關？

(2)以樣本的頻率作為總體的概率，若從本校所有參加社會公益活動的女生中隨機抽取

4人，記這4人中參加環境保護的人數為X,求X的分布列和期望.

2

2

附股.K=-(-a-+-b-)(,c其+d中)(an+=ca)+(bb++cd+)d'只中"a+u+c+a.

P(諾力ko)0.0250.0100.0050.001

ko5.0246.6357.87910.828

2

【解答】解：(1)由表中的數據可得K2=十.556<6.635,

2。器iZUX黑oUXl需ZUXo公U

故沒有99%的把握認為學生參加社會公益活動所選取的項目與學生性別有關；

802

(2)女生共有120人，參加環境保護的人數為80人，則女生參與率為一=一,

1203

由已知可得X可取0,1,2,3,4,

所以P(X=0)=C4(1—I，=gY,P(X=1)=C4xgx(1—2)3=

P(X=2)=CIx(|)2x(1-f)2=P(X=3)=CIx(j)3x(1-1)1=|1,

P(X=4)=Cix(|)4=券

所以X的分布列如下：

X01234

p18243216

8181818181

第19頁共24頁

2

因為X服從二項分布，即X?B(4,

所以X的數學期望為E(X)=4x1=|.

19.(12分)如圖，AB是圓。的直徑，以，圓。所在的平面，C為圓周上一點，。為線段

PC的中點.ZCBA=30°,AB=2PA.

(1)證明：平面AB￡>_L平面P3C.

(2)若G為A。的中點，求二面角P-BC-G的余弦值.

【解答】(1)證明：因為雨，圓O所在的平面，所以

因為C為圓周上一點，AB是圓。的直徑，所以BCLAC,

因為%AAC=A,所以BC_L平面處C,

因為ADu平面R1C,所以BCLA。，

因為/C8A=30°,所以A8=24C,又因為A8=2附，所以AC=AP,

因為。為PC中點，所以AO_LPC,

又因為PCC8C=C,所以AOL平面P8C,

因為AQu平面ABD,所以平面AB￡>_L平面PBC.

(2)解：不妨設OA=m則附=AC=a,PD=DC=AD=*所以。G=^a,

由(1)知BC_L平面PAC,所以PC±BC,GC±BC,所以NGCP是二面角P-BC-G

的平面角，

tanZGCP=穿=￡■=i,二面角P-BC-G的余弦值為「1二=

rJi+(/

_x2y2

20.(12分)已知O為坐標原點，橢圓C=+77=l(a>b>0)的上頂點為A,右頂點為

B,△AOB的面積為座，原點O到直線AB的距離為農.

23

(1)求橢圓C的方程；

(2)過C的左焦點尸作弦QE,MN,這兩條弦的中點分別為P,Q,若法?M〉=0,

第20頁共24頁

求△尸PQ面積的最大值.

【解答】解：(1)易知A(0,b),B(a,0).

因為△AOB的面積為所以S—OB==苧.

又直線AB的方程為%11,即由廠"=。，點。到直線A8的距離為當

abV6

Va2+Z72

1=V2

聯立方程組，ab_布,

解得a=V2,b=l.

所以橢圓C的方程為:"+y2=1.

(2)由題意知直線。E,MN的斜率均存在，設。E的斜率為4,D(Xi，與)，E(x2,”)，

由(1)知尸(-1,0),

則直線DE的方程為y=k(x+1).

聯立方程組消去y，得(1+2A2)/+43+2必-2=0,

+生中…工Mr，旦_4k2

—

由韋達7E.理可得.+X2—-一21^'

因為P(xp,yp)為DE的中點，所以孫=---2k?,yp=k(xP+1)=――~2y即

-1+2/1+2/？

p(--R，—^))

1+2F1+2—

^2+])2+(―^)2=應￡.

所以|PF|=(一-J+I)2+(q7)2=

l+2/c21+2/l+2/c

因為直線MN的斜率為一%用-%代替人得Q(―――,_仁),所以|<?用=因｛1+后,

所以SAFPQ=?|PF||FQ|=^

1+2必必+2-22(*

設士=』2+力+2??2),貝凡FPQT?高冬?表(02),當且僅當f=孝時取

等號.

設f(t)=2t+*(tZ2),由對勾函數的性質知/(力在區間［2,+8)上單調遞增，

第21頁共24頁

所以當r=2時，f(r)最小，即SMPQ最大,解得必=1,

ill

所以△FP。面積的最大值為3x不=

21.(12分)已知函數/(x)=ex-ax-1+sinx.

(1)當a=2時，證明：/(x)20；

(2)當時，討論函數/(x)的零點個數.

【解答】解：(1)證明：當。=2時，/(x)=/-2x-1+siiu,

所以,(x)=ex-2+cosx,

所以尸(x)-sinx,

當(-8,o)時，所以：f(x)W-l+cos%W0,

所以在(-8,0]單調遞減，所以f(x)(0)=0.

當xC(0,+8)時，/>1,所以/"(x)>1-sinx^O,

所以/(x)在(0,+8)單調遞增，所以/(x)>/(0)=0.

所以/(x)在(0,+8)上單調遞增，f(x)>f(0)=0.

綜上所述：/(x)》0當且僅當x=0時，等號成立.

(2)由于/(0)=e°-0-l+sinO=O,所以0為函數/(x)的一個零點.

f(x)-a+cosx,f"(x)="-sinx,

(z)當。=2時，由(1)知函數/(x)僅有一個零點，

(，)當a>2時，

①當(-8,0)時，f(x)<e0-a+cos0<0.

/(x)在(-8,o)單調遞減，f(x)>f(0)=0.

所以當(-8,0)時，函數f(x)無零點.

②當