第04講簡單的三角恒等變換1．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(2)公式變形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2．輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).（其中）＝eq\r(a2＋b2)cos(x—φ).（其中）一．三角函數式的化簡例1．（1）計算的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】（2）已知點為角終邊上一點，且，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】首先根據三角函數恒等變換得到，從而得到，即可得到的值.【詳解】，即.又因為，解得.故選：D（3）若，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函數的誘導公式將，再運用三角恒等變換公式求解.【詳解】依題意，，，則，即，故，則故選：D.（4）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式化簡，再結合的范圍確定和的符號即可求解.【詳解】由二倍角公式可知，，，從而，又因為，所以，，從而.故選：D.（5）若，則（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】由二倍角公式得，化簡得出或，再由三角恒等變換得出，再分別討論，兩種情況即可．【詳解】由題可得所以，即所以或又所以當時，；當時，．故選：A（6）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式將的等式右側化簡，再利用分式運算及兩角和差的余弦公式化簡，根據，即可求得的值.【詳解】解：由，且即.所以整理得：又，所以，即.故選：A.【復習指導】：(1)三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結構與特征．(2)三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的聯系點．二．三角函數的求值命題點1給角求值例2．（1）的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】變形后，根據兩角差的余弦公式計算可得答案.【詳解】，故選：C.【點睛】本題考查了兩角差的余弦公式，屬于基礎題.（2）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由倍角公式結合誘導公式求解即可.【詳解】故選：A（3）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用二倍角公式，兩角和差的正弦、正切公式及特殊角的三角函數值計算可得；【詳解】解：對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確；故選：ACD（4）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用三角恒等變換公式化簡計算可得；【詳解】解：對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，所以，所以，故C正確；對于D：，故D錯誤；故選：AC（5）若，則___________.【答案】【分析】由誘導公式結合和差角公式求解即可.【詳解】故答案為：【復習指導】：解決給角求值問題的方法(1)對于非特殊角的三角函數式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角函數公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式．(3)直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角．(4)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式．命題點2給值求值例3．（1）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角的變換，再根據兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以，所以.故選：D.（2）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據角的范圍和同角三角函數之間的基本關系求出，結合誘導公式計算化簡即可.【詳解】，∵為銳角，∴，∴故選：C．（3）已知，且，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方關系以及二倍角公式求出、、與的值，再利用求解即可.【詳解】因為，所以.又因為，，所以，，從而可得，，所以.故選：D.（4）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先由角知，再利用同角三角函數平方關系求，二倍角余弦公式以及誘導公式求即可.【詳解】，，又，..故選：D.（5）已知，，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】（6）已知，且，則________.【答案】【分析】利用平方關系求出，再利用二倍角的正弦公式即可得出答案.【詳解】解：，，又，，，，.故答案為：.【復習指導】：解決給值求值問題的方法給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯系，有兩個觀察方向：(1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關系明朗化；(2)尋找角之間的關系，看是否適合相關公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關系．(3)注意幾種公式的靈活應用，如：①sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；②cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).命題點3給值求角例4．（1）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數平方關系可求得，利用兩角和差余弦公式可求得，結合可得結果.【詳解】，，，，，又，.故選：B.【復習指導】：已知三角函數值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數值．為防止增解最好選取在范圍內單調的三角函數．(3)結合三角函數值及角的范圍求角．提醒：在根據三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．（2）若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數的基本關系求出，的值，然后利用和差角公式及特殊角函數值，可得的值．【詳解】∵，，由，，得，，若，則，與矛盾，故舍去，若，則，又，.故選：A.（3）設，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二倍角的正切公式與兩角和的正切公式求解，再分析角度范圍得到即可【詳解】因為，所以，且，所以，則故選：A．（4）已知，，，，則（

）A．或B．C．D．【答案】C【分析】根據角度范圍得到，，計算，得到答案.【詳解】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故選：C（5）已知，則_____.【答案】【分析】根據求出，結合求出，結合，求出.【詳解】因為，，所以，因為，解得：，所以，由，得，解得：，因為，所以．故答案為：（6）若，且，則的值為___________.【答案】或【分析】根據二倍角的余弦公式和兩角差的正弦公式可得，分類討論當、時的情況，結合和輔助角公式計算即可.【詳解】由題意知，則，即，當時，，即，由，得；當時，，所以，即，由，得，所以，得.故答案為：或【復習指導】：三角函數求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．(3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角．三．輔助角公式例5．（1）將下列各式化成的形式，其中，，.=1\*GB3①________________；=2\*GB3②________________；=3\*GB3③________________；=4\*GB3④________________；=5\*GB3⑤________________；=6\*GB3⑥________________；=7\*GB3⑦________________；=8\*GB3⑧________________；=9\*GB3⑨________________．【詳解】=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧；=9\*GB3⑨．（2）把化為的形式為______________．【答案】【分析】根據輔助角公式和兩角和則正弦公式即可得出結果.【詳解】因為，故答案為：.（3）若可化為，則___________.【答案】【分析】根據二倍角公式、輔助角公式進行求解即可.【詳解】，令，因為，所以由，即，故答案為：（4）已知函數的最小正周期為，則___．【答案】1【分析】利用輔助角公式，可得解析式，根據正弦型函數的最小正周期的求法，結合題意，即可得答案.【詳解】因為函數，所以最小正周期為：，解得.故答案為：1（5）已知函數，，則的最小值是________【答案】【分析】利用輔助角公式化簡函數解析式，進而根據函數的圖象與性質求出最值，進而分析出的最小值等于，進而可以求出結果.【詳解】因為，所以，，所以，故答案為：.（6）若函數取最小值時，則___________.【答案】【分析】利用三角函數的恒等變換，再利用誘導公式即可求解.【詳解】，其中時取最小值，，故答案為：.四．三角恒等變換的綜合應用例6．（1）__________．【答案】【解析】由正切的和角公式得若，則，再根據此結論求解即可得答案.【詳解】解：∵，，∴，∴．∴故答案為：【點睛】本題考查正切的和角公式化簡求值，解題的關鍵在于從題中發現若，則，是中檔題.（2）設為實數，已知，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】由，利用的范圍可得答案.【詳解】，因為，所以，所以，解得，則的取值范圍.故答案為：.（3）已知，．=1\*GB3①求的值；=2\*GB3②若，且，求的值．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②．【分析】=1\*GB3①先利用兩角差的正切公式求得角的正切值，把所給的函數式進行恒等變形，根據二倍角公式和同角的三角函數關系，進行弦化切，代入即得結果；=2\*GB3②先求得角的正切值，結合所給的角的范圍，利用同角的三角函數的關系和兩角和與差的三角函數公式，即求得結果．【詳解】=1\*GB3①由，于是．=2\*GB3②由，，又及進一步可得，及進一步可得，于是，因此．（4）已知函數f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.=1\*GB3①求函數f(x)的最小正周期及單調遞減區間；=2\*GB3②若α∈(0，π)，且f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值．【詳解】=1\*GB3①因為f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝cos2xsin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝eq\f(1,2)(sin4x＋cos4x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))，所以函數f(x)的最小正周期T＝eq\f(π,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤4x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,16)≤x≤eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,16)，k∈Z.所以函數f(x)的單調遞減區間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16)))，k∈Z.=2\*GB3②因為f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝1.又α∈(0，π)，所以－eq\f(π,4)<α－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，所以α－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，故α＝eq\f(3π,4)，因此taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(tan\f(3π,4)＋tan\f(π,3),1－tan\f(3π,4)tan\f(π,3))＝eq\f(－1＋\r(3),1＋\r(3))＝2－eq\r(3).（5）已知函數f(x)＝eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).=1\*GB3①求函數f(x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最值；=2\*GB3②若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))的值．【詳解】=1\*GB3①由題意得f(x)＝eq\f(\r(2),4)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝－eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7π,12))).因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,2)))，所以x－eq\f(7π,12)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(11π,12)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7π,12)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，所以－eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7π,12)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(6),4)))，即函數f(x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最大值為eq\f(\r(6),4)，最小值為－eq\f(\r(2),2).=2\*GB3②因為cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以sinθ＝－eq\f(3,5)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(16,25)－eq\f(9,25)＝eq\f(7,25)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)－\f(7π,12)))＝－eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)(sin2θ－cos2θ)＝eq\f(1,2)(cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)＋\f(24,25)))＝eq\f(31,50).【復習指導】：三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通常是把復雜的三角函數通過恰當的三角變換，轉化為一種簡單的三角函數，再研究轉化后函數的性質．在這個過程中通常利用輔助角公式，將y＝asinx＋bcosx轉化為y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函數的性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征，注意利用整體思想解決相關問題．1．（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導公式和二倍角的正弦公式可求三角函數式的值.【詳解】，故選：D.2．等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡，再通分利用二倍角和輔助角公式化簡得解.【詳解】解：，故選：C．3．設，，化簡（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用三角恒等變換求解.【詳解】因為，，所以，，，，，，故選：A4．已，且則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平方求出，進而求出，將所求的式子分子用二倍角公式化簡，分母用兩角和余弦公式展開，即可求解.【詳解】平方得，，.故選:D.【點睛】本題考查三角函數求值問題，涉及到同角間的三角函數關系、三角恒等變換的應用，熟記公式是解題的關鍵，屬于中檔題.5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角公式化簡計算即可得出結果.【詳解】由可得，則，又，，故，又，解得：，所以：.故選：C.6．化簡（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由三角恒等變換與誘導公式求解即可【詳解】，故選：D.7．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等變換與同角三角函數關系，一步步化簡為只含的式子再代入即可解出答案.【詳解】，，，，，，，，，，故選：C.8．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角恒等變換可得，再由平方關系即可得解.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以.故選：A.9．計算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關系化簡即可.【詳解】因為，所以原式故選：C10．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可得，再代入，結合誘導公式與二倍角公式求解即可【詳解】令可得，故，則故選：C11．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據誘導公式計算出的值，然后根據二倍角的余弦公式求解出的值.【詳解】∵.∴，∴，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于誘導公式以及二倍角公式的熟練使用，要具備一定的轉化技巧；本例還可以通過直接將變形進行求解：.12．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據同角三角函數的基本關系求出，再根據利用誘導公式及二倍角的正弦公式計算可得；【詳解】解：∵，∴，∵，∴，則，∴，故選：B.13．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和差公式和二倍角公式化簡求值即可．【詳解】因為，所以，即，則，.故選：A14．已知，函數，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件，結合三角函數的性質可得，，從而利用即可求解.【詳解】解：令，，則或，令，，則，又，，所以，，，，因為，，所以，，所以，故選：B.15．若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原式分母看作1，由則可化為，結合同角函數關系及，即可求值.【詳解】，又，∴原式.故選：D16．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據兩角差的余弦公式即可得出，然后即可求出的值.【詳解】,.故選：D.17．若則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應用三角恒等變換：二倍角正弦公式，及同角正余弦平方關系，目標式可化為，結合已知即可求值.【詳解】.故選：B.18．若且，則（

）A． B． C． D．7【答案】B【分析】先由余弦的二倍角公式與齊次式弦化切得到關于正切的方程，結合角的范圍求出答案.【詳解】，故，由于，所以，故.故選：B19．若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩角和與差的余弦公式，結合角的取值范圍求解【詳解】因為，所以，因為，所以，即，所以.因為，，所以，因為，所以.所以.因為，，所以，所以.故選：A20．已知，均為銳角，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的值，再去求的值即可.【詳解】由，且為銳角，可得由，且為銳角，可得則又由，均為銳角，可得，則故選：D21．已知為銳角，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用配角法及兩角和余弦公式，即可得到結果.【詳解】∵為銳角，，∴，，∴，又，∴，故選：B22．若，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根據兩角和的余弦公式可得，由誘導公式及的范圍即可求解.【詳解】，.由，可得，即.，，，，且，根據函數易知：，即得：.故選：A23．已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】，.，所以.故選：B24．設，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據同角的三角函數關系式，結合正弦二倍角公式、輔助角公式、正弦型函數的性質進行求解即可.【詳解】由，所以，因為，所以令，得，故選：C25．下列點中為函數的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數的平方公式與倍角公式化簡函數得，再利用代入檢驗法判斷三角函數的對稱點，對選項逐一檢驗即可得解.【詳解】因為，對于AD，當時，，所以該函數關于對稱，故AD錯誤；對于B，當時，，所以該函數關于對稱，故B錯誤；對于C，當時，，所以該函數關于對稱，故C正確.故選：C.26．（多選）下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由三角恒等變換逐一判斷即可.【詳解】A：，符合題意；B：，不符合題意；C：，符合題意；D：，不符合題意故選：AC27．（多選）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據，可以縮小的范圍，即可判定出的正負.再利用湊角的方法，即，求出，即可得到的大小.【詳解】因為，，所以，且.因為，所以.因為，所以.因為，所以.因為，所以，故.故選：AD28．（多選）已知，其中為銳角，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】結合同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換的知識確定正確選項.【詳解】為銳角，即，，，由于，所以，所以，由于，所以，A選項正確.，所以B選項正確.①，②，①+②并化簡得，所以C選項錯誤，①-②并化簡得，所以，所以D選項錯誤.故選：AB29．___________.【答案】【分析】將原式化切為弦，通分，然后利用兩角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.【詳解】.故答案為：.30．若，則___________.【答案】【分析】由題意可得，令，則，，化簡即得解.【詳解】由題意可得，令，則，，所以原式，故答案為：.【點睛】方法點睛：三角恒等變換求值常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）.要根據已知條件靈活選擇方法求解.31．已知，，若，則______．【答案】【分析】利用恒等變換公式和二倍角公式將，即可得，再利用恒等公式求出.【詳解】因為，，，解得，所以，，.又，所以，.所以.故答案為：.32．，，則______．【答案】【分析】利用二倍角公式，結合的范圍進行求值【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故答案為：33．若實數，滿足方程組，則的一個值是_______.【答案】（滿足或的值均可）【分析】直接利用三角函數關系式的變換的應用求出結果．【詳解】解：實數，滿足方程組，則，由于，所以，則；所以，整理得，所以或，即得或.故可以取時，．故答案為：（滿足或的值均可）34．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓分別交于A，B兩點，x軸正半軸與單位圓交于點M，已知S△OAM＝，點B的縱坐標是.則cos(α－β)＝________，2α－β＝________.【答案】

－

－【分析】先根據三角函數的定義及面積公式求出α和β的正弦，余弦，再根據兩角和與差的正弦余弦公式及倍角公式計算要求的角及函數值即可.【詳解】由題意，OA＝OM＝1，因為S△OAM＝和α為銳角，所以sinα＝，cosα＝.又點B的縱坐標是，且β為鈍角所以sinβ＝，cosβ＝－，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.因為cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，所以2α∈.因為β∈，所以2α－β∈.因為sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝－，所以2α－β＝－.故答案為：－；－.35．設，函數為偶函數，則的最小值為___________.【答案】【分析】首先用輔助角公式將化簡為，由誘導公式，若為偶函數，則（），由此可求出的最小值.【詳解】，∵為偶函數，所以（），∴，又∵，∴當時，的最小值為.故答案為：.36．若函數的一個零點為，則______．【答案】【分析】由題意,利用函數的零點,求得的值,再利用輔助角公式和兩角差的正弦公式化簡,可得.【詳解】函數的一個零點為,,,函數,.故答案為:.37．函數的最大值為______．【答案】13【分析】利用輔助角公式化簡,即可由正弦函數的性質求得最大值.【詳解】，令，所以可得所以由正弦函數的性質可知的最大值為.故答案為:38．把化成（其中的形式：____．【答案】【分析】根據給定條件，利用輔助角公式求解作答.【詳解】.故答案為：39．函數的最大值是______.【答案】【分析】利用輔助角公式計算可得；【詳解】解：，其中，；因為，所以；故答案為：40．函數的值域是______．【答案】【分析】利用輔助角公式，化簡，然后利用正弦函數的有界性，即可得到的值域【詳解】，，所以所求值域為：故答案為：41．已知方程在上有解，則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】先求出函數的值域，即可求解.【詳解】解：，故，故答案為：42．對任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______.【答案】【分析】參變分離得到對任意實數，不等式恒成立，進而求出的最小值即可.【詳解】因為對任意實數，不等式恒成立，即對任意實數，不等式恒成立，即，設，而，且，所以，因此