1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算基礎知識基本能力1．理解角的另外一種度量方法——弧度制．(重點)2．能夠熟練地進行角度制和弧度制的換算．(重點、易混點)3．掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式．(難點)1．能正確地區分角度制和弧度制，并能用統一的單位來表示角．(難點)2．對于角度制與弧度制的換算，要牢牢掌握“180°＝πrad”這一重要關系式．(重點)3．能正確運用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式解決相關問題．(難點)1．度量角的兩種單位制名師點撥今后我們在用弧度制表示角的時候，弧度二字或rad可以略去不寫，而只寫這個角對應的弧度數．角α＝2013°和α＝2013一樣嗎？答：不一樣.2013°表示2013度，而2013表示2013rad.弧度單位可以省略，但度這個單位不能省略．【自主測試1】在半徑不相等的圓中，1rad的圓心角所對的()A．弦長相等B．弧長相等C．弦長等于所在圓的半徑D．弧長等于所在圓的半徑答案：D2．角度與弧度(1)角度與弧度的換算.角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°(2)特殊角的弧度數.角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0eq\f(π,12)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(5π,12)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度πeq\f(7π,6)eq\f(5π,4)eq\f(4π,3)eq\f(3π,2)eq\f(5π,3)eq\f(7π,4)eq\f(11π,6)2π【自主測試2－1】eq\f(5π,6)弧度化為角度是()A．150°B．145°C．135°D．235°解析：∵1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，∴eq\f(5π,6)rad＝eq\f(5π,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)×\f(180,π)))°＝150°.答案：A【自主測試2－2】把－300°化為弧度是()A．－eq\f(4π,3)B．－eq\f(5π,3)C．－eq\f(7π,4)D．－eq\f(7π,6)解析：－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3).答案：B3．扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角，則名師點撥使用弧度制下的弧長公式、扇形面積公式有很多優越性，但是如果已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計算，這樣可避免繁瑣的計算過程．【自主測試3－1】半徑為12cm，弧長為8πcm的圓弧，其所對的圓心角為α，則α＝__________.答案：eq\f(2π,3)rad【自主測試3－2】若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所在的扇形面積為__________cm2.解析：根據面積公式S＝eq\f(1,2)lr，可得S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4,2)＝4(cm2)．答案：41．弧度制與角度制的關系剖析：(1)1弧度是長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角的大小，而1°是圓周的eq\f(1,360)所對的圓心角的大小．(2)不管是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個與半徑大小無關的定值．(3)用弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必寫成45°≈0.785弧度．(4)弧度制和角度制一樣，只是一種度量角的方法．弧度制與角度制相比有一定的優點，其一是在進位上，角度制在度、分、秒上是60進位制，不便于計算，而弧度制是十進位制，給運算帶來方便；其二是在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式遠比角度制下的公式簡單，運用起來方便．(5)在今后表示角的時候，常常使用弧度制，但也要注意，用弧度制表示角時，不能與角度制混用，例如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋eq\f(3π,2)(k∈Z)都是不正確的．2．教材中的“思考與討論”請你把扇形面積公式與三角形面積公式進行類比，你會產生什么聯想？剖析：扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lr，其中l為扇形的弧長，r為扇形所在圓的半徑；三角形的面積公式S＝eq\f(1,2)ah，其中a為三角形的底邊長，h為邊長為a的底邊上的高．扇形可以看作是特殊的三角形，其中將弧長看作是三角形的底邊，半徑看作是三角形底邊上的高．題型一角度、弧度的概念【例題1】下列各命題中，不正確的是()A．“度”與“弧度”是角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的eq\f(1,360)，1弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C．根據弧度的定義，180°一定等于π弧度D．不論是用角度制還是弧度制度量角，它們均與圓的半徑的長短有關解析：用角度制或弧度制度量角都與圓的半徑的長短無關，否則將不可能作為度量角的標準，所以D項中的命題是不正確的．答案：D反思弧度制是用“弧度”來度量角的一種度量制度，這種制度的基本單位是“弧度”，沒有輔助單位，不像角度制，除基本單位“度”外，還有輔助單位“分”“秒”．題型二角度制與弧度制的互化【例題2】填空：(1)18°＝__________rad；(2)67°30′＝__________rad；(3)eq\f(3π,10)＝__________度．解析：(1)18°＝eq\f(π,180)×18＝eq\f(π,10)rad.(2)67°30′＝67.5°＝eq\f(π,180)×67.5＝eq\f(3π,8)rad.(3)eq\f(3π,10)＝eq\f(3π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝54°.答案：(1)eq\f(π,10)(2)eq\f(3π,8)(3)54反思(1)角度與弧度的換算關系式是角度與弧度互化的重要依據，其中應記住關系式：π＝180°，它能幫助我們更快更準確地進行運算．(2)如果角度以度、分、秒的形式給出，應先將它化為度，再轉化為弧度；如果弧度給出的是實數，如2弧度，化為度應是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))°.題型三用弧度表示終邊相同的角【例題3】已知α＝2016°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在區間[－6π，0)上找出與α終邊相同的角．分析：(1)可將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，根據β與α終邊相同判斷α是第幾象限的角．(2)關鍵在于由－6π≤β＋2kπ＜0求出k的取值．解：2016°＝2016×eq\f(π,180)＝eq\f(56π,5)＝5×2π＋eq\f(6π,5).∵eq\f(6π,5)是第三象限的角，且α＝2016°與角eq\f(6π,5)終邊相同，∴α是第三象限的角．(2)找出與α終邊相同的角，即找出與角eq\f(6π,5)終邊相同的角，令－6π≤eq\f(6π,5)＋2kπ＜0，k∈Z可得，滿足條件的角有－eq\f(4π,5)，－eq\f(14π,5)，－eq\f(24π,5).反思不管用角度制還是用弧度制表示終邊相同的角，一定要注意單位統一．〖互動探究〗本例(2)中的結論有3個角滿足條件，這其中有何規律？解：[－6π，0)這個區間恰為3個圓周，恰好每一周有一個滿足條件的角.題型四扇形面積公式和弧長公式的應用【例題4】一條弦的長度等于半徑r，求：(1)這條弦所對的劣弧長；(2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積．分析：解決此類問題，首先要根據題意畫出相關的圖形，然后對涉及的量的大小進行確定．由已知可得，圓心角的大小為eq\f(π,3)，然后利用相關公式求解即可．解：(1)如圖，∵在半徑為r的圓O中，弦AB＝r，則△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝eq\f(π,3).由弧長公式，得弦AB所對的劣弧長為eq\f(π,3)r.(2)∵S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB·sin∠AOB＝eq\f(\r(3),4)r2，S扇形OAB＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×r2＝eq\f(π,6)r2，∴S弓形＝S扇形OAB－S△AOB＝eq\f(π,6)r2－eq\f(\r(3),4)r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))r2.反思圖形的分解與組合是解決數學問題的基本方法之一，本例是把弓形面積看成是由扇形面積與三角形面積的差組成的，即可運用已有知識解決要求解的問題．此類數形結合的題目，要盡可能地從各種圖形的組合關系中找到解決問題的突破口．〖互動探究〗扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角為何值時，它的面積最大？并求出最大面積．分析：靈活選用扇形的弧長公式、面積公式，轉化成求函數最值的問題．解：設扇形的圓心角為α，半徑為r，面積為S，則弧長為l＝20－2r.由20－2r＞0，得0＜r＜10.由20－2r＜2πr，得r＞eq\f(10,π＋1).∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,π＋1)，10))，∴當r＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(20－2r,r)＝eq\f(20－2×5,5)＝2rad.1．下列各命題中，正確的是()A．1弧度是一度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是一度的弧與一度的角的和D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小解析：根據1弧度的定義，對照各選項，可知選項D中的敘述是正確的．答案：D2．半徑為πcm，圓心角為eq\f(2π,3)的弧長為()A．eq\f(π,3)cmB．eq\f(π2,3)cmC．eq\f(2π,3)cmD．eq\f(2π2,3)cm解析：由弧長公式得，eq\f(2π,3)×π＝eq\f(2π2,3)cm.答案：D3．圓弧長度等于其內接正三角形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數為()A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3)D．2解析：如圖所示，設圓的半徑為R，圓的內接正三角形的邊長為a，則△ABC的高h＝eq\f(\r(3),2)a.又R＝eq\f(2,3)h＝eq\f(\r(3),3)a，所以a＝eq\r(3)R.圓弧長度為eq\r(3)R的圓心角的弧度數|α|＝eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).答案：C4．集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,4)＋\f(π,2)，k∈Z))))，則()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝解析：分別取k＝…，－1,0,1,2，…得M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(…，－\f(π,4)，\f(π,4)，\f(3π,4)，\f(5π,4)，\f(7π,4)，…))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(…，\f(π,4)，\f(π,2)，\f(3π,4)，π，\f(5π,4)，\f(3π,2)，\f(7π,4)，…))，易看出，M中的元素在N中都有，而N中的元素如eq\f(π,2)M.