(習題課)二面角αβl湖南省臨湘市一中李君英(習題課)二面角αβl湖南省臨湘市一中李君英

從空間一直線出發的兩個半一、二面角的定義二、二面角的平面角的平面角

一個平面垂直于二面角的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA、OB,垂足為O，則∠APB叫做二面角ABOβαlαβl平面所組成的圖形叫做二面角1、定義從空間一直線出發的兩個半一、二面角的定義二、二面角的例1如圖P為二面角α–l–β內一點，PA⊥α于點A,PB⊥β于點B,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數。

設l與平面PAB相交于點O

∵PA⊥α,PB⊥β

∴PA⊥l,PA⊥l∴l⊥平面PAB連結AO、BO,則∠AOB為二面角α–l–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7∴∠APB=60o∴∠AOB=120o

∴這二面角的度數為120o解：βαABPlO例1如圖P為二面角α–l–β內一點，PA⊥α于點A,PB小結一一.求二面角大小的一般步驟①找(作)二面角的平面角②證明所作角為二面角的平面角③求二面角的平面角找證求二.依據定義求二面角的平面角PαβlABO小結一一.求二面角大小的一般步驟①找(作)二面角的平面角②證例2如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在α、β內引射線PM、PN，且∠MPN=60o

∠BPM=∠BPN=45o

，求此二面角的度數。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P

的一點O，在α內過O作OC⊥AB交PM于C，在β內作OD⊥AB交PN于D，連CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角設PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45o又∵∠MPN=60o∴CD=PC

a∴∠COD=90o因此，二面角的度數為90o例2如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在小結二三.雙垂線法求二面角的平面角ABαβlP小結二三.雙垂線法求二面角的平面角ABαβlPOABPC取AB

的中點為E，連PE，OE∵O為AC

中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO

∴∴所求的二面角P-AB-C

的正切值為例3如圖，Rt△ABC所在平面外一點P在面ABC上的射影是Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO為二面角P-AB-C

的平面角在Rt△PBE中，BE

，PB=1，PEOE⊥AB

，因此

PE⊥ABE解：EOPOABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點lPαβAB小結三四.三垂線法求二面角的平面角lPαβAB小結三四.三垂線法求二面角的平面角ABCOαβ三角形ABC在面β內的射影為BCO,三角形ABC的面積為S原，三角形BCO的面積為S射,則射影面積公式設θ為所求二面角的大小，S

為二面角的一個面內的平面圖形的面積，S'為該平面圖形在另一個面內的射影所組成的平面圖形的面積，則如圖,已知二面角,設它的大小為lABCOαβ三角形ABC在面β內的射影為BCO,三角形ABABCDA1C1D1EB1M例4如圖，設E為正方體的邊CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。G△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為△A1B1C1，故這兩個平面所成二面角的余弦值為ABCDA1C1D1EB1M例4如圖，設E為正方體的邊CF小結四五.射影法求二面角的平面角設θ為所求二面角的大小，S原為二面角的一個面內的平面圖形的面積，S射為該平面圖形在另一個面內的射影所組成的平面圖形的面積，則F小結四五.射影法求二面角的平面角設θ為所求二面角的大小，如圖（2），設二面角的大小為利用向量法求二面角的平面角①方向向量法將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內且垂直于二面角的棱的有向線段表示的向量）的夾角。DClBA如圖（2），設二面角的大小為利用向量法求二面則二面角的大小

將二面角轉化為二面角的兩個面的法向量的夾角。注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進一出，二面角等于法向量夾角l②法向量法如圖，向量則二面角的大小將二面角轉化例5如圖,PA⊥平面ABC，求二面角的大小PABCABCDA1C1D1B1E例6如圖，在長方體AC1中,

點E在棱AB上移動AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值時，二面角的大小為例5如圖,PA⊥平面ABC，求二面角1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

練習2、已知P為二面角內一點，且P到兩個半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個二面角的度數是多少？ABCP60o1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上任VABC3.空間四邊形VABC的各邊及對角線均相等，求二面角的大小4.如圖，空間三條直線PA

、PB

、PC，∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，求二面角B－PA－

C的大小.BCAPVABC3.空間四邊形VABC的各邊及對角線均相等，求二面角4.如圖，在△ABC

中，AD⊥BC

于D，E

是線段AD上一點，且

AE=ED

，過E

作MN∥BC

，且MN

交

AB于M

，交AC于N

，以MN為棱將△AMN折成二面角A'－MN－D，

設此二面角為α（0<α<π），連結A'B

、A'D

、A'C

，求△A'MN

與△A'BC

所夾二面角的大小.ABCDENMA’MNEBDC4.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E是線段A課堂小結一.求二面角的平面角的常用方法二.降維思想將空間角轉化為平面角課堂小結一.求二面角的平面角的常用方法二.降維思想將空間角1.在三棱錐A—BCD中，側面ABC⊥底面BCD，AB﹦BC﹦BD﹦1，∠CBA﹦∠CBD﹦120。

，求二面角A—BD—C的大小。ADCB同學們思考以下問題:1.由已知條件怎樣找垂線?2.通過垂線怎樣找二面角的平面角.觀察總結:圖中的紅色部分有什么特點?EG課后作業1.在三棱錐A—BCD中，側面ABC⊥底面BCD，ADC2.如圖示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,P是AD的中點.求二面角的大小.A1B1C1D1ABCDPFE分析:利用三垂線定理尋找二面角的平面角,關鍵是如何在一個半平面找一個點,向第二個半平面做垂線,往往要結合所給的幾何體,找垂直關系。由于AB⊥平面AD1,BD1在平面AD1上的射影為AD1，過點P作PF⊥AD1于F,則PF⊥平面ABD1,過F作FE⊥BD1于E，連結PE，∠PEF即為二面角A_BD1_P的平面角。觀察總結:計算在哪個圖形中進行的?2.如圖示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,P3.在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC,SA﹦SC﹦,M為AB的中點⑴證明AC⊥SB;⑵求二面角S—CM—A的大小.分析：１．證明線線垂直的思路如何？２．用三垂線定理（或逆）怎么作二面角的平面角？